13_magnets_2018_may06 (1182307), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Однако привысоких температурах существует общий подход, который позволяет получать строгиерезультаты.Идея метода заключена в том, что среднее физической величины (например Z-проекцииспина на произвольно выбранном узле) равно:−Ê n 1− Ĥz −HzTSpS∑ i T n!∑ S i (n)eSp Ŝiz e Tnzn〈S i 〉===,−Ê−Hn̂−H 1Sp e T∑e TSp ∑Tn!nnnn(( ))( ( ) )( ( ) )где Ĥ - гамильтониан системы, включающий и взаимодействия между спинами, изеемановскую часть, а Sp обозначает взятие следа матрицы.
Для взаимодействующихспинов, как мы видели на примере антиферромагнетика, определение собственных волновыхфункций затруднено. Однако, как известно из линейной алгебры, след матрицы не зависит отбазиса. Поэтому для вычисления следа можно воспользоваться любым удобным базисом —например тем, в котором определены значения проекции спина на выбранную ось (и приэтом не имеет значения, что такие состояния не являются собственными функциями8 Стандартным прибором для измерения намагниченности является СКВИД-магнетометр, принцип работыкоторого рассматривался на лекции по эффекту Джозефсона.стр. 23 из 4006.05.2018гамильтониана). Ограничивая порядки суммирования можно получить разложение по1степеням.TВ качестве примера рассмотрим цепочку спиновS =1/ 2с обменным взаимодействием̂ ̂Si⃗S i+ 1+ g μ B B ∑ Ŝ iz .только ближайших соседей.
Гамильтониан задачи имеет вид Ĥ =J ∑ ⃗iВ такой форме записи однократный учёт каждой взаимодействующей пары обеспечиваетсятем, что суммирование идёт «вдоль» цепочки, поэтому множителя 1/2 нет.1получим для среднего значения проекции спина ноль, так как наTS z=1/ 2 придётся одно состояние с S z=−1/2 .В нулевом порядке покаждое состояние сДля вычисления первого порядка достаточно в знаменателе ограничиться нулевым порядком,равным 1.
Сумма в знаменателе будет равна просто 2 N , где N — длина цепочки. Беряв числителе первый порядок получаем для среднего:〈S zi 〉(1)=−1N2 T( (Sp S iz ∑ J S zp S zp+ 1+pJ + −( S S + S −p S +p+ 1 )+ g μ B B S zp2 p p+1)) .Ненулевые вклады в принципе могут возникать только если i= p ; ( p+ 1) , так как иначеzслагаемое гамильтониана коммутирует сS i и всегда есть пары состояний спротивоположными значениями проекции i-ого спина, вклады которых скомпенсируются.Вклады обменной части гамильтониана всё равно зануляются: произведение Z-компонент1 zz 2 zдаст в итоге след от оператора ( S i ) S i ±1 = S i ±1 обращающийся в ноль, а XY-часть не4имеет диагональных матричных элементов в выбранном базисе.
Таким образом:gμ B2gμ B〈S zi 〉(1)=− N B Sp ( S iz ) =− B, что полностью соответствует закону Кюри (4T2 Tg 2 μ 2B S ( S + 1)m=−g μ B 〈S zi 〉=B ).3T()Для вычисления второго порядка формально необходимо учитывать первый порядок взнаменателе. Однако легко заметить, что он обращается в ноль: XY часть взаимодействия неимеет диагональных элементов в выбранном базисе, а Z-компоненты всегда присутствуют внечётных степенях.
Отсюда поправка второго порядка:〈δ S zi 〉(2)=((1Sp S izN22⋅2 T∑ J S zp S zp+ 1+pJ + −( S S + S −p S +p+ 1)+ g μ B B S zp2 p p+ 1))2.При раскрытии квадрата можно сразу отбрасывать часть слагаемых, так как ненулевыеслагаемые можно ожидать только от членов, которые будут содержать произведения чётныхстепеней S z и совпадающее количество повышающих и понижающих операторов накаждом узле. Единственное слагаемое такого вида может возникать только из произведенияZ-части обменного взаимодействия и зеемановской энергии:〈 δ S zi 〉(2)=J g μB BN2Sp(∑ S S Szizpzp+ 12⋅2 Tp , p'J gμ B2222J g μB B= N B2 Sp ( S iz ) ( S iz+ 1 ) + ( S iz ) ( S iz−1 ) =22 T8T()S zp ' + S zi S zp S zp ' S zp ' + 1 =),и для восприимчивости:стр. 24 из 4006.05.2018(g μB(g μ B )2 J (g μ B )2 ( g μ B )2mJz (1)z (2)χ= =−(〈δ S i 〉 + 〈 δ S i 〉 )=−=1−2BB4T4T2T8T).Этот способ вычисления достаточно легко формализуем и позволяет численное вычисление1достаточно высоких порядков разложения подля произвольных взаимодействийT(известны примеры вычисления этого разложения до 10-го порядка [20]).стр.
25 из 4006.05.2018Модель молекулярного поля.Магнетик выше температуры упорядочения. Закон Кюри-Вейса.Рассмотрим магнетик с обменно-связанными спинами, в котором магнитные ионы занимаютэквивалентные позиции9, находящийся выше температуры упорядочения. Выше температурыперехода в отсутствие магнитного поля локальные намагниченности равны нулю. Приприложении внешнего поля намагниченность появится, в силу эквивалентности всех ионовлокальные намагниченности всех магнитных ионов будут равны.Пусть наш магнетик находится в некотором состоянии с минимальной энергией. Выберемспин на i-ой позиции и изменим его направление на противоположное. Энергия магнетикаизменится при этом на величину (в классическом пределе):δ E i=E ( перев. i−ый спин)−Е (исходная)=2 ∑ J ij S⃗i S⃗ j ,jгде суммирование идёт по всем соседям, с которыми выбранный ион связан обменнымвзаимодействием.Это изменение энергии эквивалентно тому, что выбранный нами спин находится в некоторомэффективном магнитном поле (называемым также обменным):1)⃗B(eff=J ij ⃗Sj .igμB ∑jПриближение молекулярного поля (или среднего поля) заключается в том, что привычислении эффективного поля мгновенные значения спиновых векторов заменяются ихсредними значениями.
Физически это соответствует достаточно высоким температурам,когда быстрые тепловые флуктуации усредняют действие соседей на выбранный спин.В этом приближении обменное поле оказывается независящим от узла, для случаяэквивалентных магнитных ионов в парамагнитной фазе все средние 〈 S⃗ j 〉 одинаковы и〈 ⃗s 〉〈μ⃗〉B(eff )=J ij =−∑∑ J ij ,равны 〈 ⃗s 〉 . Тогда эффективное обменное поле равно ⃗gμB j(g μ B )2 jгде 〈 μ⃗ 〉 - средняя намагниченность иона (знак минус возникает так как магнитный испиновый моменты отрицательно заряженной частицы противоположно направлены).Если добавить теперь взаимодействие с внешним магнитным полем, то обменное полескладывается с внешним. Таким образом в этом приближении энергия системывзаимодействующихспиноввовнешнемполепреобразуетсявэнергиюневзаимодействующих спинов в поле, к которому добавлено некоторое эффективное поле.Восприимчивость невзаимодействующих спинов описывается законом Кюри, тогда:〈μ⃗ 〉=(C at ⃗ ⃗ (eff ) C at ⃗〈μ⃗〉( B + B )=B−∑ J ijTT( g μ B )2 jC〈μ⃗ 〉= at ⃗BT −Θ),9 Это может быть и ферро- и антиферромагнетик, требование эквивалентности позиций упрощает наш анализ,так как в этом случае выше температуры перехода намагниченности всех ионов одинаковы, однако результатможет быть обобщён и на произвольную структуру.стр.
26 из 4006.05.2018S ( S + 1)g 2 μ 2Bздесь C at =это константа Кюри в расчёте на атом, а температура Кюри3kBS ( S+ 1)Θ=−∑ J ij . Такую зависимость восприимчивости от температурыВейса3kBjназывают законом Кюри-Вейса.Для антиферромагнетика температура Кюри-Вейса отрицательна, для ферромагнетика —положительна. Формально восприимчивость ферромагнетика расходится при T =Θ , чтопозволяет качественно сопоставить температуру Кюри-Вейса с температурой фазовогоперехода (точкой Кюри ферромагнетика или точкой Нееля антиферромагнетика). Однако, этосопоставление только качественное — как уже отмечалось приближение молекулярного полянеявно подразумевает, что тепловые флуктуации происходят быстро, то есть мы находимсядостаточно далеко от точки фазового перехода.Рисунок 11: Схематическое изображение зависимости магнитной восприимчивости оттемпературы.
Слева направо: парамагнетик (закон Кюри), ферромагнетик,антиферромагнетик. На графике для антиферромагнетика пунктиром построена криваязакона Кюри-Вейса.Кроме того, обратите внимание, что в температуру Кюри-Вейса входит сумма обменныхинтегралов по всем соседям.
В реальных системах (особенно в антиферромагнетиках)нередко встречается ситуация, когда между различными соседями обменное взаимодействиеимеет не только разную величину, но и разный знак. Простейшим примером такого типаявляется набор ферромагнитно упорядоченных атомных плоскостей с чередующимисянаправлениями намагниченности. Такая система будет антиферромагнетиком, но взависимости от соотношения между величинами обменных интегралов в плоскости и междуплоскостями можно получить температуру Кюри-Вейса любого знака. Также, как мы краткообсудим в заключительной части, существуют магнетики со специальной геометриейобменных связей, в которых несмотря на сильное обменное взаимодействие (и большуютемпературу Кюри-Вейса) упорядочение не наступает вплоть до самых низких температур.Таким образом, закон Кюри-Вейса описывает высокотемпературную асимптотику поведениявосприимчивости магнетика. Температура Кюри-Вейса даёт качественную информацию остр.
27 из 4006.05.2018величине взаимодействия между магнитными ионами. Однако отождествление температурыКюри-Вейса с температурой магнитного упорядочения в реальных системах являетсянеправильным и работает только на качественном уровне для достаточно простых систем.Отметим, что при разложении закона Кюри-Вейса в рядCCC ΘCχ at = at ≈ at + at 2 + ...= at 1+ Θ + ... .СравниваяэтоT −Θ TTTT(можно)сзаписать:результатом1,Tполученные в рамках модели молекулярного поля и в рамках высокотемпературногоразложения для спиновой цепочки совпадают: для спина 1/2 в случае двух ближайшихJсоседей Θ=−.2высокотемпературного разложения (стр.
23) видим, что первые поправки поФерромагнетик ниже температуры Кюри.1y=xy=th(xQ/T)Q/T=51Q/T=2закон TБлоха3/2< m>/mBQ/T=1.1Q/T=1Q/T=0.90001x=<m>/mB00.51.0T/QРисунок 12: (слева) Графическое решение уравнения для намагниченности подрешётки вмодели молекулярного поля. (справа) Сплошная линия - зависимость намагниченностиподрешётки от температуры в модели молекулярного поля, пунктирные линии асимптотики при низких температурах и в окрестности перехода, штрих-пунктирнаялиния — закон Т3/2 Блоха из спин-волновой теории.Модель молекулярного поля может быть применена и ниже температуры перехода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
