09_supercond_2018_apr07 (1182301), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Из этого уравнения следует,что в стационарных условиях напряжённость электрического поля внутри сверхпроводникастрого равна нулю, в противном случае имелось бы неограниченное ускорениесверхпроводящих электронов. Поэтому нормальные электроны остаются в покое идиссипации энергии нет.Второе уравнение Лондонов.Выясним теперь как меняется магнитное поле в приповерхностном слое сверхпроводника.⃗ в этих рассуждениях мы будем иметь в виду истинное микроскопическоеПод полем Hмагнитное поле.4 Для простоты рассуждений (чтобы не учитывать размагничивающиефакторы) будем подразумевать «хорошую» геометрию образца: длинный цилиндр,параллельный внешнему полю.
Внешнее поле (поле создаваемое внешним магнитом) будемсчитать однородным.Сверхпроводящее движение электронов создаёт магнитное поле внутри цилиндра⃗ = 4 π ⃗j s . Идеальный диамагнетизм сверхпроводника означает, что полеrot Hcсверхпроводящего тока внутри сверхпроводника полностью компенсирует внешнее.Плотностькинетическойэнергиисверхпроводящегодвиженияэлектронов2m vsmW кин=n s= 2 j 2s ,сучётомвыписанногоуравненияМаксвелла22 e ns22⃗ )2 , где λ 2= mcW кин= λ ( rot Hзадаёт некоторый масштаб длины.8π4 π ns e2Тогда свободная энергия сверхпроводника в магнитном поле с учётом кинетической энергии1⃗ 2+ λ 2 ( rot H⃗ )2) dV . Интегрирование идёт посверхпроводящего тока есть F s=F s0 + ∫ ( H8πвсему объёму сверхпроводника, первое слагаемое под интегралом описывает проигрыш вэнергии намагничивания (идеальный диамагнитизм сверхпроводника), а второе — проигрышв кинетической энергии, связанный с движением сверхпроводящих электронов для созданияэкранирующего тока.4 В вакууме индукция и напряжённость магнитного поля совпадают, в среде магнитная индукция имеет смысл⃗ [4]средней напряжённости микроскопического поля Hстр.
6 из 4007.04.2018⃗ ( ⃗r ) воспользуемсяДля нахождения распределения магнитного поля в сверхпроводнике Hтем, что это распределение поля должно минимизировать свободную энергию. Получается⃗ ( ⃗r ) изменение свободнойвариативная задача. При изменении распределения поля на δ H⃗ δH⃗ + 2 λ 2 rot H⃗ rot δ H⃗ ) dV . При⃗ ) δ F s= 1 ∫ ( 2 Hэнергии (в первом порядке по δ H8πэтом вне сверхпроводящего цилиндра напряжённость магнитного поля равна внешнемуполю, это задаёт граничное условие для распределения H (r ) и одновременно требует,⃗ =0 .чтобы на границе сверхпроводника δ HПользуясьтождеством5преобразуемa rot ⃗b=⃗b rot ⃗a −div[⃗⃗a ×⃗b] ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗rot H rot δ H =δ H rot rot H −div [rot H ×δ H ] .Приинтегрированиипообъёмусверхпроводника слагаемое с дивергенцией зануляется: оно сводится к потоку вектораповерхность сверхпроводника, а на поверхности в силу[ rot H⃗ ×δ H⃗ ] через⃗ =0 .
Остаётся вариационное условие минимумазафиксированного граничного условия δ H1⃗ + λ 2 rot rot H⃗ )δ H⃗ dV . В силу произвольности вариации поля δ H⃗ , это0=δ F s= ∫ ( H4πприводит к уравнению:⃗ +λ 2 rot rot H⃗ =0 .HЭто уравнение называют вторым уравнением Лондонов (иногда просто уравнениемc⃗ ,а H⃗ =rot ⃗rot HA , можно получить другую формуЛондонов).
Вспоминая, что ⃗j s=4πзаписи этого уравнения:24π λrot ⃗A+rot ⃗j s =0 .cГрадиентная инвариантность позволяет добавить к вектор-потенциалу любой градиентскалярного поля. Удобно выбрать специальную (лондоновскую) калибровку div ⃗A=0 иналожить граничное условие на границе сверхпроводника( ⃗A⋅⃗n )=0 , эти условиясовпадают с условием непрерывности тока и условием отсутствия тока через границу. В⃗j s=− c 2 ⃗A . Калибровкатакой калибровкеdiv ⃗A=0 соответствует условию4πλненакопления носителей заряда div ⃗j s=0 .⃗ = c rot rot ⃗A , получаем уравнение на вектор-потенциал в⃗j s= c rot H4π4π2⃗лондоновской калибровке A+λ rot rot ⃗A=0Подставляя сюдаАльтернативный способ вывода уравнения Лондонов.Отметим альтернативный способ вывода уравнений Лондонов [5].
Импульс электрона вe⃗присутствии магнитного поля равен(считаем константу элементарного⃗p =m ⃗v − Ace >0 , что приводит к знаку «минус» в этом уравнении). Полагая, чтозаряда5 Проверяется прямой подстановкой, удобно сгруппировать слагаемые с одинаковыми производными. Изdiv [⃗a ×⃗b ] с производнойвойдёт−a y∂ bz∂b y+a z∂x∂x∂∂x∂ (a b −a b ) , из ⃗a rot ⃗b с такой производной∂x y z z y∂ az∂ ay, из ⃗. Дальше перегруппировкой+b zb rot ⃗a аналогично −b y∂x∂xвойдётполучаем доказываемое тождество.стр. 7 из 4007.04.2018сверхпроводящее состояние есть основное состояние электронов в сверхпроводнике (всоответствии с экспериментом оно сохраняется до самых низких температур), и полагая, чтов силу изотропии пространства в основном состоянии среднего импульса нет 〈 ⃗p〉=0 ,получаем локальную связь средней скорости сверхпроводящих электронов с векторe ⃗A .
Откуда для сверхпроводящего тока сразу следует полученноепотенциалом 〈 ⃗v s 〉=mcc ⃗A .ранее уравнение ⃗j s=−4 π λ2Проникновение магнитного поля в сверхпроводник.x >0 воВ простейшем случае сверхпроводника, заполняющего полупространство 6⃗внешнем поле параллельном границе ( H∥z ) у магнитного поля в сверхпроводнике есть∂ Hz⃗ =−⃗e yтолько z-компонента, и она зависит только от координаты x. Тогда rot Hи∂x22⃗ =−⃗e z ∂ H z . Получим для поля в сверхпроводнике уравнение H z −λ2 d H z =0 ,rot rot H∂ x2dx 2описывающееэкспоненциальноезатуханиеполявглубьсверхпроводника−x /λ.
Растущее решение отбрасываем, как не соответствующееH z ( x )=H z (0) eнаблюдаемому эффекту Мейснера.Введённый нами параметрλназывается глубиной проникновения. Как видно,c⃗ также течёт в поверхностном слое толщиной порядкаrot Hсверхпроводящий ток ⃗j s=4πλ (в котором неоднородно поле). В простом случае заполняющего полупространствосверхпроводника для тока получаем единственную компоненту сверхпроводящего тока вдольc ∂ H z c H z (0) −x/ λповерхности раздела j y (x)=−(рисунок 1).=e4π ∂ x4πλ6 Другой удобный случай цилиндрической геометрии с полем вдоль оси цилиндра оказывается сложнее. Всилу аксиальной симметрииполе зависит только от радиуса. Тогда по известным формулам(2)∂H z⃗ =−⃗e z ∂ H2 z + ρ1 ∂ H z , откуда для⃗ =−⃗e ϕдифференциальной геометрии rot Hи rot rot H∂ρ∂ρ∂ρ2∂ H z 1 ∂ Hz 1распределения поля получаем уравнение+− H z=0 , аналитически разрешимое в∂ρ2 ρ ∂ρ λ 2бесселевых функциях.
Общее решение этого уравнения [6] H z =C 1 J 0 (i ρ/λ ) +C 2 Y 0 (−i ρ/λ ) , гдеJ 0 и Y 0 — функции Бесселя первого и второго сорта, соответственно.стр. 8 из 4007.04.2018Рисунок 1: Проникновение магнитного поля в сверхпроводник I рода в модели Лондонов.2mcвоспользуемся тем, что при T =0 все4 π ns e2электроны участвуют только в сверхпроводящем движении. Оценивая n s≃10 22 1/ см 3 ,получим λ (T =0)∼600 Å . В точке перехода в сверхпроводящее состояние глубинапроникновения становится бесконечно большой ( n s обращается в ноль).
Измеренная вреальных чистых сверхпроводниках глубина проникновения составляет от нескольких сотендо тысячи ангстрем.Для оценки величины параметраλ 2=Как уже отмечалось, лежащее в основе уравнений Лондонов предположение о локальностиможет не выполняться, если носителем заряда будет связанная пара электронов с достаточнобольшим расстоянием между электронами. Однако вблизи перехода глубина проникновениястановится большой и предположение о локальности оказывается выполненным. Такимобразом, модель Лондонов оправдана для всех сверхпроводников вблизи температурыперехода (иногда говорят, что вблизи T c все сверхпроводники являются лондоновскими).Высокочастотные свойства сверхпроводника†.Двухжидкостная модель сверхпроводника находит наглядное подтверждение ввысокочастотных свойствах сверхпроводника.
Первое уравнение Лондонов требует, чтобыстатическое электрическое поле имело нулевую напряжённость. Однако, если создать всверхпроводнике переменное7 электрическое поле, то это ограничение пропадает. Тогда исверхтекучий ток начинает зависеть от времени, и под действием электрического полявозникает обычное «нормальное» диссипативное движение нормальных электронов. То естьв сверхпроводнике возникнет диссипация энергии.Качественно это может быть представлено как параллельное включение сверхпроводящего и7 Забегая вперёд, подчеркнём, что речь идёт о переменном поле на частоте меньшей щели в спектревозбуждений сверхпроводника.стр.
9 из 4007.04.2018нормального каналов. Импеданс нормального канала определяется в модели Друде-Лоренца2n e τ1 Dσ n= n, сопротивление R= σ, где D -длина образца, а S – площадьn Smсечения. Импеданс сверхпроводящего канала индуктивный, для оценки можно взять легкооцениваемую кинетическую часть энергии сверхпроводящего движения (её вклад сравним сm v 2sm= 2 j 2s , откуда эффективнаяэнергией создаваемого магнитного поля) W кин=n s22 e nsmDиндуктивность8 L эфф∼ 2. Соответственно, отношение амплитуд токов в резистивномe ns SJ n ∣Z s∣ ω L эфф nnи индуктивном каналах≃∼≃ ωτ .J s RnRnsПотери будут пропорциональны квадрату частоты и зависеть от отношения концентрацийнормальной и сверхпроводящих компонент.
Прямым измерением высокочастотных потерь всверхпроводнике является измерение добротности сверхпроводящего резонатора (рисунок 2).Видно, что добротность остаётся конечной даже в сверхпроводящей фазе и растёт спонижением температуры (уменьшением доли нормальных электронов). Выход напостоянную величину при совсем низких температурах вероятно связан с потерями черезотверстия связи резонатора с внешней измерительной линией.Рисунок 2 Зависимость добротности ниобиевого резонатора на частоте 11.2 ГГц оттемпературы. Температура сверхпроводящего перехода в ниобии 9.3К. Из книги [5].8 Интегрируем плотность кинетической энергии по объёму, считаем для оценки ток равномернораспределённым по образцу. Тогдаj s=22Jsm JIи E кин =∫ W кин dV =SD=Lэфф22S22 e ns Sстр.
10 из 4007.04.2018Более строгое вычисление свойств сверхпроводника в переменном поле предполагаетодновременное решение первого уравнения Лондонов:d ⃗j s n s e 2 ⃗ 1 ⃗=E= E ,λdtmи уравнения динамики для нормальных электронов в модели Друде-Лоренца:m d ⃗j nm ⃗j n=e ⃗E−nn e d tnn e τ .n d ⃗j n n s ⃗j n⃗E= s λ+ λn n d t nn τСчитая, что напряжённость электрического поля и токи меняются по гармоническому законуiωt⃗⃗ (0 ) ei ω t и ⃗j n , s=⃗j (0), получаем для амплитуд:E= En ,s e⃗ (0 )⃗j (0s )=−i 1 Eλωnn τ 1 – i ω τ ⃗ (0) .⃗j (0)En =n s λ 1+(ω τ)2⃗j =⃗j n + ⃗j s , что позволяет определить комплексную проводимостьnn1σ=σ1 +i σ 2 , где действительная часть проводимостиопределяетσ1= λτn s 1+(ω τ)2потери и при ω τ≫1 совпадает по зависимости от частоты с ранее сделанной грубойnn (ω τ)21σ=1+оценкой, а комплексная частьопределяет сдвиг фазы между2λωn s 1+(ω τ) 2током и полем в сверхпроводнике.Полная плотность тока[]Более подробные вычисления глубины проникновения и поверхностного импеданса, важныедля количественной интерпретации данных, представленных на рисунке 2 можно найти влитературе, например в [1].Квантовое обобщение уравнения Лондонов.«Конденсат» сверхпроводящих электронов.T =0 .
Причём существованиеСверхтекучий ток может существовать и принезатухающего экранирующего тока является свойством основного состоянияT =0сверхпроводника, помещённого во внешнее магнитное поле. Наконец, примакроскопически большое количество электронов участвует в этом движении.Эти свойства похожи на свойства сверхтекучей компоненты гелия-4. Микроскопическоерассмотрение сверхтекучести показывает, что при низких температурах формируется бозеконденсат с макроскопическим числом атомов в состоянии с нулевой энергией, причём всечастицы этого конденсата описываются одной волновой функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
