09_supercond_2018_apr07 (1182301), страница 8
Текст из файла (страница 8)
С другой стороны, понижение количества куперовских пар вблизи границыH2увеличивает энергию сверхпроводника на величину σ ξ≃ c ξ (здесь мы пользуемся тем,8πчто связанный с формированием сверхпроводящего состояния – то есть именно сформированием куперовских пар – выигрыш в плотности энергии сверхпроводящего2Hcсостояния также выражается через критическое поле и равен).
Тогда полная8πповерхностная энергия границы раздела двух фаз зависит от соотношения между глубинойпроникновения и длиной когерентности: она может быть как положительна, так иотрицательна.Точный расчёт показывает, что при значении параметракомпенсируют друг друга, приκ<1κ= λ =эти два вкладаξ √21поверхностная энергия положительна, а при√21поверхностная энергия отрицательна. На языке нашего качественного рассмотрения√2в первом случае доминирует проигрыш за счёт неоднородности концентрации куперовскихпар, а во втором — выигрыш за счёт намагничивания приграничного слоя.κ>Рисунок 17 Проникновение магнитного поля и изменение концентрации куперовских пар награнице сверхпроводящей и нормальной фаз для разного соотношения между глубинойпроникновения и длиной когерентности.
Из книги [1].Положительность поверхностной энергии означает, что создание такой границыэнергетически невыгодно и однородно намагниченный образец находится либо всверхпроводящем, либо в нормальном состоянии. Это соответствует сверхпроводникупервого рода: сверхпроводимость полностью разрушается в критическом поле во всёмобразце (мы не рассматриваем здесь зависящее от формы образца промежуточноесостояние сверхпроводника первого рода). Таким образом, в сверхпроводниках первого родаглубина проникновения λ <ξ / √ 2 .стр. 32 из 4007.04.2018Отрицательность поверхностной энергии позволяет получить выигрыш за счёт созданияграницы сверхпроводящей и нормальной фаз: может оказаться выгодно подавитьсверхпроводимость в какой-то области образца, проиграв на этом энергию сверхпроводящегосостояния, но выиграв в энергии магнитного поля внутри нормальной области и энергииграницы.
Это соответствует частичному проникновению магнитного поля в образец исверхпроводникам второго рода. Такое состояние сверхпроводника называют смешаннымили шубниковским.Вихри Абрикосова.Рассмотрим подробнее, как магнитное поле проникает в образец сверхпроводника второгорода. Пусть поле близко к первому критическому.
Тогда проникновение поля мало: доля«объёма» нормальной фазы маленькая и каждая из областей нормальной фазы находитсядалеко от других. Будем считать ξ≪λ , тогда можно пользоваться уравнениями Лондоновдля определения поля в сверхпроводнике. В приближении непрерывной среды задача ободной области нормальной фазы имеет цилиндрическую симметрию, эту область поаналогии со случаем сверхтекучести называют вихрем.Как мы увидим далее каждый вихрь содержит один квант потока.
В силу малости квантапотока это означает, что размер области нормальной фазы в сердцевине (или кóре) вихряможно считать практически нулевым. Концентрация куперовских пар восстанавливается намалом расстоянии порядка ξ от центра вихря, а магнитное поле затухает на большемрасстоянии порядка λ (рисунок 18).Рисунок 18: Распределение магнитного поля и концентрации куперовских пар в одиночномвихре.
Из книги [1].Для магнитного поля в сверхпороводнике можем записать обобщённое уравнение ЛондоновΦ0 ⃗2λ rot rot ⃗A+ ⃗A=−∇ Θ , где Θ — фаза волновой функции основного состояния.2πВозьмём ротор от обоих частей, проинтегрируем по площадке, включающей вихрь ивоспользуемся теоремой Стокса:стр. 33 из 4007.04.2018Φ0⃗Θrot ∇2π.Φ0 ⃗2⃗⃗⃗ d l +Φ=−λ ∮ rot H∮ ∇ Θd l2π⃗ +H⃗ =−λ 2 rot rot HЕсли ограничивающий площадку контур уходит далеко вглубь сверхпроводника, то интегралв левой части зануляется (поле равно нулю), а интеграл в правой части есть кратное 2 πдля однозначности волновой функции. Отсюда полный поток Φ=n Φ 0 кратен квантупотока.Магнитное поле внутри абрикосовского вихря.†Заметим, что если контур интегрирования не будет включать вихрь, то интеграл∮ ∇ d l =0 .
То есть rot ∇⃗ Θ должен иметь особенность в месте расположения вихря,аналогичную дельта-функции, так как только включение этой точки в контур, по которомуидёт интегрирование даёт ненулевой набег фазы. В результате получаем, что =2 n r e , где ⃗e — единичный вектор вдоль оси вихря, расположенного вrot ∇точке ⃗r =0 , n – число квантов потока.Тогда получаем уравнение для поля:2⃗ +H⃗ =Φ0 n δ(⃗r )⃗eλ rot rot H(знак в правой части убран в множитель n ) с граничным условиемуравнение21 решается через функцию Макдональда K 0( z )H=nΦ 02 π λ2K 0 (z )∝H (r →∞)=0 .
ТакоеK 0 ( r /λ) , где функция Макдональда имеет асимптотики{ln (1/ z ), z ≪1.e−z / √ z , z≫1Расходимость в центре вихря устраняется обрезкой на расстоянии ξ так как внутриобласти радиуса ξ сверхпроводимость сильно подавлена и уравнения Лондонов заведомоn Φ0неприменимы. Поэтому поле в центре вихря H (0)≃ln λ .2ξ2π λВспомним,что энергия сверхпроводника, в который проникло магнитное поле1⃗ 2 +λ 2 ( rot H⃗ )2 ) dV . Отсюда видно, что в n-квантовом вихре проигрыш вF s=F s0+ ∫ ( H8πэнергии в n 2 раз больше, чем в одноквантовом. Поэтому оказывается энергетическивыгодно создать n одноквантовых вихрей, чтобы принять тот же магнитный поток.Таким образом, магнитное поле проникает в сверхпроводник второго рода в виде вихрей, скаждым из которых связан квант потока Φ0 .21 Если поле⃗Hпараллельно оси z и зависит только от расстояния до оси вихря, то по формулам для роторав цилиндрических координатах⃗ =− ∂ H ⃗e ϕ иrot H∂rчасти остаётся для z-проекции поля2(2λ −((⃗ =1 ∂ r − ∂ Hrot rot Hr ∂r∂r)∂ H 1 ∂H2−+H2r ∂r∂r)) ⃗ezи в левой, то есть действительно для поля вцилиндрической геометрии будет не «чистая экспонента» в зависимости поля от радиуса.стр.
34 из 4007.04.2018Критические поля сверхпроводника второго рода.†Теперь мы можем интерпретировать критические поля сверхпроводника второго рода.Первое критическое поле H c1 соответствует моменту, когда становится выгодно рождениевихрей. Найдём энергию одиночного вихря:F s=F s0 +1⃗ 2 +λ 2 ( rot H⃗ )2 ) dV .(H∫8π2⃗ ) =H⃗ rot rot H⃗ −div [ rot H⃗ ×H⃗ ] . В качестве объёма выберемВоспользуемся тем, что ( rot Hбесконечный слой единичной толщины перпендикулярный вихрю.
Тогда интеграл от⃗ ×H⃗ ] через ограничивающие плоскостидивергенции превратится в поток вектора [ rot H⃗ нормально к плоскостям, этот вектор оказываетсявыбранного слоя. Так как поле Hлежащим в плоскости и его поток зануляется, на далёких боковых стенках вклад такжезанулится из-за экспоненциального спадения поля. Тогда для энергии вихря (на единицу1⃗ (H⃗ + λ 2 rot rot H⃗ )d V .длины) остаётся ε= ∫ H8π( )2Φ01H (0)Φ 0≃ln λ . Энергияξ8π4πλвихря положительна, его произвольное образование невыгодно.
Образование вихря станетвыгодно, если выигрыш в отклонении от идеального диамагнетизма превзойдёт цену1⃗H⃗ d V , где B⃗ — индукция внутриBобразования вихря. Этот выигрыш есть −4 π∫⃗ — внешнее поле. Внешнее поле выносится из-под интеграла,сверхпроводника, а Hинтеграл по тому же плоскому слою превращается в магнитный поток. Таким образом,выигрыш в магнитной энергии при вхождении вихря в сверхпроводник (на единицу длины)Φ01−H Φ0 . Приравнивая, получаем H c1=ln λ .2ξ4π4πλВыражение в скобках естьΦ 0 δ( ⃗r )⃗e и тогдаε=Второе критическое поле H c2 - это поле полного разрушения сверхпроводимости. Егоможно оценить, предположив, что в этом поле расстояние между вихрями оказываетсяпорядка размера области с подавленной сверхпроводимостью ξ .
Тогда на каждый вихрьприходится площадь ∼ξ2 , полный поток через эту площадь должен равняться Φ 0 .ΦПолучаем: H c2≃ 20 .ξ2H c21≃4 π λ≫1 . Действительно, первоеξH c1ln ( λ / ξ )критическое поле активно используемых при создании сверхпроводящих кабелей исоленоидов сверхпроводников второго рода Nb3Sn и NbTi составляет около 1 кЭ, в то времякак второе критическое поле превышает 20 Тл.Видно,чтоприλ ≫ξ будет( )Наблюдение решётки абрикосовских вихрей.По мере удаления от критического поля H c1 концентрация вихрей на единицу площадирастёт, расстояние между ними уменьшается и становится существенно взаимодействиевихрей.
Мы уже отметили, что n-квантовому вихрю выгодно распасться: следовательно,вихри отталкиваются. Это взаимодействие вихрей приводит к формированию треугольнойвихревой решётки.стр. 35 из 4007.04.2018Такая вихревая решётка наблюдалась многими способами. Например, распределениемагнитного поля в вихре можно изучать методами магнитного резонанса. Подавлениесверхпроводящего состояния в коре вихря можно проверить методами туннельнойспектроскопии. Мы приведём здесь два примера непосредственного наблюдения вихревойрешётки.Вихревую решётку можно просто визуализовать, если поверхность сверхпроводникапосыпать мелким порошком из магнитного материала. Тогда в местах выхода силовых линиймагнитного поля (в сердцевинах вихрей) произойдёт скопление этого материала [14].Действительно, наблюдалась треугольная решётка (рисунок 19) с периодом около 3500Å.Вычисленное по плотности вихрей значение средней индукции в образце совпало снезависимо измеренной магнитной индукцией.Рисунок 19: Декорированная магнитным порошком поверхность сверхпроводника (свинец спримесью 4% индия).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
