06_semi_2018_mar12 (1182295), страница 3
Текст из файла (страница 3)
10 из 3512.03.2018Суммарный квазиимпульс полностью заполненной зоны равен нулю. Поэтому, если забратьэлектрон из состояния с волновым вектором k⃗e , то квазиимпульс «зоны с вакансией»будет равен – k⃗e . Таким образом, если описывать свойства заполненной зоны с вакансиейкак появление некоторой квазичастицы-дырки, то этой квазичастице должен быть приписанквазиимпульс k⃗h=– k⃗e . Подчеркнём, волновой вектор квазичастицы-дырки не совпадает(противоположен) с волновым вектором вакансии в зоне «настоящих» электронов.d q⃗h=e ⃗E , то естьdtформально будет, действительно, соответствовать положительному заряду.
Энергия дырок,как и для вводившихся нами при рассмотрении возбуждений ферми-газа античастиц, должнабыть положительна: энергия электронов валентной зоны может быть понижена, если самыйэнергичный электрон (с «потолка» валентной зоны) переместить на вакантное место.Соответственно, закон дисперсии для квазичастиц должен быть «отражён» в положительнуюполуплоскость. Действительно, если оставить его неизменным, то в геометрии рисунка 6групповая скорость дырки в состоянии с k h =– k e> 0 окажется отрицательной, то естьизменится направление электрического тока (ток потечёт против оси X), в то время как впредставлении «настоящих» электронов именно избыточные электроны правее от вакансии(положения G на панели (б) и H на панели (в)) создают нескомпенсированный электрическийток и отрицательность их групповой скорости в совокупности с отрицательностью зарядаэлектрона даст электрический ток, текущий вдоль оси X.Уравнение динамики для дырки тогда также поменяет знак:ℏТаким образом, если вблизи потолка валентной зоны закон дисперсии «настоящих»ℏ 2 ⃗q 2ℏ2 ⃗q2q )≈−=−электронов имеет вид ε(⃗, то для квазичастиц дырок закон дисперсии2∣M∣2 mh2 2ℏ ⃗qεh (⃗q )≈, где mh > 0 — эффективная масса дырки.2 mhЭто отражение закона дисперсии требует некоторой аккуратности при применениифермиевской функции распределения к дыркам.
Дырке с энергией ε> 0 соответствуетвакансия в валентной зоне с энергией εvac =−ε . Концентрации вакансий и дырок равны попостроению. Равновесное распределение для вакансий можно найти как отличие от 1фермиевской функции распределения для «настоящих» электронов с энергией, равнойэнергии вакансии εvac :11==exp((εvac −μ)/T )+1 exp (−(εvac −μ )/T )+1.1=exp ((ε+μ)/T )+1n h (ε)=nvac (εvac )=1−ne (ε vac )=1 –То есть, функция распределения для дырок имеет тот же фермиевский вид, но с изменённымзнаком химпотенциала. В качестве мнемонического правила, это можно представить какизменение направления отсчёта энергии для дырок.8 Другой мнемонической формулировкой8 Обратите внимание, что применение этого мнемонического правила требует внимания при несовпадениинуля отсчёта энергии с потолком валентной зоны. Если энергия отсчитывается от произвольного уровня, тодля правильного вычисления функции распределения для дырок (см.
уравнения выше) мы должныприписать дыркам энергию εh=−εvac и сменить знак химпотенциала. Например, при отсчёте энергии от2дна зоны проводимости спектр электронов2дырокεh=−εvac =E g +εe =2ℏ q, спектр вакансий2 me2εh=−E g−2ℏ q2 mh, а спектр2ℏ q.2 mhстр. 11 из 3512.03.2018этого правила является правило: «электроны — тонут, а дырки — всплывают». То есть,минимуму энергии электрона соответствует положение на дне зоны проводимости, аминимуму энергии дырки — положение под потолком валентной зоны.Зонная структура реального полупроводника.Рисунок 7: Зонная структура кремния.
Слева: первая зона Бриллюэна и сечение, в которомпостроены профили энергии. Справа: вычисленная энергия для различных зон, показанатолько нижняя зона проводимости. Ноль отсчёта энергии соответствует потолкувалентной зоны. Из книги [8].Большинство решаемых нами задач будет рассматриваться в простой модели, когда имеютсяединственные минимумы и максимумы энергии электронов в зоне проводимости и ввалентной зоне, и когда эффективные массы электронов и дырок изотропны.
Этогодостаточно для качественного понимания многих простых задач физики полупроводников,однако не всегда соответствует реальным системам. В качестве иллюстративного примерарассмотрим широко используемые в полупроводниковых технологиях материалы — кремнийи германий, и широко используемый в приготовлении низкоразмерных полупроводниковыхсистем арсенид галлия (GaAs).Примеры вычисленных зонных структур для кремния и арсенида галлия [8] показаны нарисунках 7, 10. Сечения дисперсионных поверхностей для кремния, германия и арсенидагаллия с указанием характерных энергий показаны на рисунках 8, 11, 12 [9].стр.
12 из 3512.03.2018Рисунок 9: Эллипсоиды постояннойдляэлектроноввзонеРисунок8:Сечениедисперсионных энергиипроводимостикремния.Изкниги[1].поверхностей кремния в направлениях [100] и[111]. С сайта [9].Отметим вкратце происхождение зонной структуры в кремнии, которая оказывается сложнеепростых модельных случаев рассмотренных нами ранее. Кремний кристаллизуется вструктуру алмаза с двумя атомами в примитивной ячейке. Электронная конфигурация атомакремния 3s23p2, но s-орбиталь в окружении подходящей симметрии гибридизуется с тремя pорбиталями (sp3-гибридизация).
В изолированном атоме sp3 орбиталь четырёхкратновырождена по энергии и способствует образованию четырёх эквивалентных химическихсвязей в направлении на вершины тетраэдра. Для двух атомов в примитивной элементарнойячейке происходит расщепление вырожденных уровней на две группы по 4 уровня. Придальнейшем объединении в кристалл эти группы уровней sp3 орбиталей расщепляются взоны, описываемые поверхностями ε( ⃗k ) в первой зоне Бриллюэна.
При этом нижняя зонаиз верхней группы не пересекается с зонами, образующимися из нижней группы. 9 Врезультате имеющиеся 8 электронов на примитивную ячейку полностью заполняют четыренижних зоны и образуют валентную зону. Одна из этих зон оказывается сильно нижеостальных (интервал от -12 до -8 эВ на рисунке 7) и всегда остаётся полностью заполнена.Для трёх остальных ветвей спектра в валентной зоне поверхности ε( ⃗k ) имеют максимум вцентре зоны Бриллюэна, причём у двух из них максимумы совпадают с потолком валентнойзоны.
Это означает, что в кремнии имеется два типа различных дырок с различнымиэффективными массами (так как кривизна поверхности в максимуме разная для разных зон),а при достаточно высокой температуре может сказываться и наличие третьего типа дырок.Два основных типа дырок имеют существенно отличные эффективные массы: более пологаядисперсионная поверхность соответствует «тяжёлым» дыркам с эффективной массой0.49 m0 , а поверхность с более острым максимумом — «лёгким» дыркам с эффективноймассой 0.16 m0 ( m0 — масса свободного электрона).
Эффективная масса дырок в9 Это является результатом точных расчётов для зонной структуры и в рамках нашего курса к такому свойствузон можно относится как к случайному (но очень важному для приложений) совпадению из-за удачногосочетания параметров взаимодействия электрона с решёткой и параметров перекрытия электронныхволновых функций в кристалле кремния.стр. 13 из 3512.03.2018отщеплённой зоне 0.24 m0 .В зоне проводимости также есть несколько ветвей спектра, образующиеся при расщеплениив зоны второй группы sp3-орбиталей, минимум нижней ветви расположен вблизи от границызоны Бриллюэна (в направлении [100] и эквивалентных), поэтому кремний являетсянепрямозонным полупроводником.
Энергия в минимуме равна 1.12 эВ. При этом в силукубической симметрии кристалла имеется 6 эквивалентных минимумов. Эти минимумыоказываются сильно анизотропны, эллипсоиды постоянной энергии (рисунок 9) сильновытянуты от центра зоны: продольная (соответствующая сечению дисперсионнойповерхности от центра зоны Бриллюэна) эффективная масса равна 0.98 m0 , а поперечная— 0.19 m0 [9]. В принципе, в зоне проводимости есть и другие локальные минимумы,попадание в которые может быть важно при достаточно высоких температурах 10 (на границезоны имеется минимум одной из ветвей спектра на высоте 1.2 эВ, на 0.08 эВ вышеосновного).Рисунок 10: Зонная структура GaAs.
Слева: первая зона Бриллюэна и рассматриваемоесечение первой зоны. Справа: вычисленная в выбранном сечении энергия, показана тольконижняя из зон проводимости. Ноль отсчёта энергии соответствует потолку валентнойзоны. Из книги [8].В GaAs также имеется четыре поверхности ε( ⃗k ) в валентной зоне (рисунок 10), три изних имеют максимум при k =0 , у двух этот максимум совпадает с потолком зоны.Главный минимум зоны проводимости оказывается также в центре зоны Бриллюэна, поэтому10 Вблизи квадратичного экстремума спектра ε( ⃗k ) всегда есть максимум плотности состояний, поэтомупри сложной форме спектра основной вклад в различные усреднённые физические величины будут даватьсостояния вблизи экстремумов.стр.
14 из 3512.03.2018GaAs – прямозонный полупроводник. Масштаб отщепления третьей валентной зоны илокальных минимумов зоны проводимости заметно больше, чем в кремнии (см. рисунок 11).Эффективные массы дырок равны 0.51 m0 и 0.082 m0 , эффективная масса электронов восновном минимуме 0.063 m0 [9].Рисунок 11: Сечение дисперсионных поверхностей арсенида галлия в направлениях [100] и[111]. С сайта [9].Рисунок 12: Сечение дисперсионных поверхностей германия в направлениях [100] и [111]. Ссайта [9].Германий (рисунок 12), как и кремний, является непрямозонным полупроводником. В нёмтакже имеется два основных типа дырок с массами 0.33 m0 и 0.043 m0 . Главныестр. 15 из 3512.03.2018минимумы зоны проводимости лежат на границе зоны Бриллюэна в направлениях типа [111].Таких направлений всего 8 (это направления на вершину куба), однако так как толькополовина из каждой области попадает в первую зону Бриллюэна (точка минимума лежит вцентре шестиугольных граней первой зоны, показанной на рисунках 7, 10), то всего имеется4 симметрийно эквивалентных минимума.
Энергия минимума 0.66 эВ, имеются такжеблизкий минимум в центре зоны Бриллюэна с энергией 0.8 эВ и минимум в направлении[100] с энергией 0.85 эВ (который шестикратно размножится операциями симметрии).Электронные состояния в главных минимумах зоны проводимости, как и в кремнии,характеризуются сильно анизотропной эффективной массой: продольная эффективная массаравна 1.59 m0 , а поперечная 0.0815 m0 [9].Таким образом, в реальных полупроводниках электронный спектр бывает устроен сложно идля точного описания может оказываться необходимым учитывать наличие несколькихучастков дисперсионной кривой, соответствующих электронам или дыркам (причём числоэлектронных и дырочных участков дисперсионных поверхностей может быть разным), атакже возможную анизотропию эффективной массы носителя.
В задачах нашего курса, какправило, подразумевается упрощённая ситуация, когда имеется единственный максимумвалентной зоны (один тип дырок) и единственный минимум зоны проводимости (один типэлектронов), причём эффективные массы изотропны. Описание реальных систем на языкетакой упрощённой модели приводит к перенормировке параметров (таких как эффективнаямасса), поэтому параметры полупроводников, приводимые в задачах, могут несколькоотличаться от приведённых здесь.Свойства чистого полупроводника.Концентрации носителей заряда в чистом полупроводнике.Рассмотрим идеальный полупроводник с единственным максимумом в валентной зоне иединственным минимумом в зоне проводимости.
Будем также считать, что эффективныемассы, описывающие эти экстремумы, изотропны.При T =0 в зоне проводимости электронов нет, в валентной зоне все состояния заняты инаш кристалл будет демонстрировать чисто диэлектрические свойства.При конечной температуре возникнет некоторое количество электронов и дырок, причём вn e =n h . Этисилу общей электронейтральности их концентрации совпадаюттермоактивированные носители заряда называют также собственными носителями заряда, ао таком полупроводнике говорят как о полупроводнике с собственной проводимостью.Электроны и дырки являются фермионами, для них применимо распределение Фермиd 3 ⃗qe , hДирака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
