06_semi_2018_mar12 (1182295), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Поэтому концентрации электронов и дырок равны n e ,h=2∫ n(εe , h ), здесь( 2 π)31множитель 2 — спиновый, функция распределения n (εe ,h )=, где μexp ((ε e ,h∓μ)/T )+ 1— химический потенциал для «настоящих» электронов 11, знак химпотенциала для дырокизменяется в соответствии со сформулированными выше соглашениями. Как правило, дляполупроводников химпотенциал оказывается достаточно далеко от краёв запрещённой зоны(точнее, как правило, расстояние от уровня химпотенциала до дна зоны проводимости и11 Иногда в полупроводнике уровень химического потенциала называют уровнем Ферми (например [1]).Строго говоря, термин химический потенциал является более корректным, так как поверхности Ферми вполупроводнике нет.стр. 16 из 3512.03.2018потолка валентной зоны оказывается много больше температуры), поэтому газ электронов идырок оказывается невырожден и можно пренебречь единицей в распределении ФермиДирака.Тогда для концентрации электронов:(())1 ∞ℏ2 q21 − E −μ)/ Tn e=2×exp−E+−μ /T q2 dq= 2 e (g2∫2m2π 0πeg∞(√ 2 me Tℏ)∫3∞2e−z z 2 dz ,01 ∞ −x−z 2ezdz=e √ x dx= √ π , откудаздесь множитель 2 связан со спином, интеграл ∫2∫40n e=2( )03 /2me T2πℏ2e−( E −μ )/ T .g2Для дырок совершенно аналогичными вычислениями с учётом сделанного ранее замечания офермиевской функции распределения для дырок получаем:n h=2( )3/2mh T2πℏe −μ/ T .2( )Qe , h=2Множителиme , h T3 /2называют статистическими факторами зон, они имеют2 π ℏ2смысл эффективного числа энергетических уровней в зоне проводимости и в валентной зоне.Подстановкой численных значений можно получить удобное для вычислений выражение3/ 2m T[К ]Q=2.51⋅1019×1/ см3 , где m0 — масса свободного электрона.m0 300 К()Отметим для последующего изложения, что мы пока никак не использовали равенствоконцентраций электронов и дырок в чистом полупроводнике, поэтому эти вычисленияконцентрации подвижных электронов и дырок можно будет применять и для примесныхполупроводников – от наличия примесного уровня должен будет как-то менятьсяхимпотенциал полупроводника.
Также отметим, что при наличии нескольких электронныхили дырочных карманов в зонной структуре полупроводника нужно просуммировать такиевклады от каждого кармана. Причём видно, что при наличии электронов или дырок разноймассы, при одинаковой энергии активации наиболее многочисленными окажутся болеетяжёлые носители (экспоненциальные множители одинаковые, а Q∝ m3/ 2 ).n e =n hВернёмся теперь к нашей простой модели. В силу электронейтральности(электроны и дырки рождаются парами), поэтому для равновесной концентрацииn 0=n e=nh имеем, перемножив полученные равенства и возвращая в запись постоянную33/ 2 k B T2e−E /(k T ) , то естьБольцмана для совместимости с литературой, n 0=4 ( me mh )22πℏглавным множителем в температурной зависимости концентрации оказывается−E /(2 k T )n 0 ∝e.
Обратите внимание на множитель 1/2 в показателе экспоненты, которыйможет казаться несколько контринтуитивным: в термоактивационном законе оказывается нещель между валентной зоной и зоной проводимости, а её половина. Это, однако совершеннологично: в показателе больцмановской экспоненты стоит не разница между дном и потолкомсоседних зон, а разница между энергией частицы и уровнем химпотенциала.( )ggBBЕсли бы имелось несколько эквивалентных дырочных или электронных экстремумов встр. 17 из 3512.03.2018законе дисперсии, то мы бы получили аналогичный результат с точностью до некоторогочисленного множителя (вычисленные нами статфакторы зон нужно было бы умножить наколичество экстремумов в соответствующей зоне), а зависимость от температурыn ∝T 3 /2 e−E /(2 T ) не изменилась бы.gХимпотенциал чистого полупроводника.Приравняв явно концентрации электронов и дырок, получаем:m3e /2 e−( E −μ )/ T =m3h /2 e−μ /T3/ 2me=e(E −2μ)/T,mhEm3μ= g – k B T ln e2 4mhg( )gв последнем уравнении мы вернули в запись постоянную Больцмана для совместимости слитературой.Таким образом, в чистом полупроводнике при T =0 уровень химического потенциаланаходится посередине запрещённой зоны, а при ненулевых температурах он смещается к тойзоне, в которой масса носителей заряда меньше.12 В чистом полупроводнике химпотенциалE g /2 на величину порядкаk B T .
С типичной ширинойможет отличаться отзапрещённой зоны полупроводника в доли электронвольта это приводит к изменению впределах 10%. Это оправдывает сделанное выше предположение о возможности пренебречьединицей в фермиевском распределении. Однако это не является общим правилом — вузкозонном полупроводнике с сильно отличающимися массами электронов и дырок приконечной температуре уровень химпотенциала может даже попасть в валентную зону илизону проводимости.Примесные слаболегированые полупроводники.Донорные и акцепторные примеси в полупроводнике.Практически важным вопросом является изменение свойств полупроводника при введении внего небольшого (критерий малости рассмотрим далее) количества примесных атомов,имеющих большее (донорные примеси) или меньшее (акцепторные примеси) количествовалентных электронов.
Для определённости будем говорить про кремний, в котором каждыйатом связан со своими соседями четырьмя ковалентными связями (структура алмаза).Характерными концентрациями примесей, при которых применимы наши рассужденияявляются концентрации порядка1014 ... 1017 1 /см3 . Снизу этот диапазон ограничен12 Если бы имелось несколько эквивалентных экстремумов в зонной структуре полупроводника, то, как легкозаметить, при T =0 ответ не изменится, а при конечных температурах возникнет дополнительнаялинейная по температуре поправка–Ne1, гдеk B T ln2NhNeиNh— число электронных идырочных экстремумов. При наличии носителей с несколькими массами (но с одинаковой энергией вэкстремуме ε( ⃗k ) )также ответ качественно не изменится, линейная по температуре поправка будет иметь1вид – k B T ln2{3/ 2∑ N (ie ) ( m(i)e )3/ 2∑ N (ih ) ( m(i)h )}.стр.
18 из 3512.03.2018технологией (концентрация примесей 1014 1 /см3 соответствует чистоте материала науровне 10−10 ), а при концентрациях, больших чем примерно 1019 1/ см3 , образуются такназываемые примесные зоны. Если такая примесная зона сольётся с валентной зоной илизоной проводимости, то, строго говоря, полупроводник становится полуметаллом [3]. Внашем изложении мы будем предполагать, что образования примесной зоны не произошло.Рисунок 13: Типичное положение примесного уровня (сплошная прямая, εd ,a ) и уровняхимпотенциала при T =0 (пунктирная линия, μ ) в слаболегированном полупроводникедля донорной (а) и акцепторной (б) примеси.
Из книги [2].Если один из атомов кремния заместить пятивалентным мышьяком, то четыре валентныхэлектрона образуют ковалентные связи с соседними атомами кремния, а один избыточныйэлектрон останется при T =0 на атоме примеси. Если энергия ионизации этого электронаокажется достаточно низкой, то этот избыточный электрон может перейти в зонупроводимости (валентная зона занята полностью), оставив за собой полностьюионизованный атом примеси с избыточным положительным зарядом.Если один из атомов кремния заменить трёхвалентным индием, то, наоборот, электроновпримесного атома не хватает на устройство полного набора ковалентных связей в структуреалмаза.
У одного из соседних атомов кремния на химической связи в направлении атомаиндия окажется неспаренный электрон, то есть на этой связи появится вакансия дляэлектрона. На это вакантное место может попасть один из электронов из основной матрицы.При этом в матрице оказывается нехватка одного электрона — образуется вакансия, котораяможет перемещаться по кристаллу. Это можно описать как ионизацию связанного состояния«атом индия — дырка».
Соответственно, после отрыва дырки от примесного атома остаётсяотрицательно заряженный ион примеси.Если концентрация примесных атомов мала, то все атомы примеси на энергетическойдиаграмме можно приближенно охарактеризовать положением одного единственного уровняэнергии ионизации примеси (примесного уровня) относительно валентной зоны и зоныпроводимости.13 Это положение есть функция материала.13 Необходимо подчеркнуть, что это упрощённое описание.
Как мы увидим далее, электрон или дырка вблизипримесного иона могут иметь целую структуру водородоподобных уровней. Представление обединственном уровне позволяет однако существенно упростить вычисления и получить качественноеописание многих явлений.стр. 19 из 3512.03.2018Для теоретического определения положения примесного уровня необходимо решатьуравнение Шредингера с учётом взаимодействия электронов примесного атома и с«родительским» атомом и с атомами матрицы полупроводника. Строгое решение этой задачивыходит за рамки курса, один из частных случаев для мелких примесных уровней будетрассмотрен далее.
Ответ будет зависеть от деталей связи электронов с родительским атомоми от свойств полупроводника. Рассмотрим феноменологически последствия возможногопопадания примесного уровня в различные области зонной структуры полупроводника.Если примесной донорный уровень окажется выше дна зоны проводимости, то избыточнымэлектронам с примеси будет энергетически выгодно перейти в зону проводимости основнойматрицы, все примесные ионы ионизуются уже при T =0 , и мы получим металлическоеповедение нашей системы с маленькой (в меру концентрации примесей) концентрациейсвободных носителей электронного типа. Аналогично, если примесной акцепторный уровеньокажется ниже потолка валентной зоны (если образование связи «примесь-атом матрицы»окажется выгоднее образования связи в матрице), то части электронов матрицы оказываетсявыгодно уже при T =0 перейти на примесь, часть состояний в валентной зоне оказываетсявакантна и, опять, получим металл с маленькой концентрацией носителей заряда дырочноготипа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
