06_semi_2018_mar12 (1182295), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Этот спектрнапоминает спектр безмассовых (нерелятивистских) частиц и поэтому иногда его называютдираковским, а точки в k-пространстве, вблизи которых спектр представим в таком виде —точками Дирака.При T =0 валентная зона заполнена полностью и уровень Ферми3 для полупроводника снулевой шириной запрещённой зоны проходит через точку пересечения валентной зоны изоны проводимости. Площадь поверхности Ферми при этом оказывается равна нулю, чтоприводит к занулению плотности состояний на поверхности Ферми.
Для изотропногоспектра электронов утверждение доказывается прямолинейно (вычисления далее дляSkdN dN11 dVk 11===трёхмерного случая) D(E )=, где S k —d E d k d E /dk (2 π)3 d k ℏ v гр (2 π)3 ℏ v грплощадь (в k-пространстве) изоэнергетической поверхности с заданной энергией. Поэтому,несмотря на отсутствие запрещённой зоны, проводимости при T =0 в такой системе (видеальном случае) нет. Мы не будем систематически рассматривать полупроводники снулевой шириной запрещённой зоны в нашем курсе.Прямозонные и непрямозонные полупроводникиРисунок 5: Схематическое изображение полупроводника с прямой и непрямой запрещённымизонами.
Пунктирные линии — возможные оптические переходы из валентной зоны в зонупроводимости. Из книги [2].Ширина запрещённой зоны ( E g , иногда также называется энергетической щелью) естьрасстояние между минимальной энергией электронного состояния в зоне проводимости(дном зоны проводимости) и максимальной энергией электронного состояния в валентной3 Напомним, что для металла уровень Ферми — это максимальная энергия заполненного электронногосостояния. Для полупроводников с нулевой шириной запрещённой зоны энергетический спектр непрерывен,поэтому представление об уровне Ферми может быть перенесено на них непосредственно.
Дляполупроводников с ненулевой шириной запрещённой зоны вопрос о положении уровня химпотенциала приT =0 (иногда также называемого уровнем Ферми) оказывается более сложен и мы подробно рассмотримего позднее (стр.18).стр. 7 из 3512.03.2018зоне (потолком валентной зоны). Мы уже знаем, что зонная структура электронного спектрав реальном трёхмерном кристалле может быть устроена весьма сложным образом.
Однакопри малом числе термоактивированных электронов в зоне проводимости можно всегдасчитать, что освобождаются только состояния вблизи максимумов спектра в валентной зоне иоказываются занятыми только состояния вблизи минимумов спектра в зоне проводимости.Таким образом, качественно важными оказываются следующие особенности спектра:совпадают ли в k-пространстве положения минимумов в зоне проводимости и максимумов ввалентной зоне, количество таких максимумов и минимумов, а также эффективные массы(вообще говоря, анизотропные), описывающие эти минимумы и максимумы спектра.Если минимум энергии в зоне проводимости совпадает в k-пространстве с максимумомэнергии в валентной зоне, то запрещённую зону называют прямой, а если не совпадает, тонепрямой, а полупроводник: прямозонным и непрямозонным, соответственно.
Схематическиэто различие изображено на рисунке 5. Оно оказывается принципиально, например, впроцессах оптического возбуждения электронов и релаксации возбуждённых состояний. Таккак волновой вектор фотона с энергией порядка электронвольт много меньшебриллюэновского, межзонные процессы с участием фотонов происходят практически безизменения волнового вектора электрона. Поэтому процесс перехода электрона из минимумазоны проводимости в максимум валентной зоны с излучением фотона (и обратный процесс споглощением фотона минимальной энергии) оказывается существенно подавлен (запрещён)для непрямой запрещённой зоны. В результате время излучательной рекомбинации (процессас отдачей избытка энергии в форме излучения светового кванта) электрона в прямозонномполупроводнике InSb составляет около 1 мксек, а аналогичные времена в непрямозонныхполупроводниках Si или Ge составляют около 3 часов и 0.43 сек [2].Параметры различных полупроводников представлены в таблице 1.Таблица 1: Ширина и тип запрещённой зоны (d - прямая, i - непрямая) в некоторыхполупроводниковых кристаллах.
Из книги [1].КристаллТип запрещ.зоныE g , эВ0 0Калмазi5.4Sii1.17Geiα-SnКристалл300 0КТип запрещ.зоныE g , эВ0 0К300 0КPbSd0.290.34...0.371.14PbSed0.170.270.740.67PbTed0.190.30d, нулеваяширина00CdSd2.582.42InSbd0.230.18CdSed1.841.74InAsd0.360.35ZnO3.443.2InPd1.291.35ZnS3.913.6GaPi2.322.26SnTe0.30.18GaAsd1.521.43AgCl3.2GaSbd0.810.78AgI2.8AlSbi1.651.52Cu2O2.173.0TiO23.030.33ZnSb0.53SiC (hex)Tedстр.
8 из 35d0.5612.03.2018Электроны и дырки в полупроводнике.Количество электронов в зоне проводимости и вакансий в валентной зоне в случаеполупроводника обычно невелико. Поэтому оказывается удобно рассматривать свойстваполупроводника на языке квазичастиц, а не на языке «настоящих» электронов. Это позволитвместо рассмотрения большого числа «настоящих» электронов 4, заполняющих валентнуюзону со сложным спектром ε( ⃗k ) , рассматривать малое число квазичастиц с квадратичнойдисперсией.Процесс перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости удобно для этогорассматривать как рождение пары «частица-античастица» на фоне «вакуума» полностьюзаполненной валентной зоны и полностью свободной зоны проводимости.
При этом«частица» рождается в зоне проводимости и полностью соответствует «настоящему»электрону, а античастица описывает поведение валентной зоны без одного электрона, как мыувидим чуть позже эта античастица не совсем совпадает с вакансией в валентной зоне,образовавшейся после ухода электрона.Частицы традиционно называют электронами5, античастицы — дырками. Отметим, что этиобозначения похожи на введённые нами при обсуждении металлов электронные и дырочныеT =0ферми-поверхности, но есть некоторые отличия: в металлах приимеетсяопределённая поверхность Ферми (поверхность в k-пространстве на которой скачкомменяется электронная плотность), а в полупроводниках никакой поверхности Ферми нет, припрактически важных температурах газ квазичастиц в полупроводнике в большинстве случаевT =0оказывается невырожденным, приполупроводник становится диэлектриком.Поэтому в металле для описания его свойств при не слишком высоких (и реально — при всехпрактически значимых) температурах нас интересовала лишь плотность состояний наповерхности Ферми, для вычисления которой можно было перейти к понятию дырки, какпросто отсутствия электрона в недозаполненной зоне.
В полупроводнике же образовавшаясяв валентной зоне вакансия существует среди других электронов.Квазиимпульс электронов и дырок принято отсчитывать от минимума или максимумасоответствующей зоны. При необходимости6 он легко пересчитывается в квазиимпульс вкоординатах первой зоны Бриллюэна по известному положению этих экстремумов. Началоотсчёта энергии произвольно, есть два стандартных выбора: отсчитывать энергию от потолкавалентной зоны или от дна зоны проводимости. В рамках нашего изложения мы будемотсчитывать энергию от потолка валентной зоны. Обратите внимание, что от этого выборабудет зависеть запись некоторых результатов.Тогда, считая эффективную массу изотропной, закон дисперсии электронов можноℏ 2 ⃗q2ε(⃗q)=E+представить в виде, где me - эффективная масса электрона.
Зарядeg2 meэлектрона конечно же отрицательный.Античастица (дырка) имеет положительный заряд по определению (это просто требованиезакона сохранения заряда), а вот её масса, волновой вектор и закон дисперсии заслуживают4 Подчеркнём, что эти электроны движутся в кристалле, то есть уже имеют сложный спектр и закондисперсии и не являются свободными электронами, то есть уже являются квазичастицами.
Может быть несовсем удачный термин «настоящие» подчёркивает, что речь идёт о многочисленных электронныхсостояниях в кристалле, число которых равно числу электронов.5 Мы надеемся, что в ходе изложения удастся избежать путаницы между электронами в смысле электронов,попавших в зону проводимости и «настоящими» электронами, заполняющими в том числе и валентную зону.6 Точное положение этих экстремумов может быть важно для некоторых правил отбора, например воптических процессах, однако для термодинамических и транспортных свойств, о которых мы будем восновном говорить, этот перенос начала отсчёта не принципиален.стр.
9 из 3512.03.2018более детального разговора. Для простоты будем полагать, что имеем дело с единственныммаксимумом в валентной зоне. Спектр «настоящих» электронов вблизи квадратичногоℏ 2 ⃗q2максимума ε(⃗формально соответствует отрицательной эффективной массеq )≈−2M(−M )<0 . Уравнение динамики для вакансии (например, при включении электрическогоd ⃗q⃗ , это связано с тем, что вакансия=−e Eполя) будет таким же как и для электрона ℏdtдвижется не независимо, а вместе с электронами: движение вакансии в электрическом полеможно рассматривать как перемещение свободного места в цепочке электронных состояний— если все электроны сдвинулись в k-пространстве 7 на δ k , то и вакансия сместиласьровно на столько же (рисунок 6).Рисунок 6: Движение вакансии в заполненной валентной зоне в присутствии электрическогополя.
Буквы A, B, C.... нумеруют электронные состояния. В начальный момент (а) вакансияобразована в состоянии F. При смещении всех электронов на одну позицию влево по рисунку(б) вакансия смещается в положение E левее, и так далее (в). Из книги [1].7 Напомним, что мы говорим о заполненной валентной зоне. Мы рассматриваем поведение вблизи потолказоны, а вблизи края зоны Бриллюэна при смещении в импульсном пространстве будут происходитьпроцессы переброса, переставляющие электроны с левого на правый (по рисунку 6) края зоны Бриллюэна итаким образом сохраняя зону заполненной (за исключением рассматриваемой вакансии).стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
