06_semi_2018_mar12 (1182295), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В обоих этих случаях при нулевой температуре химпотенциал совпадёт с энергиейФерми образовавшихся свободных носителей заряда.Если примесной донорный уровень окажется ниже потолка валентной зоны или примеснойакцепторный уровень окажется выше дна зоны проводимости, то ничего существенного посравнению с чистым полупроводником не произойдёт: для термодинамических свойств такойсистемы по-прежнему главным (наиболее вероятным) будет переход электронов междупотолком валентной зоны и дном зоны проводимости, так как разница энергий между этимисостояниями будет минимальна.Наиболее интересным (в том числе и с точки зрения приложений) является случай, когдапримесной уровень попадает в запрещённую зону.
При этом стараются подобрать примеситак, чтобы донорный уровень оказался близко к дну зоны проводимости 14, а акцепторный —к потолку валентной зоны (рисунок 13). Такие неглубокие примесные уровни не являютсяединственно возможными, но, как мы увидим далее (стр. 30), у них есть нагляднаяфизическая интерпретация в виде водородоподобного состояния электрона или дырки вокрестности ионизованной примеси.Мы можем, опираясь на предыдущие результаты, сразу указать положение химпотенциала влегированном полупроводнике с единственным неглубоким примесным уровнем при T =0и в высокотемпературном пределе: при T =0 уровень химпотенциала будет ровнопосередине между примесным уровнем и дном зоны проводимости для донорной примеси ировно посередине между примесным уровнем и потолком валентной зоны для акцепторнойпримеси, а при высоких температурах уровень химпотенциала сместится к серединезапрещённой зоны к положению, характерному для чистого полупроводника.
15 Характернойтемпературой перехода от одного режима к другому является температура, при которойколичество собственных носителей сравняется с количеством носителей, внесённых14 В кремнии расстояние от примесного уровня донорной примеси (P, As, Sb) до дна зоны проводимости равно0.04...0.05 эВ при ширине запрещённой зоны 1.12 эВ, в германии для тех же донорных примесей около 0.01эВ при ширине запрещённой зоны 0.66 эВ.[1]15 Это рассуждение не совсем общее — оно неявно предполагает, что имеется по одному экстремуму ввалентной зоне и зоне проводимости и эффективные массы электронов и дырок равны.
При таких условиях,действительно, высокотемпературный химпотенциал окажется посередине запрещённой зоны. В случаесильно отличающихся эффективных масс (см. например задачу 4.40 из задачника [10]) при высокихтемпературах химпотенциал может сильно сместиться и даже попасть в одну из зон. Аналогично, переход отнизкотемпературного к высокотемпературному пределу определяется свойствами конкретногополупроводника и может оказаться нетривиальным.стр. 20 из 3512.03.2018легированными примесями.
Из этого рассуждения в частности следует, что для номинальночистого полупроводника (в котором в реальности всегда есть некоторое количествоструктурных или примесных дефектов) при T =0 химпотенциал окажется не посерединезапрещённой зоны, а направление смещения химпотенциала в номинально чистомполупроводнике будет при низких температурах определяться не массами носителей, а типомслучайно имеющихся дефектов.
По этой, чисто технологической причине, кристаллыноминально чистого полупроводника оказываются слегка легированы центрами n или p-типа,для отработанных технологий тип этого «невольного» легирования известен.Отметим также, что в одном и том же полупроводнике могут одновременно присутствовать инесколько видов примеси: доноры и акцепторы, доноры разной валентности или с разнойглубиной уровней. Мы будем для простоты рассматривать случай наличия единственноготипа примесей. Более сложные случаи рассматриваются аналогично: заселённости всехпримесных уровней и зон определяются единственной характеристикой — химпотенциалом,в сочетании с условием электронейтральности это позволяет построить полную системууравнений.Концентрация носителей в легированных полупроводниках.Закон действующих масс (правило рычага).Как легко заметить, ионизация донорных примесей приводит к появлению в полупроводникеизбытка делокализованных электронов над дырками (такие полупроводники называютполупроводниками n-типа), а захват электронов акцепторами к появлению избытка дырокнад электронами16 (такие полупроводники называют полупроводниками p-типа).Доминирующие носители называют основными носителями заряда, а второй тип носителей— неосновными.Условие электронейтральности для легированного полупроводника превращается в(ion)(ion)N (ion)n e + N a =nh + N d, где— концентрация ионизованных акцепторных иa ,dдонорных примесей.
Ионизованные примеси не участвуют в переносе заряда, поэтому дляпрактики важно определение концентрации электронов и дырок в зоне проводимости и ввалентной зоне.При получении концентрации собственных носителей заряда ранее мы получили выражение,в которое не входит химпотенциал.
Следовательно, это выражение можно применять и длялегированного полупроводника, просто теперь нельзя записать n 0=n e =n h и необходимопрямо выписывать произведение концентраций:3/ 2n e n h=4 ( me mh )( )3kBTe−E/(k B T )(напомним, что мы вычислили это в модели с2πℏединственными экстремумами в валентной зоне и зоне проводимости). Это выражение и естьзакон действующих масс, иногда называемый правилом рычага.2gОтметим, что произведение концентраций электронов и дырок в легированномполупроводнике в точности равно этому произведению в собственном полупроводнике. Этоозначает, что, например, введение донорной примеси не только увеличивает количествоэлектронов в зоне проводимости, но и во столько же раз уменьшает количество дырок.Утверждение может показаться контринтуитивным, но на самом деле оно совершеннологично — при появлении вакансий в валентной зоне (т.е.
при появлении дырок) электронамс донорного уровня энергетически выгодно перейти в валентную зону, заполнив вакантное16 Захваченный акцепторной примесью электрон локализован, а оставшаяся в валентной зоне вакансия —делокализована.стр. 21 из 3512.03.2018место (то есть, уменьшив число дырок).Найдём равновесные концентрации носителей и положение химпотенциала в, дляопределённости, полупроводнике с примесями донорного типа. Пусть N d — концентрациядонорных примесей, а εd — положение примесного уровня. Вероятность того, что1электронное состояние на донорном уровне занято есть. Соответственно(ε −μ)/Te+1Nd1N (ion)=N d 1− (ε −μ )/ T=концентрацияионизованныхпримесей.d−(ε −μ)/Te+11+ eВыраженные через химпотенциал концентрации электронов и дырок остаются теми же (мысчитаем газ электронов и дырок невырожденным).
Тогда, подстановкой в уравнениеэлектронейтральности получаем, используя для компактности понятие статфактора зон,уравнение на химпотенциал:d(Qe e−(Eg−μ)/T=Nd−(εd −μ )/ T1+ed)d+Q h e−μ/ T .В этом уравнении от температуры зависят химпотенциал μ и статфакторы зон Qe , h , еготочное решение невозможно. Поэтому мы рассмотрим предельные случаи высоких и низкихтемператур.При низких температурах T → 0 можно пренебречь в этом равенстве концентрацией дырокμ=(E g +ε d )/ 2 , то μ≈ E g ≫(E g−μ ) ) и единицей в выражении для(так как при T =0концентрации ионизованных примесей ( (μ−ε d )/T > 0и велико в этом пределе).Фактически, мы пользуемся тем, что при низкой температуре основная часть электронов взону проводимости придёт с ионизованных донорных примесей.
Тогда получаем−(E g −μ)/TQe e=Nde−(μ−εd )/ Tи логарифмированием получаем, аналогично рассмотренной задаче о чистом полупроводникеμ=E g + εd TQ− ln e22 Nd.Для концентрации электронов получаемn e=Q e e −(E −ε )/(2T)gd√Nd= Q N e−(E −ε )/(2T) .Qe √ e dgdОбратите внимание, что учёт температурной зависимости химпотенциала привёл ксущественной перенормировке предэкспоненциального множителя. При 300К и для массыэлектрона равной массе свободного электрона Qe =2.5⋅1019 1/см 3≫N d≃1015 ...1016 1/см 3 ,то есть предэкспонента оказывается в десятки раз меньше, чем для чистого полупроводника.Это однако с лихвой компенсируется показателем экспоненты, в котором теперь вместо«большой» энергетической щели стоит «маленькое» расстояние от примесного уровня доближайшей зоны.Для концентрации неосновных носителей заряда (дырок в этом примере), пользуясь тем, что−E / Tn e n h=Q e Q h e, получаемgn h=Q h√Q e −(EeNdg+εd )/(2T ).С учётом близости донорного уровня к дну зоны проводимостистр.
22 из 35E g≈εdи показатель12.03.2018экспоненты по модулю оказывается почти вдвое больше, чем для чистого полупроводника. Врезультате, несмотря на заметное изменение предэкспоненты по сравнению с чистымполупроводником, концентрация дырок (неосновных носителей заряда) окажется меньше вполупроводнике n-типа.Завершая этот анализ, найдём отношение концентрацийne N d ε=enh Q hd/T.Аналогично может быть получен результат для химпотенциала и концентрации дырок вполупроводнике p-типа [2], приведём здесь только ответы:εa k B T Q h+lnи n h=√ Qh N a e −ε /(2T) , где22Naакцепторов и энергия акцепторного уровня.μ=Naaиεa— концентрация атомов-Рассмотрим теперь высокотемпературный предел, когда доминируют «собственные»электроны полупроводника, перешедшие из валентной зоны в результате термоактивации.Будем считать, что химпотенциал при этом окажется близок к середине запрещённой зоны(но температура всё ещё много меньше ширины запрещённой зоны), что предполагаетотсутствие сильного различия статфакторов валентной зоны и зоны проводимости.
Тогда вуравнении электронейтральности для донорного уровня экспонента в знаменателеоказывается маленькой и все примеси будут полностью ионизованы. Для концентрацииносителей тогда n e =n h+ N d и поправка к концентрации носителей может быть легконайдена при помощи правила рычага. С линейной точностью 17 концентрация электроноввозрастёт на N d /2 , а число дырок — уменьшится на N d /2 по сравнению с чистымполупроводником.Для химпотенциала вычисляем по уравнению электронейтральности:Qe e−(Eg−μ)/T(= N d + Q h e−μ /T =Q h e−μ/ T 1+Nd−μ/TQh e).Логарифмированием (и используя то, что термоактивированных электронов и дырок ужемного больше, чем донорных примесей N d ≪Qh e−μ/T ) получаем:ln Q e −Eg μNdμ+ ≈ln Qh− +T TT Qh e−μ /Tμ 0 (T ), где— температурнаяE g T Qh T N d E /(2T)T N d E /(2T)μ≈+ ln+e=μ 0 (T )+e2 2 Qe 2 Qh2 Qhзависимость химпотенциала в чистом полупроводнике. Напомним, что статфактор зоны3/ 2T[К ]19 m×1/ см3 .
То есть, действительно,также зависит от температуры Q=2.51⋅10m0 300 Кпри высокой температуре химпотенциал приближается к своему положению в серединезапрещённой зоны, характерному для чистого полупроводника.[]gg()Для перехода между этими пределами отметим, что низкотемпературный пределne≫1 , то есть N d ≫Q h e−ε /T .характеризуется условием (для полупроводника n-типа)nhВ высокотемпературном пределе мы считаем концентрацию примесей малой по сравнению сd17 Считаем,что20концентрацияэлектроновn e =n0 + N d / 2 ,дырокn h=n 0−N d /2 .Тогда2dn e n h=n +O( N ) и уравнение электронейтральности также выполнено.стр.
23 из 3512.03.2018концентрацией термоактивированных электронов из валентной зоны, то есть (не учитывая−E /(2T)отличие химпотенциала от середины зоны в этом пределе) N d ≪ √Qe Qh e. Так какεd ≃E g , эти условия не противоречивы, но есть некоторая область температур, неподпадающая ни под один предел. Более подробный разбор вопроса о концентрацииносителей в легированном полупроводнике, включающий этот случай «средних» температурпроведён в задаче 4.10 задачника [10]. Для оценки, зависимости характерных для этихусловий концентраций дефектов от температуры (для простоты положено me =m h=m0 ,Q=Q e =Qh , взяты параметры ширины запрещённой зоны для кремния) построены нарисунке 14. Видно, что практически для любой разумной концентрации примесей прикомнатной температуре мы окажемся в пределе низких температур, когда свойства носителейзаряда определяются легированием — это позволяет применять кремниевуюполупроводниковую электронику при комнатных температурах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
