Диссертация (1150426), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1.1.1,накладывает на параметры среды дополнительные ограничения.351.2 Эффективный операторЭффективный оператор, как обычно, задается с помощью решенийвспомогательных задач на ячейке, поэтому с этих задач мы и начнем.1.2.1 Задачи на ячейкеПри x 2 ∈ Rd2 и ξ ∈ Cd ×n определим Nξ ( · , x 2 ) как слабое решение задачиD 1∗ A( · , x 2 )(D 1 Nξ ( · , x 2 ) + ξ) = 0(1.2.1)в пространстве H̃01 (Q)n .
Определим также Mη ( · , x 2 ) при x 2 ∈ Rd2 и η ∈ Cnкак слабое решение задачиD 1∗ (A( · , x 2 )D 1 M η ( · , x 2 ) + a 2 ( · , x 2 )η) = 0(1.2.2)в пространстве H̃01 (Q)n . Поскольку A( · , x 2 ) ∈ L ∞ (Q) и a2 ( · , x 2 ) ∈ L 2 (Q), тоD 1∗ A( · , x 2 )ξ и D 1∗ a 2 ( · , x 2 )η при почти всех x 2 представляют собой антилинейные непрерывные функционалы на H 1 (Q)n . Для того чтобы показать,что задачи (1.2.1) и (1.2.2) однозначно разрешимы, достаточно убедиться,что оператор D 1∗ A( · , x 2 )D 1 сильно коэрцитивен на H̃ 1 (Q)n .Лемма 1.2.1. При всех x 2 ∈ Rd2 справедлива оценкаRe(A( · , x 2 )D 1 u, D 1 u)Q Ê c A kD 1 uk22,Q ,u ∈ H̃ 1 (Q)n .Доказательство.
Пусть v (ε) = εu ε ϕ, где u ∈ C̃ 1 (Q)n и ϕ ∈ C c∞ (Rd ). Подставим функцию v (ε) в неравенство (1.1.4) и устремим ε к нулю. Тогда так какkv (ε) k2,Rd → 0 и kD 2 v (ε) k2,Rd → 0, а kD 1 v (ε) − (D 1 u)ε ϕk2,Rd → 0, то〈A ε (x)(D 1 u)ε (x 1 ), (D 1 u)ε (x 1 )〉|ϕ(x)|2 dx ÊZÊ lim c A|(D 1 u)ε (x 1 )|2 |ϕ(x)|2 dx.lim Reε→0ZRdε→0RdХорошо известно,что если f ∈ L̃ 1 (Q), то при ε → 0 функция f ε слабо сходитRся в L 1,loc (Rd1 ) к Q f (y 1 ) dy 1 ; иначе говоря, для любой функции g ∈ L ∞ (Rd1 )с компактным носителем имеет место сходимостьZRd 1f (ε−1x 1 ) g (x 1 ) dx 1 −−−→ε→0Z ZRd 1Qf (y 1 ) g (x 1 ) dx 1 dy 1(1.2.3)(см., например, [ZhKO93, глава 1, § 1]). Тогда, используя еще теорему Лебега,получаем:Z ZRe〈A(y 1 , x 2 )D 1 u(y 1 ), D 1 u(y 1 )〉|ϕ(x)|2 dx dy 1 ÊQ Z Z|D 1 u(y 1 )|2 |ϕ(x)|2 dx dy 1 .Ê cARdRdQТак как функция A непрерывна по второму аргументу, а функция ϕ —произвольна, то при всех x 2 ∈ Rd2 справедлива поточечная оценкаReZQ〈A(y 1 , x 2 )D 1 u(y 1 ), D 1 u(y 1 )〉 dy 1 Ê c AZQ|D 1 u(y 1 )|2 dy 1 .ä36Из доказанной леммы и стандартного неравенства Пуанкаре вытекает,чтоRe(A( · , x 2 )D 1 u, D 1 u)Q ⊺ kuk21,2,Q ,u ∈ H̃01 (Q)n .Таким образом, Nξ и Mη действительно корректно определены.Обозначим через N и M отображения, сопоставляющие элементам ξи η функции Nξ и Mη .
Легко понять, что Nξ и Mη зависят от ξ и η линейно,поэтому N и M суть линейные операторы умножения на функции N ( · )и M ( · ), заданные соотношениями N (x)ξ = Nξ (x) и M (x)η = Mη (x). Следующий результат позволит нам установить важные свойства этих функций.Лемма 1.2.2. Пусть u( · , x 2 ) ∈ H̃01 (Q)n при почти всех x 2 ∈ Rd2 есть слабоерешение задачиD 1∗ A( · , x 2 )D 1 u( · , x 2 ) = D 1∗ f ( · , x 2 ),(1.2.4)в которой f ∈ M(H m ( F), L 2 ( F)) с некоторым фиксированным m ∈ N0 . ТогдаD 1 u ∈ M(H m (Rd2 ), L 2 ( F)) иkD 1 ukM ∁ k f kM .Если к тому же D 2 f ∈ M(H m ( F), L 2 ( F)), то D 1 D 2 u ∈ M(H m (Rd2 ), L 2 ( F)) иkD 1 D 2 ukM ∁ k f kM + kD 2 f kM .Доказательство. В соответствии с леммой 1.2.1 имеем:c A kD 1 u( · , x 2 )k22,Q É Re(A( · , x 2 )D 1 u( · , x 2 ), D 1 u( · , x 2 ))Q ,или, учитывая, что u( · , x 2 ) решает задачу (1.2.4),c A kD 1 u( · , x 2 )k22,Q É Re( f ( · , x 2 ), D 1 u( · , x 2 ))Q .Домножим данное неравенство на |w(x 2 )|2 , где w ∈ C c∞ (Rd2 ), и проинтегрируем его по переменной x 2 , тогда получим:c A kD 1 u · wk2, F É k f wk2, F É k f kM kwkm,2,Rd2 .(1.2.5)Это доказывает первое утверждение леммы.Предположим теперь, что D 2 f ∈ M(H m ( F), L 2 ( F)).
Мы будем опиратьсяна технику разностных отношений. Пусть e 2,i — единичный вектор в на(h)правлении оси x 2,i , и пусть h ∈ R \ {0}. Тогда разностное отношение D 2,iпо(h)переменной x 2,i задается формулой D 2,iϕ = −i h −1 ∆he 2,i ϕ. Отметим, что(h) ∗(−h)(D 2,i) = D 2,i,(h)(h)(h)D 2,iϕψ = D 2,iϕ · The 2,i ψ + ϕD 2,iψ,где The 2,i ψ(x) = ψ(x + he 2,i ).(h)Подействуем на обе части равенства (1.2.4) оператором D 2,i:(h)(h)(h)D 1∗ A( · , x 2 )D 1 D 2,iu( · , x 2 ) = −D 1∗ (D 2,iA)( · , x 2 )D 1 The 2,i u( · , x 2 ) + D 1∗ D 2,if ( · , x 2 ).37В силу леммы 1.2.1,¯¡ (h)¢ ¯(h)(h)c A kD 1 D 2,iu( · , x 2 )k22,Q É ¯ (D 2,iA)( · , x 2 )D 1 The 2,i u( · , x 2 ), D 1 D 2,iu( · , x 2 ) Q ¯ +¯¡ (h)¢ ¯(h)+ ¯ D 2,if ( · , x 2 ), D 1 D 2,iu( · , x 2 ) Q ¯.(1.2.6)Домножая полученную оценку на |w(x 2 )| , где, как и ранее, wиинтегрируя по переменной x 2 , приходим к следующему результату:∈ C c∞ (Rd2 ),2(h)(h)(h)A · D 1 The 2,i u · wk2, F + kD 2,if · wk2, F.c A kD 1 D 2,iu · wk2, F É kD 2,iЗаметим, что если локально суммируемая функция γ имеет слабую производную D 2,i γ, то(h)(−h)(D 2,iγ, ϕ) F = (γ, D 2,iϕ) F =Z10(γ, T−t he 2,i D 2,i ϕ) Fdt =Z10(Tt he 2,i D 2,i γ, ϕ) Fdtпри любых ϕ ∈ C c∞ ( F), или(h)D 2,iγ(x) =Z10Tt he 2,i D 2,i γ(x) dt .(1.2.7)(h)Из выписанного соотношения прямо следует, что kD 2,iAkM É kD 2,i AkM и(h)kD 2,if kM É kD 2,i f kM .
Используя еще (1.2.5), находим:¡¢(h)c A kD 1 D 2,iu · wk2, F É c −1kDAkkfk+kDfkkwkm,2,Rd2 .2,iMM2,iMA(h j )Тем самым существует подпоследовательность {D 1 D 2,iu · w} j ∈N , h j → 0,которая слабо сходится в L 2 ( F) к некоторой функции v 2,i (w) ∈ L 2 ( F). Осталось установить, какой вид имеет эта функция.Пусть χr — «гладкая характеристическая функция» шара B r (0) ⊂ Rd2 сносителем в B 2r (0), то есть χr ∈ C ∞ (Rd2 ) равна единице на B r (0), обращается в нуль вне B 2r (0) и принимает значения между нулем и единицейвнутри B 2r (0) \ B r (0). Если 2r É R , то χr = χr χR , и потому v 2,i (χr ) = v 2,i (χR )χr .Тем самым мы можем определить функцию v 2,i на F формулой v 2,i (x) == v 2,i (χ2k )(x), где x ∈ Q × B 2k (0) с каким-нибудь k ∈ N. Далее, для любого w ∈∈ C c∞ (Rd2 ) существует такое k ∈ N, что w = χ2k w , а значит, v 2,i (w) = v 2,i w .Несложно понять, что v 2,i совпадает с D 1 D 2,i u .
В самом деле, пусть функция ϕ ∈ C c∞ ( F) равна нулю при |x 2 | Ê 2k , где k ∈ N. Тогда(h )(−h j )(D 1 D 2,ij u · χ2k , ϕ) F = (D 1 u, D 2,iϕ) F,и левая часть стремится к (v 2,i , ϕ)F, а правая — к (D 1 u, D 2,i ϕ)F.(h j )Таким образом, мы показали, что последовательность D 1 D 2,iu · w приh j → 0 слабо сходится к D 1 D 2,i u · w . Искомая оценка теперь вытекает изслабой полунепрерывности снизу нормы пространства L 2 ( F):¡¢c A kD 1 D 2,i u · wk2, F É c −1kDAkkfk+kDfkkwkm,2,Rd2 .2,iMM2,iMAДоказательство леммы завершено.ä38Задачи на N и M могут быть представлены в виде (1.2.4), причем соответствующие функции f удовлетворяет обоим условиям леммы при m = 0для первой задачи и при m = 1 — для второй. Отсюда следует, что D 1 Nи D 1 D 2 N принадлежат пространству M(L 2 (Rd2 ), L 2 ( F)), а D 1 M и D 1 D 2 M —пространству M(H 1 (Rd2 ), L 2 ( F)).
Кроме того, так как средние значения Nи M по ячейке Q равны нулю, то, применяя стандартное неравенствоПуанкаре, мы находим, что N и D 2 N являются элементами пространства M(L 2 (Rd2 ), L 2 ( F)), а M и D 2 M — пространства M(H 1 (Rd2 ), L 2 ( F)).1.2.2 Эффективный операторЭффективный оператор A0 : H 1 (Rd )n → H −1 (Rd )n имеет тот же вид, чтои исходный:A0 = D ∗ A 0 D + (a 10 )∗ D + D ∗ a 20 + q 0 .(1.2.8)Приведем формулы для его коэффициентов.Функция A 0 : Rd2 → B(Cd ×n ) определяется равенством0A (x 2 ) =ZQA(y 1 , x 2 )(I + D 1 N (y 1 , x 2 )) dy 1 .(1.2.9)Убедимся, что она равномерно ограничена.
Для этого представим произвольную функцию w ∈ L 1 (Rd2 ) в виде w = ūv , где u, v ∈ L 2 (Rd2 ) таковы, чтоkuk2 d2 = kvk2 d2 = kwk1,Rd2 . Тогда если ξ, ζ ∈ Cd ×n , то2,R2,R|(A 0 ξ, ζw)Rd2 | = |(A(ξ + D 1 Nξ )u, ζv) F| ÉÉ kAkM (1 + kD 1 N kM )|ξ||ζ|kuk2,Rd2 kvk2,Rd2 == kAkM (1 + kD 1 N kM )|ξ||ζ|kwk1,Rd2 ,откудаkA 0 kM É kAkM (1 + kD 1 N kM ).Аналогично проверяется, что ограничена и производная D 2 A 0 , и тем самым A 0 ∈ C 0,1 (R̄d2 ). Как известно, при выполнении (1.1.13) оператор D ∗ A 0 Dсильно эллиптичен, а потому коэрцитивен на H 1 (Rd )n .
Ниже мы установим, что постоянные в соответствующей оценке могут быть выбраны такими же, как и в оценке (1.1.4) для оператора D ∗ A ε D (см. неравенство (1.2.17) в доказательстве леммы 1.2.3 и обсуждения сразу после нее).Далее, функции a10 , a20 : Rd2 → B(Cn , Cd ×n ) задаются формуламиa 10 (x 2 ) =a 20 (x 2 ) =ZZQQ(I + D 1 N (y 1 , x 2 ))∗ a 1 (y 1 , x 2 ) dy 1 ,(1.2.10)(a 2 (y 1 , x 2 ) + A(y 1 , x 2 )D 1 M (y 1 , x 2 )) dy 1 .(1.2.11)Покажем, что a10 , D 2 a10 и a20 , D 2 a20 являются мультипликаторами междуH 1 (Rd2 ) и L 2 (Rd2 ). Пусть u ∈ H 1 (Rd2 )n .
Согласно неравенству Кошиka 10 uk22,Rd2¯2Z ¯Z¯¯∗¯¯ dx 2 É=(I+DN(y,x))a(y,x)u(x)dy11211221¯¯Rd2 QµZ¶ZZ222É 2 |a 1 (x)u(x 2 )| dx + 2 |D 1 N (x)||a 1 (y 1 , x 2 )u(x 2 )| dy 1 dx.FFQ39Так как D 1 N — мультипликатор между L 2 (Rd2 ) и L 2 ( F), тоZ|D 1 N (x)|2Fи, следовательно,µZQ¶2|a 1 (y 1 , x 2 )u(x 2 )| dy 1 dx É kD 1 N k2M ka 1 uk22, F,ka 10 uk2,Rd2 É 2(1 + kD 1 N kM )ka 1 uk2, F ÉÉ 2ka 1 kM (1 + kD 1 N kM )kuk1,2,Rd2 .Аналогичноka 20 uk22,Rd2¯2Z ¯Z¯¯¯ (a 2 (y 1 , x 2 ) + A(y 1 , x 2 )D 1 M (y 1 , x 2 ))u(x 2 ) dy 1 ¯ dx 2 É=¯¯Rd 2 QµZ¶ZZ222É 2 |a 2 (x)u(x 2 )| dx + 2 |A(x)||D 1 M (y 1 , x 2 )u(x 2 )| dy 1 dx,FFQи посколькуZ|a 2 (x)u(x 2 )|2 dx É ka 2 k2M kuk21,2,Rd2 ,FиZ|A(x)|Fто2µZQ¶2|D 1 M (y 1 , x 2 )u(x 2 )| dy 1 dx É kAk2M kD 1 M k2M kuk21,2,Rd2 ,¡¢ka 20 uk2,Rd2 É 2 ka 2 kM + kAkM kD 1 M kM kuk1,2,Rd2 .Точно так же получаются оценки для D 2 a10 и D 2 a20 .Наконец, распределение q 0 порождается формой(q 0 u, u)Rd2 = (qu, u) F + (a 1∗ D 1 Mu, u) F(1.2.12)на пространстве H 1 (Rd2 )n .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
