Диссертация (1150426), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Так, когда γ ∈ L 1,loc (Rd ), функция γε связана с γ соотношением γε (x) = γ(ε−1 x 1 , x 2 ), и тем самым при малых ε она быстроосциллирует вдоль «периодических» направлений.Приведем условия на коэффициенты. Функция A : Rd → B(Cd ×n ) равномерно ограничена и имеет равномерно ограниченную производнуюD 2 A , то есть A ∈ C 0,1 (R̄d2 ; L ∞ (Rd1 )). Кроме того, мы предполагаем, что оператор D ∗ A ε D коэрцитивен на H 1 (Rd )n равномерно по параметру ε из некоторого интервала E = (0, ε0 ], где ε0 É 1. Иначе говоря, найдутся такие постоянные c A > 0 и C A Ê 0, что при всех ε ∈ ERe(A ε Du, Du)Rd +C A kuk22,Rd Ê c A kDuk22,Rd ,u ∈ H 1 (Rd )n .(1.1.4)(Иногда это условие называют слабой коэрцитивностью в противоположность сильной коэрцитивности, когда постоянную C A можно положитьравной нулю.) Отсюда, конечно, следует, что оператор сильно эллиптичен при любых ε > 0. О связи эллиптичности и коэрцитивности, а такженекоторых достаточных условиях для выполнения последней см.
в п. 1.1.1.Опишем младшие члены оператора Aε . Функции a1 , a2 : Rd → B(Cn , Cd ×n )принадлежат M(H 1 ( F), L 2 ( F)) вместе с D 2 a1 , D 2 a2 , в частности при всехu ∈ H 1 ( F)n справедливы оценкиka 1 uk22, F É c a1 kDuk22, F +C a1 kuk22, F,(1.1.5)ka 2 uk22, F É c a2 kDuk22, F +C a2 kuk22, F.(1.1.6)Распределение же q ∈ (C ∞ ( F)∗ )n×n таково, что q и D 2 q содержатся в пространстве M(H 1 ( F), H 1 ( F)∗ ), так что, в частности,|(qu, u) F| É c q kDuk22, F +C q kuk22, F(1.1.7)при произвольных u ∈ H 1 ( F)n . Поскольку все коэффициенты еще и периодичны, то записывая неравенства (1.1.5)–(1.1.7) для сдвинутых множеств Fz ,а потом суммируя их по z ∈ Zd1 , мы получаем, что a1 , a2 ∈ M(H 1 (Rd ), L 2 (Rd ))и q ∈ M(H 1 (Rd ), H 1 (Rd )∗ ), притом на H 1 (Rd )n будут справедливы аналогичные выписанным выше оценки с теми же самыми постоянными.
Легко понять также, используя свойства масштабного преобразования (см. (1.1.1)и (1.1.2)), что эти же оценки переносятся в неизменном виде на мультипликаторы a1ε , a2ε и q ε при любых ε É 1, то есть для всех u ∈ H 1 (Rd )n выполняетсяka 1ε uk22,Rd É c a1 kDuk22,Rd +C a1 kuk22,Rd ,(1.1.8)ka 2ε uk22,Rd É c a2 kDuk22,Rd +C a2 kuk22,Rd ,|(q ε u, u)Rd | É c q kDuk22,Rd +C q kuk22,Rd(1.1.9)(1.1.10)28(эти оценки можно было бы постулировать вместо (1.1.5)–(1.1.7) — см. подробности в п.
1.6.2). Отсюда ясно, что оператор Aε равномерно ограниченпо ε É 1:u ∈ H 1 (Rd )n ,(1.1.11)kAε uk−1,2,Rd É C ♭ kuk1,2,Rd ,гдеC ♭ = kAkM + ka 1 kM + ka 2 kM + kqkM(здесь и далее под мультипликаторными нормами функций A и D 2 A понимаются их равномерные нормы). Для того чтобы он стал еще и коэрцитивным, достаточно потребовать выполнения следующего условия:+ cq < c A+ c a1/2c a1/221(1.1.12)(оно заведомо имеет место, если мультипликаторы a1 , a2 и q как операторы умножения компактны). Тогда из оценок (1.1.4) и (1.1.8)–(1.1.10) получим,что при всех ε ∈ E (напомним, что если ε ∈ E, то ε É 1)Re(Aε u, u)Rd + c ♮ kuk22,Rd Ê c ∗ kDuk22,Rd ,u ∈ H 1 (Rd )n ,(1.1.13)с постояннымиc ∗ = c A − c a1/2− c a1/2− cq ,12¡¢c ♮ = C A + 2−1 c a−1/2C a1 + c a−1/2C a2 +C q .12(1.1.14)(1.1.15)Таким образом, оператор Aε оказывается m -секториальным, а соответствующий секторS = z ∈ C : |Im z| É c ∗−1C ♭ (Re z + c ∗ + c ♮ )©ªне зависит от параметра ε.Если µ находится вне S, то Aεµ = Aε − µ — изоморфизм, и потому определено обратное отображение (Aεµ )−1 и для любых f ∈ H −1 (Rd )n справедливаоценка(1.1.16)k(Aεµ )−1f k1,2,Rd ∁ k f k−1,2,Rd .Мы хотим изучить поведение операторов (Aεµ )−1 и D(Aεµ )−1 при малыхзначениях параметра ε.1.1.1 О коэрцитивностиКак уже отмечалось, условие коэрцитивности (1.1.4) означает, что оператор Aε сильно эллиптичен при любых ε > 0.
Следующий результат хорошоизвестен, но для удобства читателя мы приведем его вместе с доказательством.Лемма 1.1.1. Функция A удовлетворяет условию Лежандра–Адамара,то естьRe〈A( · )ξ ⊗ η, ξ ⊗ η〉 Ê c A |ξ|2 |η|2 ,ξ ∈ Rd , η ∈ Cn .(1.1.17)29Доказательство. Достаточно доказать утверждение для функции A εпри некотором фиксированном ε ∈ E, скажем ε0 . Согласно теореме Лебегао дифференцировании (см., например, [EG92, § 1.7]), при почти всех x 0 ∈ RdвыполненоZlim |B r (x 0 )|−1r →0B r (x 0 )|A ε0 (x) − A ε0 (x 0 )| dx = 0.Фиксируем δ > 0 и найдем r > 0, при котором|B r (x 0 )|−1ZB r (x 0 )|A ε0 (x) − A ε0 (x 0 )| dx É δ.(1.1.18)Далее, выберем функцию ϕ ∈ C c∞ (B 1 (0)), такую что Rd |ϕ(x)|2 dx = 1. Тогданоситель функции x 7→ ϕr (x) = r −d /2 ϕ(r −1 (x − x 0R)) будет находиться в B r (x 0 ),а сама она будет удовлетворять равенству Rd |ϕr (x)|2 dx = 1. Пусть ξ ∈∈ Rd и η ∈ Cn — произвольные ненулевые векторы.
Положим u j (x) == j −1 ϕr (x)e i j 〈x,ξ〉 η. Тогда u j ∈ H 1 (Rd )n , причемRZZ|ϕr (x)|2 dx −−−→ 0,j →∞ZZ|Du j (x) − ϕr (x)e i j 〈x,ξ〉 ξ ⊗ η|2 dx = j −2 |η|2|Dϕr (x)|2 dx −−−→ 0,2Rd|u j (x)| dx = j−2|η|2B r (x 0 )RdB r (x 0 )j →∞а потому, подставляя u j в качестве u в формулу (1.1.4) и переходя к пределу,получаем:ZReB r (x 0 )〈A ε0 (x)ξ ⊗ η, ξ ⊗ η〉|ϕr (x)|2 dx Ê c A |ξ|2 |η|2 .Но в силу неравенства (1.1.18) и определения функции ϕr¯Z¯¯¯¯¯〈A (x)ξ ⊗ η, ξ ⊗ η〉|ϕr (x)| dx − 〈A (x 0 )ξ ⊗ η, ξ ⊗ η〉¯¯ =B r (x 0 )¯Z¯¯¯εε200= ¯¯〈(A (x) − A (x 0 ))ξ ⊗ η, ξ ⊗ η〉|ϕr (x)| dx ¯¯ Éε02ε0B r (x 0 )É δνd kϕk2∞,Rd |ξ|2 |η|2 ,где νd — объем единичного шара в Rd . Таким образом, при произвольном δ > 0¢¡Re〈A ε0 (x 0 )ξ ⊗ η, ξ ⊗ η〉 Ê c A − δνd kϕk2∞,Rd |ξ|2 |η|2 ,что завершает доказательство.äИз условия Лежандра–Адамара коэрцитивность, вообще говоря, неследует.Для скалярных операторов условия (1.1.4) и (1.1.17) оказываются равносильными только в вещественном случае.
Чтобы и в комплексном случаеиз условия Лежандра–Адамара вытекала коэрцитивность, приходитсядополнительно требовать, например, симметричность матрицы A (неравенство (1.1.17) тогда будет верно не только при ξ ∈ Rd , но и при ξ ∈ Cd ,откуда, конечно, будет следовать (1.1.4); см. [McL00, теорема 4.7]).30Для матричных операторов дело обстоит еще сложнее, и необходимоеи достаточное алгебраическое условие на функцию A для того, чтобыоценка (1.1.4) была выполнена хотя бы при одном ε, не известно.
С другойстороны, если оценка (1.1.4) известна при каком-нибудь фиксированном ε,например при ε = 1, то масштабным преобразованием из нее выводится,чтоRe(A ε (εD 1 u + D 2 u), εD 1 u + D 2 u)Rd +C A kuk22,Rd Ê c A kεD 1 u + D 2 uk22,Rd .Когда одновременно d 2 = 0 и C A = 0, мы получаем в точности условие равномерной коэрцитивности (1.1.4). В противном случае можно говоритьлишь о вырожденной коэрцитивности. Отметим, что проблема такого типа возникает и при использовании неравенства Гординга для равномернонепрерывной функции A .Приведенные соображения показывают, что оценку (1.1.4) необходимопроверять именно при всех ε из целого интервала, что может представлять определенные трудности.
Более простое достаточное условие, которое не содержит ε, заключается в том, чтобы оператор D ∗ A( · , x 2 )D былсильно коэрцитивен на H 1 (Rd )n равномерно по переменной x 2 . Другимисловами, существует положительная постоянная c , такая чтоRe(A( · , x 2 )Du, Du)Rd Ê ckDuk22,Rd ,u ∈ H 1 (Rd )n ,(1.1.19)при всех x 2 ∈ Rd2 . В этом условии также присутствует параметр, однако онвходит в «медленную» переменную, по которой функция в определеннойстепени регулярна, и тем самым эта зависимость действительно проще.Мы отложим доказательство достаточности до следующей части (см.
лемму 2.1.4), поскольку в нём на первый план выступает именно локальнопериодическая структура функции A . Всё, что будет сказано в п. 2.1.1 части II, в равной мере относится и к рассматриваемой сейчас функции A .Обратим внимание на то, что более сильное условие Лежандра, которое сводится к равномерной положительной определенности Re A , хотяи обеспечивает коэрцитивность, сужает класс рассматриваемых операторов, исключая из него важные для приложений сильно эллиптические операторы, как, например, некоторые операторы теории упругости(см. п. 1.1.4).1.1.2 О «сингулярных» коэффициентахУсловия, которые мы накладываем на коэффициенты, позволяют включать в оператор сингулярные слагаемые, например дельта-функцию, сосредоточенную на периодической поверхности (см.
пример в п. 1.1.3 ниже).Но оператор может также содержать коэффициенты, которые «сингулярны» в другом смысле. Речь идет о мультипликаторах вида ε−1 γ с растущим множителем ε−1 . Выясняется, что при некоторых дополнительныхпредположениях от младших членов с коэффициентами подобного родаможно перейти к «несингулярным» членам большего порядка. Мы не31станем специально останавливаться на таких задачах, а лишь покажем,какие случаи могут быть сразу вложены в нашу схему.Пусть функция B : Rd → B(Cd ×n ) принадлежит C 0,1 (R̄d2 ; L̃ ∞ (Q)), и пусть,кроме того, выполнено B i j = −B j i . ТогдаD ∗ B ε D = D ∗ B ε · D = ε−1 (D 1∗ B )ε D + (D 2∗ B )ε D.Первое слагаемое справа как раз представляет собой «сингулярный» членпервого порядка. Другое же слагаемое будет «несингулярным» членомпервого порядка, если дополнительно предположить, что все производные D 2,i D 2, j B являются мультипликаторами между H 1 ( F) и L 2 ( F).
Такимобразом, если B удовлетворяет перечисленным условиям, то в оператор Aε можно включить один лишь «сингулярный» член ε−1 (D 1∗ B )ε D , компенсируя второй подбором функции a1 . Отметим, что коэффициент (D 1∗ B )∗в «сингулярном» слагаемом соленоидален по «периодической» переменPной, поскольку D 1∗ (D 1∗ B )∗ = di ,1j =1 D 1,i D 1, j B̄ i j = 0.Другой «сингулярный» член первого порядка получается из соображений двойственности.Отметим, что в полностью периодическом скалярном случае (то естьпри d2 = 0 и n = 1) условие ограниченности антисимметричной функции Bможно заменить на включение в пространство BMO функций с ограниченной средней осцилляцией — равномерная ограниченность операторапо параметру ε при этом сохранится (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
