Диссертация (1150426), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Норма распреWp−m−mделения f в Wp + (Σ) дается выражениемk f kW −m=+ (Σ)p|( f , u)Σ |.u∈Wpm (Σ)\{0} kukm,p,ΣsupКоротко ее обозначаем через k · k−m,p,Σ . Условимся определять классыСоболева на замкнутом множестве как соответствующие классы на еговнутренности.Перейдем к пространствам дробной гладкости. Если u : Σ → U , то соотношение ∆h u(x) = u(x+h)−u(x) задает на множестве Σ−x = {h ∈ Rd : x+h ∈ Σ}отображение h 7→ ∆h u(x). (Отметим, что для Σ = Rd и Σ = Td при любых x изΣ выполнено Σx = Σ.) Его свойства отражают гладкость самой функции u .s,pДробной производной D Σ,U u порядка s мы будем называть отображениена Σ, определенное формулойs,pD Σ,U u(x) =µZ|h|−d −spΣ−xpk∆h u(x)kUdh¶1/pдля s ∈ (0, 1) и p < ∞ и формулойs,∞D Σ,Uu(x) =sup |h|−s k∆h u(x)kUh∈Σ−x \{0}для s ∈ (0, 1] и p = ∞, при условии что правая часть соответствующегоравенства почти всюду имеет смысл.
Если U = Cn , то нижний индекс U уs,pD Σ,U будем опускать. Возникающие операторы дробного дифференцирования оказываются субаддитивными.s,∞Дифференцирование D Σ,Uбыло задано и при s = 1, но вместо негов основном будет использоваться дифференциал D (скажем, для липшицевых отображений такой переход оправдывает теорема Радемахера).1,pПри p 6= ∞ будет удобно положить D Σ,U равным оператору D .Введем C m (Σ̄;U ), где m ∈ N0 (N0 = N ∪ {0}), как подпространство функmций u из W∞(Σ;U ), которые равномерно непрерывны вместе с производными до порядка m включительно.
(Тогда D α u с 0 É |α| É m единственнымобразом продолжаются до равномерно непрерывных отображений назамыкании Σ, что и отражено в обозначении.) Если s ∈ (0, 1], то классгёльдеровых (липшицевых при s = 1) функций C m,s (Σ̄;U ) состоит из техs,∞ αu ∈ C m (Σ̄;U ), для которых D Σ,UD u при |α| = m содержатся в L ∞ (Σ). Нормаm,su в C (Σ̄;U ) задается какs,∞ αkukC m,s (Σ̄;U ) = max kD Σ,UD ukL ∞ (Σ) + kukW∞m (Σ;U ) .|α|=mПо определению C m,0 (Σ̄;U ) = C m (Σ̄;U ).Одним из обобщений классов Соболева на случай нецелых m являютсяпространства Соболева–Слободецкого. Пусть s = ⌊s⌋+{s}, где ⌊s⌋ ∈ N0 и {s} ∈∈ (0, 1).
Функция u ∈ Wp⌊s⌋ (Σ;U ), p 6= ∞, является элементом Wps (Σ;U ) приусловии, чтоpkukW s (Σ;U ) =pX{s},ppkD Σ,U D α ukL|α|=⌊s⌋p (Σ)+ kukp⌊s⌋Wp (Σ;U )< ∞.18Когда U = V ⊗ Cn и, в частности, когда U = Cn , мы пользуемся такими жесокращениями для пространств Соболева–Слободецкого и соответствующих норм, что и для исходных классов Соболева. Как и выше, двойственное к Wps (Σ) пространство обозначаем через Wp−s+ (Σ), если множество C c∞ (Σ) плотно в Wps (Σ).Отдельно отметим, что, когда U гильбертово, а s ∈ (0, 1), класс W2s (Rd ;U )можно охарактеризовать с помощью дробного лапласиана (−∆)s/2 (какпсевдодифференциального оператора с символом ξ 7→ |ξ|s ), поскольку длявсех u ∈ W2s (Rd ;U )kD Rs,2d ,U ukL 2 (Rd ) ∼ k(−∆)s/2 ukL 2 (Rd ;U )(знак ∼ означает равенство с точностью до постоянного множителя).
Темсамым функция v принадлежит W2s (Rd ;U ), если и только еслиZRd2(1 + |ξ|2 )s kF v(ξ)kUdξ < ∞(F — преобразование Фурье). Более того, последнее условие определяетвключение в W2s (Rd ;U ) уже при любых s ∈ R.Остановимся на периодических пространствах. Здесь мы ограничимся лишь случаем целых неотрицательных m . Пусть C̃ m (Q) — множествофункций на Q = Q 1 (0), периодическое продолжение которых принадлежит C m (Rd ) (то есть имеет m непрерывных производных). Тогда W̃pm (Q)представляет собой замыкание C̃ m (Q) в Wpm (Q).
Заметим, что L̃ p (Q) может быть отождествлено с пространством всех периодических функцийиз L p,loc (Rd ). Классы C̃ m (Rd ×Q) и W̃pm (Rd ×Q) задаются аналогичным образом. Если интерпретировать периодические функции на кубе Q как функции на торе Td , то введенные периодические пространства оказываютсяпространствами на многообразии без края. Тем самым в них будут плотны гладкие функции с компактным носителем, а потому для двойствен+ ( Q)ных пространств W̃pm (Q)∗ и W̃pm (Rd × Q)∗ оправданы обозначения W̃p−md+ (R ×Q).и W̃p−mВ дальнейшем часто будет использоваться неравенство типа Пуанка1ре для W̃2,0(Q) — пространства функций из W̃21 (Q) с нулевым средним1значением. Именно: если u ∈ W̃2,0(Q) и k ∈ Q ∗ , где Q ∗ = 2πQ (Q ∗ — ячейкаВигнера–Зейтца для решетки, двойственной к исходной решетке Zd сячейкой Q , отсюда и соответствующее обозначение), то с помощью разложения функции u в ряд Фурье легко выводится, чтоkuk2,Q É π−1 k(D + k)uk2,Q .Если k = 0, то эта оценка представляет собой в точности неравенствоПуанкаре.
Мы продолжим называть его неравенством Пуанкаре и дляk 6= 0. Иногда, чтобы подчеркнуть, что имеется в виду случай k = 0, будемговорить о «стандартном неравенстве Пуанкаре».−mПри p = 2 вместо Wpm будем писать H m , вместо Wp−mи т. д.+ — HРазличные свойства лебеговых и соболевских пространств можно найти, например, в книгах [AF03] и [M11].19Теперь коротко обсудим классы мультипликаторов. Мультипликаторв паре пространств Лебега, Соболева или Соболева–Слободецкого представляет собой (обобщенную) функцию, оператор умножения на которуюнепрерывен. Иначе говоря, если U и V — некоторые функциональныеклассы указанных типов, возможно на разных областях, то γ являетсямультипликатором между U и V при условии, что kγukV É C γ kukU длялюбых u ∈ U . Множество всех таких γ образует пространство M(U ,V )(или M(U ), когда V = U ).В простейших случаях M(U ,V ) может оказаться одним из введенных выше пространств.
Так, M(L 2 (Σ)) очевидным образом совпадает с L ∞ (Σ). Однако классы мультипликаторов, вообще говоря, не сводятся к какой-либодругой известной шкале. Полное и явное описание всех нужных нам мультипликаторных пространств может быть найдено в монографии [MSh09].Впрочем, в п. 1.1.3 мы также приводим некоторые достаточные условиятого, что функция или распределение является мультипликатором в подходящей паре U и V .Для нормы мультипликатора γ (как оператора умножения) будет применяться сокращенное обозначение kγkM .Если α, β — вещественные числа, то α∧β — меньшее из них, а α∨β —большее. Через ⌊α⌋ и ⌈α⌉ обозначаются ближайшие к α целые числа,первое из которых не больше α, а второе — не меньше α.Когда конкретные постоянные в оценках вида α É C β, C > 0, не важны, мы будем писать α ∁ β, или, что то же самое, β ⊺ α. При этом мыпредполагаем, что соответствующие константы могут зависеть лишь отфиксированных параметров задачи.
Полный список таких параметровприводится в формулировках основных результатов.20Часть IУСРЕДНЕНИЕПЕРИОДИЧЕСКИХОПЕРАТОРОВ21Краткое содержание первой частиПусть d1 > 0 — число «периодических», а d2 Ê 0 — число «непериодических» направлений в Rd (соответственно, d = d1 + d2 ). За периодическую структуру в пространстве будет отвечать решетка Zd1 с элементарной ячейкой Q = [−1/2, 1/2]d1 . Удобно считать, что эта решетка действует на всём Rd , и тогда фундаментальным множеством для нее будетF= Q × Rd2 . Подчеркнем, что не исключается полностью периодическийслучай, когда d2 = 0.Чтобы не слишком загромождать введение, мы ограничимся оператором без младших членов. Пусть A i j ∈ C 0,1 (R̄d2 ; L̃ ∞ (Q))n×n и A = {A i j }di, j =1 .Рассмотрим оператор Aε , действующий между H 1 (Rd )n и H −1 (Rd )n согласно формулеdAε = D ∗ A ε D =Xi , j =1εD i A εi j D j ,где D = −i ∇, а A (x) = A(ε x 1 , x 2 ).
Оператор, как видно, ограничен, причемравномерно по параметру ε > 0. Мы предположим, что он еще и равномерно коэрцитивен по ε из некоторого интервала E = (0, ε0 ], то есть найдутсятакие постоянные c A > 0 и C A Ê 0, что для всех ε ∈ E и u ∈ H 1 (Rd )n будетвыполнено−1Re(Aε u, u)Rd +C A kuk22,Rd Ê c A kDuk22,Rd .Тогда Aε окажется m -секториальным, а отвечающий ему сектор S не будетзависеть от ε. Тем самым при µ ∉ S оператор Aε − µ обратим, а обратныйравномерно ограничен. Наша цель — выяснить, как ведет себя резольвента (Aε − µ)−1 , когда ε → 0.Основные результатыПусть D 1 = −i ∇0x1 и D 2 = −i ∇0x — операторы дифференцирования по2«периодической» переменной x 1 и по «непериодической» переменной x 2соответственно. При x 2 ∈ Rd2 и ξ ∈ Cd ×n определим вспомогательную функцию Nξ ( · , x 2 ) как периодическое векторное решение задачи¡¢¡¢D 1∗ A( · , x 2 )(D 1 Nξ ( · , x 2 ) + ξ) = 0,ZQNξ ( · , x 2 ) dx 1 = 0,на ячейке Q; иначе говоря, Nξ ( · , x 2 ) принадлежит H̃ 1 (Q)n и удовлетворяетвыписанным тождествам в смысле распределений.
(Отметим, что переменная x 2 в равенствах играет роль параметра.) Решение такой задачисуществует и единственно благодаря коэрцитивности оператора Aε . Отображение ξ 7→ Nξ , очевидно, линейно, поэтому соотношением N (x)ξ = Nξ (x)по семейству {Nξ }ξ∈Cd ×n задается функция N . Для нас важно, что она, каки A , является липшицевой по «непериодической» переменной.Эффективный оператор A0 действует в той же паре пространств, что иисходный, и имеет видA0 = D ∗ A 0 D,22где0A (x 2 ) =ZQA(y 1 , x 2 )(I + D 1 N (y 1 , x 2 )) dy 1 .Поскольку функции A и N липшицевы по x 2 , то липшицев и коэффициент A 0 , так что эффективный оператор непрерывно переводит H 2 (Rd )nв L 2 (Rd )n .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
