Диссертация (1150426), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Отсюда же следует, что он m -секториален, и несложно понять,что в качестве сектора можно взять сектор S.Первый результат касается сходимости (Aε − µ)−1 и D 2 (Aε − µ)−1 .Теорема. Пусть µ ∉ S. Тогда при всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f k2,Rd É C εk f k2,Rd ,kD 2 (Aε − µ)−1f − D 2 (A0 − µ)−1f k2,Rd É C εk f k2,Rd .Оценки точны по порядку, а постоянная C явно контролируется черезn , d , µ, c A , C A и kAkC 0,1 .Перейдем к описанию корректоров. Традиционный для теории усреднения корректор не всегда годится для наших целей.
Его место займетоператор Kµε , отображающий L 2 (Rd )n в H 1 (Rd )n по формулеKµε = N ε D(A0 − µ)−1 P ε(здесь N ε (x) = N (ε−1 x 1 , x 2 )). Он отличается от традиционного корректорадополнительным сглаживанием P ε , которое представляет собой псевдодифференциальный оператор с символом 1ε−1 Q∗ , где 1ε−1 Q∗ — характеристическая функция множества ε−1 Q∗ :P ε = (F ⊗ I )∗ 1ε−1 Q∗ (F ⊗ I )(F — преобразование Фурье в Rd1 ). Сглаживание может быть и другим: подойдет, например, сглаживание по Стеклову, см. п.
1.6.4. Впрочем, иногдаудается обойтись вовсе без сглаживания и использовать традиционныйкорректор — некоторые достаточные условия приведены в п. 1.6.5.Теорема. Пусть µ ∉ S. Тогда при всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD 1 (Aε − µ)−1f − D 1 (A0 − µ)−1f − εD 1 Kµε f k2,Rd É C εk f k2,Rd .Оценка точна по порядку, а постоянная C явно контролируется через n ,d , µ, c A , C A и kAkC 0,1 .Заметим, что из-за быстро осциллирующей функции N ε в корректоренорма слагаемого εD 1 Kµε является величиной порядка 1.
Таким образом,избавиться от Kµε в оценке, вообще говоря, нельзя. Необходимое и достаточное для этого условие обсуждается в п. 1.6.6. В то же время нормакомпозиции дробной производной D 1r,2 = D Rr,2d1 ⊗ I по «периодической» переменной с εKµε убывает как ε1−r , а потому D 1r,2 (Aε − µ)−1 всегда сходится.23Следствие. Пусть µ ∉ S и r ∈ (0, 1). Тогда при всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD 1r,2 ((Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f )k2,Rd É C ε1−r k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через r , n , d , µ, c A , C A и kAkC 0,1 .Вернемся к приближению для резольвенты оператора Aε .
В самой первой теореме был выписан старший член, а сейчас мы займемся следующим. Он также называется корректором, но существенно отличается отKµε и имеет более сложную структуру.Через (Aε − µ)+ обозначим оператор, сопряженный к Aε − µ. Оба оператора устроены одинаково, а кроме того удовлетворяют одним условиям,поэтому (Aε )+ можно было бы рассматривать параллельно с Aε : определить функцию N + , эффективный коэффициент (A 0 )+ и т. д.Введем дифференциальный оператор L из H 2 (Rd )n в H −1 (Rd )n с символомµZ¶k 7→ L(k) = (k + D 2 )∗QN + (y 1 , · )∗ (k + D 2 )∗ A(y 1 , · )(I + D 1 N (y 1 , · )) dy 1 (k + D 2 ),где k ∈ Rd1 (вектор k отождествляется с соответствующим элементом k ⊕ 0пространства Rd ), и положимLµ = (A0 − µ)−1 L(A0 − µ)−1 .Тогда искомый корректор Cµε будет даваться равенствомCµε = (Kµε − Lµ ) + ((Kµε )+ − L+µ )∗на пространстве L 2 (Rd )n .Теорема. Пусть µ ∉ S.
Тогда при всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f − εCµε f k2,Rd É C ε2 k f k2,Rd .Оценка точна по порядку, а постоянная C явно контролируется через n ,d , µ, c A , C A и kAkC 0,1 .В предыдущей теореме вместо корректора Kµε также можно было использовать Cµε , поэтому с помощью интерполяции получаем более точноеприближение для композиции дробной производной D r,2 = D Rr,2d и резольвенты (Aε − µ)−1 .Следствие.
Пусть µ ∉ S и r ∈ (0, 1]. Тогда при всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD r,2 ((Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f − εCµε f )k2,Rd É C ε2−r k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через n , d , µ, c A , C A и kAkC 0,1 .Здесь никак не затрагивались периодические операторы с «гёльдеровыми» коэффициентами, хотя все результаты в той или иной степенипереносятся и на них. Некоторые специфичные детали могут быть найдены в п. 3.5.4 из второй части.24Схема доказательстваПервый шаг типичен для проблем подобного рода: мы применяем масштабное преобразование и преобразование Гельфанда по «периодической» переменной и сводим исходную задачу к задаче на фундаментальном множестве решетки.Пусть τ = (k, ε) ∈ T, где T = Q∗ × E. Положим D 1 (τ) = D 1 + k , D 2 (τ) = εD 2и D(τ) = D 1 (τ) + D 2 (τ) и определим операторA(τ) = D(τ)∗ AD(τ),переводящий H̃ 1 ( F)n в H̃ −1 ( F)n .
Связь между Aε и A(τ) достаточно проста:оператор εR2 Aε подобен разложимому оператору, действующему изR⊕ 1⊕−1nnQ∗ H̃ ( F) dk в Q∗ H̃ ( F) dk , слои которого как раз совпадают с A(τ):2εε A ≃Z⊕Q∗A(τ) dk(оговоримся, что для сужений ε2 Aε и A(τ) на соответствующие гильбертовы пространства L 2 «подобие» оказывается унитарной эквивалентностью;то же будет верно и для других отношений подобия ниже).Аналогичным образом задаются слои — мы обозначим их через A0 (τ) —разложимого оператора, который подобен ε2 A0 .Далее, еслиKµ (τ) = N D(τ)(A0 (τ) − ε2 µ)−1 P ,где P есть усреднение по ячейке Q, тоε−1Kµε≃Z⊕Q∗Kµ (τ) dk.Переходя к корректору Cµε , заметим, что слагаемые Lµ (I − P ε ), L+µ (I − P ε )можно отбросить, поскольку соответствующие члены в оценке имеют порядок погрешности.
Тем самым вместо полного корректора Cµε достаточновзятьCˆµε = (Kµε − Lµ )P ε + P ε ((Kµε )+ − L+µ )∗ .Выясняется, что Cˆµε также подобен разложимому оператору иε−1 Cˆµεпричем≃Z⊕Q∗Cˆµ (τ) dk,Cˆµ (τ) = (Kµ (τ) − Lµ (τ))P + P (Kµ (τ)+ − Lµ (τ)+ )∗ .Здесь Lµ (τ) вводится равенствомLµ (τ) = P (A0 (τ) − ε2 µ)−1 L(τ) (A0 (τ) − ε2 µ)−1 ,в которомL(τ) = D(τ)∗ (N + )∗ (D(τ) − D 1 )∗ A(I + D 1 N )D(τ).Теперь вместо приближений к исходному оператору достаточно получить приближения для его слоев.25Теорема. При всех τ ∈ T и f ∈ H̃ 1 ( F)nk(A(τ) − ε2 µ)−1f − (A0 (τ) − ε2 µ)−1f k2, F É C |τ|−1 k f k2, F,kD 2 (τ)(A(τ) − ε2 µ)−1f − D 2 (τ)(A0 (τ) − ε2 µ)−1f k2, F É C k f k2, F.Постоянная C явно контролируется через n , d , µ, c A , C A и kAkC 0,1 .Теорема.
При всех τ ∈ T и f ∈ H̃ 1 ( F)nkD 1 (τ)(A(τ) − ε2 µ)−1f − D 1 (τ)(A0 (τ) − ε2 µ)−1f − D 1 (τ)Kµ (τ) f k2, F É C k f k2, F.Постоянная C явно контролируется через n , d , µ, c A , C A и kAkC 0,1 .Теорема. При всех τ ∈ T и f ∈ H̃ 1 ( F)nk(A(τ) − ε2 µ)−1 − (A0 (τ) − ε2 µ)−1f − Cˆµ f k2, F É C k f k2, F.Постоянная C явно контролируется через n , d , µ, c A , C A и kAkC 0,1 .Основная часть работы посвящена именно доказательству этих результатов. Отправной точкой для дальнейших рассуждений является тождество вида(A(τ) − ε2 µ)−1 P − (A0 (τ) − ε2 µ)−1 P − Kµ (τ) = (A(τ) − ε2 µ)−1 (.
. .)(A0 (τ) − ε2 µ)−1 .Оператор, находящийся внутри скобок справа, состоит из нескольких слагаемых. Мы приводим его к блочному представлению, разбивая пространство H̃ 1 ( F)n на сумму P H̃ 1 ( F)n и (I − P )H̃ 1 ( F)n и аналогично H̃ −1 ( F)n — насумму P H̃ −1 ( F)n и (I − P )H̃ −1 ( F)n . Процесс усреднения проходит главнымобразом лишь в одном из диагональных блоков (том, который получается композицией с P ), так как именно в нём старший вклад от исходногооператора сокращается вкладами от эффективного оператора и корректора.
Если нас интересуют только главные члены в приближениях, тодругие блоки могут быть сразу отнесены к погрешности. Однако, чтобыустановить более точное приближение (последняя теорема), приходитсяуже принимать во внимание и недиагональные блоки.26Глава 1Периодический операторс «липшицевыми» коэффициентами1.1 Исходный операторПусть заданы положительное целое число d1 и неотрицательное целоечисло d2 ; в дальнейшем d1 будет отвечать количеству «периодических»направлений в пространстве Rd , d = d1 + d2 , а d2 — количеству «непериодических» направлений. Для определенности мы будем предполагать,что d2 положительно; случай, когда d 2 = 0, во многих отношениях проще,но может быть рассмотрен вполне аналогичным образом. Произвольный элемент пространства Rd представим в виде x = x 1 ⊕ x 2 , где x 1 ∈ Rd1 иx 2 ∈ Rd2 ; i -я координата вектора x 1 и j -я координата вектора x 2 обозначаются через x 1,i и x 2, j .Введем операцию дифференцирования D , сопоставляющую векторфункции u со значениями в Cm матрицу-функцию −i ∇u со значениямив Cd ×m .
Точно так же определим операции дифференцирования D 1 и D 2по переменным x 1 и x 2 , при этом нам удобно считать, что D 1 u и D 2 u пред-матричнозначные функции; другими словами, D 1 =ставляютсобой m ×d¡ ¢¡ ¢= −i ∇0x1 и D 2 = −i ∇0x . Через D 1,i и D 2, j обозначаются компоненты D 12и D 2 . Под D r,2 мы будем понимать оператор D Rr,2d . Дробное дифференцирование по переменной x 1 задается выражением D 1r,2 = D Rr,2d1 ⊗ I .Пусть Q — замкнутая ячейка решетки Zd1 с центром в 0. Можно считать, что Zd1 как группа действует на всём Rd , и тогда F= Q × Rd2 станетдля нее фундаментальным множеством, а { Fz }z∈Zd1 , где Fz = z + F, будетзамощением Rd . Замощением окажется также и набор множеств { Fzε }z∈Zd1 ,где Fzε = εz + Fε , а Fε = εQ × Rd2 .При δ > 0 введем преобразование гомотетии Hδ (или масштабное преобразование), сопоставляющее каждой измеримой функции u на Rd1функцию v на Rd1 , определенную соотношением v(x 1 ) = δd /2 u(δx 1 ).
Легко понять, что Hδ взаимно-однозначно отображает H m (Rd1 ) на себя длялюбого m ∈ N0 , притомkHδ ukm,2,Rd1 É (1∨δm )kukm,2,Rd1 ,(1.1.1)и, кроме того, Hδ изометричен на L 2 (Rd1 ). По двойственности это преобразование распространяется на H −m (Rd1 ), так что Hδ также биективноотображает H −m (Rd1 ) на себя иkHδ uk−m,2,Rd1 É (1∨δ−m )kuk−m,2,Rd1 .(1.1.2)27Мы будем изучать оператор Aε : H 1 (Rd )n → H −1 (Rd )n , имеющий видAε = D ∗ A ε D + (a 1ε )∗ D + D ∗ a 2ε + q ε ,(1.1.3)а ε будет играть роль малого (положительного) параметра. Коэффициенты оператора — периодические (относительно решетки Zd1 ) мультипликаторы в подходящих парах пространств Соболева. Верхний индекс «ε»над ними имеет следующий смысл: если γ — мультипликатор, то γε == (H1/ε ⊗ I )γ(Hε ⊗ I ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
