Диссертация (1150426), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если d2 > 0, то тем же классам должныпринадлежать и слабые производные от коэффициентов по второй переменной. По первой переменной предполагается только периодичностьотносительно решетки Zd1 .Для функции A условия регулярности имеют наиболее простой вид исводятся к равномерной ограниченности A и ∇x2 A . Отметим, что никакиетребования на структуру тензора A(x) не накладываются.Не нужна и формальная самосопряженность оператора Aε , лишь быон был равномерно коэрцитивным, то есть при всех ε ∈ E и u ∈ H 1 (Rd )nвыполнялось неравенствоRe(Aε u, u)L 2 (Rd )n Ê c ∗ k∇uk2Ld n2 (R )− c ♮ kuk2L2 (Rd )n(15)с положительной постоянной c ∗ и неотрицательной постоянной c ♮ .
Классы коэффициентов выбираются так, чтобы вместе с коэрцитивностью9обеспечить равномерную ограниченность оператора,kAε ukH −1 (Rd )n É C ♭ kukH 1 (Rd )n .(16)Условие (15) сейчас играет ту же роль, что и полуограниченность (2) всамосопряженном случае. Из оценок (15) и (16), в частности, следует, чтопри ε ∈ E спектр каждого оператора Aε содержится внутри одного и того же сектора S, ось которого лежит на вещественной прямой, а уголраствора не превосходит π.Причины, по которым оператор Aε может стать несамосопряженным,различны. Например, с помощью несимметричной матрицы-функции Aв задачу диффузии удается включить определенного типа «сингулярный»снос ε−1 v(x 1 /ε, x 2 ), растущий при ε → 0. Уравнению конвекции-диффузиис общим несингулярным сносом также отвечает несамосопряженный оператор — уже из-за члена первого порядка.
В квантовой механике несамосопряженные гамильтонианы появляются в связи с PT -симметричнымисистемами (см. [Be05] и цитированную там литературу). Как известно,некоторые оптические модели сводятся к уравнению типа Шрёдингера. В частности, распространение линейно поляризованной гармонической по времени волны в одномерном фотонном кристалле описываетсястационарным уравнением Шрёдингера, а соответствующий потенциалвыражается через диэлектрическую проницаемость среды.
Тем самымесли кристалл содержит усиливающие или поглощающие компоненты,то потенциал оказывается комплексным. На такой аналогии понятиеPT -симметрии переносится из квантовой механики в оптику (см. статью [ZVPDL14] и ссылки в ней).Перейдем к формулировке основных результатов главы.Во-первых, мы показываем, что резольвента (Aε −µ)−1 сходится, притомдля любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f kL 2 (Rd )n É C εk f kL 2 (Rd )n(17)(всюду, где не оговорено противное, предполагается, что µ ∉ S). Эффективный оператор имеет тот же вид, что и исходный, а его коэффициентызависят лишь от «непериодической» переменной x 2 :A0 = − div A 0 (x 2 )∇ + (a 10 )∗ (x 2 )∇ + div a 20 (x 2 ) + q 0 (x 2 ).(18)Чтобы ввести эти коэффициенты, нужны уже две вспомогательные задачи.
Одна является непосредственным обобщением (5) и входит в определения функций A 0 и a10 ; с помощью другой задаются a20 и q 0 . Каждаязадача ставится на d1 -мерной ячейке Td1 , а переменная x 2 играет рольпараметра. Так, равенство (5) принимает вид− div A( · , x 2 )(∇N ( · , x 2 ) + I ) = 0.(19)Соответственно, вместо (6) сейчас используется формула0A (x 2 ) =ZTd1A(y 1 , x 2 )(I + ∇N (y 1 , x 2 )) dy 1 .(20)10Аналогичным образом x 2 появляется и в эффективных коэффициентахпри младших членах.Во-вторых, мы получаем приближение для композиции ∇(Aε − µ)−1 идоказываем, что при всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f − εKµε f kH 1 (Rd )n É C εk f kL 2 (Rd )n .(21)Корректор Kµε включает решения обеих вспомогательных задач, но если,скажем, a2 = 0, то выражение для Kµε упрощается:Kµε = N (x 1 /ε, x 2 ) P ε ∇(A0 − µ)−1(22)(ср.
с (10)). Здесь P ε — такой же сглаживатель, как в [BSu06], но действующий лишь по первой, осциллирующей переменной.В-третьих, мы находим следующий член в приближении для резольвенты по операторной норме на L 2 (Rd )n . Как и ранее (см. формулу (12)),он состоит из двух групп слагаемых, однако сейчас одна группа строится не по исходному оператору, а по сопряженному к нему — именно таквозникают (Kµε )+ и L+µ :Cµε = (Kµε − Lµ ) + ((Kµε )+ − L+µ )∗ .(23)По-прежнему Lµ выражается через резольвенту эффективного оператораи некоторый дифференциальный оператор третьего порядка, но коэффициенты последнего уже зависят от «непериодической» переменной x 2(ср. с (13)); то же верно для L+µ .
Оценка погрешности сохраняет свой вид:k(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f − εCµε f kL 2 (Rd )n É C ε2 k f kL 2 (Rd )n ,(24)где ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )n произвольны.Отметим, что перечисленные результаты естественным образом распространяются на все µ, не принадлежащие спектру A0 как оператора вгильбертовом пространстве L 2 (Rd )n .
Однако если такое µ попадет в сектор S, то интервал E придется сузить, а значит, ширина нового интервалабудет зависеть от µ. Тем не менее ее можно полностью контролировать.Во второй части мы изучаем задачу усреднения для локально периодических операторов. Такие операторы появляются, когда к периодическойзависимости от «быстрой» переменной x/ε добавляется еще и гладкаязависимость от «медленной» переменной x , например:Aε = − div A(x, x/ε)∇.(25)В частности, если A(x, x/ε) = A(x 2 , x 1 /ε), где x = x 1 ⊕ x 2 , то приходим к периодической задаче как в части I (лишь аргументы сейчас расположены вобратном порядке). По сравнению с периодической, локально периодическая задача оказывается технически более сложной, и, чтобы избежатьизлишней громоздкости, мы не станем включать в оператор младшиечлены.
Тем самым равенство (25) далее принимается за определение Aε .11В главе 2 мы получаем приближения вида (17), (21) и (24) для Aε притом условии, что функция A является липшицевой по первому аргументу.Укажем основные отличия от периодического случая.Вспомогательная задача для локально периодического оператора ставится на d -мерном торе Td , а параметром служит переменная x :− div A(x, · )(∇N (x, · ) + I ) = 0.(26)Тогда и эффективный коэффициент0A (x) =ZTdA(x, y)(I + ∇N (x, y)) dy(27)зависит от «медленной» переменной x .Далее, в непериодических задачах оператор P ε перестает играть выделенную роль, а более удобным оказывается сглаживатель по Стеклову S ε .Его, следуя [PT07], мы и используем для регуляризации корректора Kµε ,причем сглаживание применяется не только к резольвенте эффективного оператора, как было ранее (см.
формулу (22)), но также к функции N .Корректор Cµε изменяется сильнее. В свое время появление в нём, помимо Kµε , других слагаемых вызвало немалое удивление. Сейчас к этимслагаемым добавляется еще одно — Mεµ :Cµε = (Kµε − Lµ ) − Mεµ + ((Kµε )+ − L+µ )∗ .(28)Если по «медленной» переменной функция A достаточно гладкая, то Mεµможно отнести к погрешности. Однако этого заведомо нельзя сделатьбез дополнительных условий.Описанные периодические и локально периодические операторы объединяет то, что производная по «медленной» переменной от каждогокоэффициента принадлежит тому же мультипликаторному классу, чтои сам коэффициент: ∇x2 A(x 1 , x 2 ) в периодической задаче и ∇x A(x, y) в локально периодической задаче остаются равномерно ограниченными, каки A(x 1 , x 2 ) и A(x, y). Такие коэффициенты мы будем — несколько вольно —называть «липшицевыми», подразумевая именно сохранение класса придифференцировании по «медленной» переменной.«Липшицевость» коэффициентов существенно используется в доказательствах, однако, как легко понять, не является необходимой для постановки задачи.В главе 3 мы ослабляем «липшицевость» до «гёльдеровости» с показателем s ∈ [0, 1) (имея в виду опять же гёльдеровость функции A по «медленной» переменной).
Эффективный оператор и корректоры задаютсяпрежними формулами, меняются только свойства этих операторов, что витоге отражается на результатах. Так, если s = 0, то (Aε −µ)−1 по-прежнемусходится к (A0 − µ)−1 , однако скорость сходимости остается неизвестной.С другой стороны, при s > 0 удается оценить и скорость, хотя ее порядококазывается хуже, чем в «липшицевом» случае:k(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f kL 2 (Rd )n É C εs k f kL 2 (Rd )n .(29)12В остальных приближениях от s зависит не только величина погрешности, но и сам вид приближения.Например, для оператора Aε с «гёльдеровыми» коэффициентами приближение (21) заведомо невозможно, поскольку функция Kµε f не являетсядифференцируемой.
В «липшицевом» случае включение Kµε f ∈ H 1 (Rd )nобеспечивалось, по существу, равномерной ограниченностью производной ∇x A(x, y). Сейчас естественно предположить, что равномерно ограничена некоторая дробная производная D xs,2 A(x, y) порядка s : тогда окажется, что Kµε f ∈ H s (Rd )n , и при любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )n будет вернаоценкаk(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f − εKµε f kH s (Rd )n É C εs k f kL 2 (Rd )n .(30)Впрочем, без корректора Kµε и связанных с ним дополнительных предположений удается обойтись, пусть и за счет возможного ухудшенияпогрешности.В приближении типа (24) величиной показателя s определяется уже икорректор. Дело в том, что формулы, которыми задаются слагаемые Lµи L+µ из Cµε , вообще говоря, не имеют смысла при s É 1/2, поэтому Cµε может использоваться только для достаточно больших s .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
