Диссертация (1150426), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Соответствующаяоценка принимает следующий вид:k(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f − εCµε f kL 2 (Rd )n É C ε2s/(2−s) k f kL 2 (Rd )n ,(31)где ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )n произвольны. Выясняется, что при s É 2/3 с ролью корректора Cµε в (31) успешно справляется один лишь оператор Mεµ ;другими словами, если s É 2/3, а ε и f — те же, что и выше, тоk(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f + εMεµ f kL 2 (Rd )n É C ε2s/(2−s) k f kL 2 (Rd )n .(32)Метод доказательстваИдеи, используемые в первых двух главах, во многом похожи. Наиболее отчетливо они проявляются в главе 1: рассуждения там довольнопрозрачны, хотя и требуют определенной подготовки — разложения в«прямой интеграл».
Сам процесс усреднения строится вокруг специального операторного тождества, включающего резольвенты исходного иэффективного операторов, а также корректор. Обосновать сходимостьрезольвенты удается благодаря тому, что старшие вклады в тождествесокращаются, а скорость сходимости получается, если аккуратно оценитьоставшиеся слагаемые. Отметим, что подобная «операторная» точка зрения вообще была характерна для абстрактного теоретико-операторногоподхода Бирмана–Суслиной; в то же время использование конкретногопервого приближения сближает проводимые здесь рассуждения с подходами Гризо и Жикова–Пастуховой.Аналогичное операторное тождество устанавливается и в главе 2, имы стараемся, насколько возможно, следовать прежней схеме.
Однакоотличия в технических приемах значительны, в том числе и из-за смены13сглаживателя, который в известной мере определяет технику. Громоздкость построений при этом несколько возрастает.В главе 3 мы показываем, что вопрос о приближении для операторас «гёльдеровыми» коэффициентами можно свести к такому же вопросу для некоторого оператора с «липшицевыми» коэффициентами. Этопозволяет далее применить оценки из предыдущей главы и получитьискомые результаты. Заметим, что постоянные в оценках ранее зависелиот липшицевой полунормы функции A , поэтому недостаток гладкостисейчас приходится компенсировать величиной погрешности.Обзор известных результатовПервая попытка распространить подход Бирмана–Суслиной с полностью периодических на общие периодические задачи была предпринята вскоре после выхода статьи [BSu03].
Выяснилось, что сам теоретикооператорный метод для подобных задач не годится, но тем не менеев определенных случаях доказать приближения удается. Простейшимпримером служит задача для скалярного самосопряженного оператора− div A(x 1 /ε, x 2 )∇ в цилиндре R × T, когда матрица-функция A диагональна.Такой оператор изучался в работе [Su041 ], где для него была полученаоценка вида (17).Поскольку и цилиндр R × T, и пространство R × R представляют собойплоские многообразия без края, то процедуры усреднения соответствующих εZ-периодических задач ничем не отличаются. На случай пространства R × R результат из [Su041 ] был перенесен в [BCSu11].В работе [Se13] автора скалярный самосопряженный оператор включалнеограниченные младшие члены, а помимо сходимости резольвенты (17)было получено еще и приближение (21).
Кроме того, аналогичные результаты устанавливались для оператора в полосе R×(0, 1) с условиями Дирихле или Неймана на границе. Однако диагональность матрицы-функции Aвсё еще была нужна.Операторные оценки погрешности для локально периодических операторов изучались в статьях [Bor08] и [PT07].В первой из них рассматривался матричный самосопряженный оператор с достаточно гладкими коэффициентами.
Его старшая часть имелавид b(∇)∗C (x, x/ε)b(∇); у оператора могли быть и младшие члены. Основными результатами были оценки вида (17) и (21).В работе [PT07] такие же оценки доказывались для операторов акустики и теории упругости — с «липшицевыми» коэффициентами. Симметричность тензора A(x, y) предполагалась, хотя и не была принципиальнонеобходима.Подчеркнем, что приближение (24) ранее было получено лишь дляполностью периодических самосопряженных операторов (соответствующие результаты, напомним, находятся в [BSu05] и [Su14]), а операторныеоценки погрешности для случая «гёльдеровых» коэффициентов преждеизвестны не были.14Апробация результатовРезультаты по теме диссертации докладывались на семинаре кафедры Высшей математики и математической физики СПбГУ, на семинарепо математической физике ПОМИ им.
В. А. Стеклова РАН, а также намеждународных конференциях:1 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Москва, Россия, 2017 г.;2 9th St. Petersburg Conference in Spectral Theory, Санкт-Петербург, Россия,2017 г.;3 Days on Diffraction, Санкт-Петербург, Россия, 2017 г.;4 Trilateral German–Russian–Ukrainian Summer School: Spectral Theory, Differential Equations and Probability, Майнц, Германия, 2016 г.;5 7th St.
Petersburg Conference in Spectral Theory, Санкт-Петербург, Россия,2015 г.;6 Days on Diffraction, Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.;7 7th International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Москва, Россия, 2014 г.;8 Days on Diffraction, Санкт-Петербург, Россия, 2013 г.;9 Mathematical Methods for Spectral Problems: Applications to Waveguides, Periodic Media and Metamaterials, Хельсинки, Финляндия, 2013 г.;10 Trilateral French–German–Russian Workshop: Asymptotic Analysis and SpectralTheory on Non-Compact Structures, Майнц, Германия, 2012 г.;11 4th St. Petersburg Conference in Spectral Theory, Санкт-Петербург, Россия,2012 г.;12 Days on Diffraction, Санкт-Петербург, Россия, 2012 г.ПубликацииРезультаты по теме диссертации были опубликованы в одной работе в электронном журнале, четырех статьях в рецензируемых научныхжурналах, а также в одной статье в трудах конференции:1 Senik N.
N. Homogenization for non-self-adjoint locally periodic elliptic operators. — 2017. — arXiv: 1703.02023 [math.AP];152 Сеник Н. Н. Об усреднении несамосопряженных локально периодическихэллиптических операторов // Функц. анализ и его прил. — 2017. — Т. 51,№ 2. — С. 92–96;3 Senik N. N. Homogenization for non-self-adjoint periodic elliptic operatorson an infinite cylinder // SIAM J.
Math. Anal. — 2017. — Vol. 49, no. 2. —Pp. 874–898;4 Сеник Н. Н. Об усреднении несамосопряженных периодических эллиптических операторов в бесконечном цилиндре // Функц. анализ и егоприл. — 2016. — Т. 50, № 1. — С. 85–89;5 Сеник Н. Н. Усреднение периодического эллиптического оператора в полосе при различных граничных условиях // Алгебра и анализ. — 2013. —Т. 25, № 4. — С. 182–259;6 Senik N. N.
On homogenization for periodic elliptic second order differentialoperators in a strip // Proceedings of the International Conference Days onDiffraction. — 2012. — Pp. 215–220.Все публикации, кроме первой, входят в реферативные базы данных Webof Science и Scopus.Объем и структура работыДиссертация состоит из введения, предварительных сведений, трехглав, разделенных на две части, и заключения. Ее полный объем составляет 144 страницы.
Библиография содержит 55 наименований.БлагодарностиЯ искренне благодарю своего научного руководителя, Т. А. Суслину, завнимание к работе и полезные обсуждения.Работа над диссертацией была выполнена при финансовой поддержкеконкурса стипендии им. В. А. Рохлина и конкурса стипендий «Молодаяматематика России», и я крайне признателен жюри этих конкурсов.16Обозначения ипредварительные сведенияСимволом B r (x) будет обозначаться открытый шар в пространстве Rdс центром в точке x и радиусом r . Если в Rd выбрана какая-либо прямоугольная система координат, то Q r (x) — замкнутый куб в Rd с центром вточке x , ребром длины r и сторонами, параллельными осям координат.Норма в бесконечномерном банаховом пространстве U обозначаетсячерез k · kU .
Если V — еще одно банахово пространство, то B(U ,V ) — пространство линейных непрерывных операторов, действующих из U в V .При U = V мы получаем банахову алгебру B(U ) = B(U ,U ) с единицей I .Норма и скалярное произведение в конечномерном пространстве Cn обозначаются через | · | и 〈 · , · 〉. Мы часто будем отождествлять пространстволинейных операторов B(Cn , Cm ) с пространством векторов Cm×n .Пусть Σ — область в Rd (не обязательно ограниченная). Тогда L p (Σ;U ),p ∈ [1, ∞], представляет собой банахово пространство сильно измеримыхфункций u : Σ → U , для которых при p < ∞pkukLp=(Σ;U )а при p = ∞ —ZΣpku(x)kU dx < ∞,kukL ∞ (Σ;U ) = ess supku(x)kU < ∞.x∈ΣВ случае, когда U = V ⊗ Cn , будем писать L p (Σ;V )n (или просто L p (Σ;V ),если размерность n ясна из контекста).
Норму в L p (Σ)n и скалярное произведение в L 2 (Σ)n обозначаем через k · kp,Σ и ( · , · )Σ .Класс Соболева Wpm (Σ;U ) с m ∈ N и p ∈ [1, ∞] представляет собой банахово пространство функций u ∈ L p (Σ;U ), у которых есть все слабыепроизводные до порядка m включительно, причемpkukW m (Σ;U ) =pесли p < ∞, иmX|α|=0pkD α ukLp (Σ;U )< ∞,kukW∞m (Σ;U ) = max kD α ukL ∞ (Σ;U ) < ∞,0É|α|Émесли p = ∞. Как и в случае пространств Лебега, при U = V ⊗ Cn вместоWpm (Σ;U ) пишем Wpm (Σ;V )n , а для нормы в Wpm (Σ)n используем символk · km,p,Σ . Под Wpm (Σ)∗ понимается двойственное к Wpm (Σ) пространство относительно спаривания ( · , · )Σ . Если в Wpm (Σ) плотны функции из C c∞ (Σ)(то есть гладкие функции с компактным носителем в Σ), то, как обычно,17m+∗+ (Σ) = W p (Σ) , где p — сопряженный к p показатель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
