Диссертация (1150426)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиСеник Никита НиколаевичУсреднениепериодических и локально периодическихэллиптических операторовСпециальность 01.01.03«Математическая физика»Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:д. ф.-м.
н., проф. Т. А. СуслинаСАНКТ-ПЕТЕРБУРГ2017ОглавлениеВведение 3Обозначения и предварительные сведения 17I УСРЕДНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВКраткое содержание первой части221 Периодический оператор с «липшицевыми» коэффициентами 271.1 Исходный оператор 271.2 Эффективный оператор 361.3 Корректоры 441.4 Основные результаты 461.5 Доказательство основных результатов 471.6 Комментарии к главе 1 64II УСРЕДНЕНИЕ ЛОКАЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВКраткое содержание второй части752 Локально периодический оператор с «липшицевыми» коэффициентами 802.1 Исходный оператор 802.2 Эффективный оператор 852.3 Корректоры 882.4 Основные результаты 942.5 Доказательство основных результатов 942.6 Комментарии к главе 2 1043 Локально периодический оператор с «гёльдеровыми» коэффициентами 1093.1 Постановка задачи и основные определения 1093.2 Основные результаты 1153.3 Доказательство основных результатов.
Регуляризация 1163.4 Доказательство основных результатов. Окончание 1283.5 Комментарии к главе 3 133Заключение 139Список литературы 1402ВведениеВопросы, которые сейчас относят к теории усреднения, в науке возникли достаточно давно: они ставились еще в работах С. Д. Пуассона,Дж. К. Максвелла, Р. Клаузиуса, Дж. В. Рэлея. Однако прошло немало времени, прежде чем появились очертания математически строгой теории.Самые первые шаги в этом направлении были сделаны в середине 60-хгодов прошлого века, когда В.
А. Марченко и Е. Я. Хруслов рассмотрелимодельную задачу с мелкозернистой границей [MKh64], а С. Спаньолои Э. де Джорджи ввели понятие G -сходимости [Sp68], [DGS73]. В дальнейшем данная тематика интенсивно разрабатывалась и расширялась,значительный вклад в ее развитие внесли многие математики, средикоторых Н. С. Бахвалов, Ж.-Л. Лионс, Ф. Мюра, Л. Тартар, В. В. Жиков,О. А.
Олейник и другие. Из обширной литературы по усреднению выделим монографии [BLP78], [BP84], [OShY90], [ZhKO93], [MKh05].Типичная задача теории усреднения формулируется для матричногооператора вида Aε = − div A ε ∇, действующего из векторного класса Соболева H 1 (Rd )n (n и d натуральные) в двойственный к нему класс H −1 (Rd )n .Тензор A ε (x) зависит от величины ε > 0, которая играет роль малого параметра.
Предполагается, что оператор Aε ограничен и коэрцитивен равномерно относительно ε из некоторой окрестности E нуля, то есть прилюбых ε ∈ E и u ∈ H 1 (Rd )n выполняются неравенстваkAε ukH −1 (Rd )n É C ♭ kukH 1 (Rd )n(1)(Aε u, u)L 2 (Rd )n Ê c ∗ k∇uk2L(2)и2 (Rd )nс положительными постоянными c ∗ и C ♭ . Тогда с Aε связан неотрицательный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве L 2 (Rd )n .В приложениях подобные операторы часто отвечают каким-либо физическим процессам в средах с быстро меняющимися от точки к точкесвойствами. Параметр ε тогда служит мерой неоднородности среды ипредставляет собой характерное расстояние в пространстве, на которомее свойства отличаются на величину «порядка единицы», — скажем, если функция A ε периодична, ε суть длина периода.
Процессы могут бытьсамыми разнообразными, например: диффузией в веществе, переносомтепла, распространением волны, деформацией твердого тела, эволюциейквантовой системы. В зависимости от контекста под A ε и u понимаютсякоэффициент диффузии и плотность вещества, коэффициент теплопроводности и температура и т. д.В последнее время интерес к сильно неоднородным средам стал особенно велик, что связано, в первую очередь, с появлением крайне пер-3спективных композиционных материалов, которые могут сочетать характеристики различных естественных материалов [Gib10], а могут иметь итакие качества, которые в природе не встречаются [EZ06]. Необычныесвойства композиционных материалов в значительной степени объясняются быстрым чередованием составляющих их компонент, иначе говорясобственной внутренней структурой. У многих она периодическая (илиблизкая к периодической) с малым периодом.
Цель теории усреднениясостоит в том, чтобы связать внутреннюю структуру среды с наблюдаемыми «эффективными» свойствами.Будем считать, что функция A ε ограничена и ε-периодична по каждойпеременной, то есть представима в виде A ε (x) = A(x/ε), где A удовлетворяет условиям ограниченности и периодичности с равным 1 периодом.При ε ∈ E рассмотрим сильно эллиптическую систему уравненийAε u ε − µu ε = f(3)(она понимается в слабом смысле).
Если µ ∈ C \ R̄+ , то система однозначно разрешима для любого фиксированного f ∈ L 2 (Rd )n , а соответствующая последовательность решений u ε , ε ∈ E, равномерно ограничена впространстве H 1 (Rd )n . Тем самым некоторая подпоследовательность u εkимеет в H 1 (Rd )n слабый предел u 0 .Интуитивно понятно, что при достаточно малом периоде ε параметрысреды будут чередоваться настолько быстро, что на макроскопическомуровне осцилляции станут едва различимы — наблюдателю такая средабудет казаться однородной. Это наводит на мысль, что предельная функция должна удовлетворять системе уравнений с постоянным тензором.Убедиться, что так и есть на самом деле, можно разными способами.Одними из первых были метод асимптотических разложений (см.
[BLP78]или [BP84]), опирающийся на мощный аппарат асимптотического анализа, и энергетический метод (см. [MT97]), в основе которого лежало утверждение о компенсированной компактности. Мы коротко опишем процедуру усреднения оператора Aε , используя так называемый метод двухмасштабной сходимости, который был предложен Г. Нгуетсенгом [Ng89]и развит далее Г. Аллером [A92].Напомним, что ограниченная последовательность функций v ε из L 2 (Rd )сходится к v 0 ∈ L 2 (Rd × Td ) (T — плоский тор R/Z) в смысле слабой двухмасштабной сходимости, если при всех ϕ ∈ C c (Rd × Td )limZε→0 Rdv ε (x)ϕ(x, x/ε) dx =Z ZRdTdv 0 (x, y)ϕ(x, y) dx dy.(4)Известно, что ограниченные множества в L 2 обладают свойством компактности относительно этой сходимости, и потому из u εk можно выделить еще одну подпоследовательность — для нее мы оставим прежнееобозначение, — у которой градиенты ∇u εk (x) сходятся в смысле (4).
Довольно быстро выясняется, что предельная функция имеет вид ∇u 0 (x) ++ ∇y U (x, y), где u 0 — слабый предел u εk в H 1 (Rd )n , а U — некоторый элемент пространства L 2 (Rd ; H 1 (Td ))n . Далее, пусть ψ ∈ C c (Rd ). По свойству4среднего значения, ψ(x) A(x/εk ) сходится слабо двухмасштабно к ψ(x) A(y),ZZ Zпричемlimk→∞ Rd|ψ(x) A(x/εk )|2 dx =RdTd|ψ(x) A(y)|2 dx dy.Как обычно, слабая сходимость вместе со сходимостью норм влечет сильную сходимость, а произведение сильно и слабо сходящихся последовательностей снова сходится слабо.
Тогда уже в силу произвольности ψфункция A(x/εk )∇u εk (x) оказывается слабо двухмасштабно сходящейся кA(y)(∇u 0 (x) + ∇y U (x, y)).Чтобы найти U , скалярно домножим равенство (3) на εk v(x, x/εk ) с v ∈∈ C c1 (Rd × Td )n . Устремив затем k к бесконечности, получим:Z ZRdTd〈A(y)(∇u 0 (x) + ∇y U (x, y)), ∇y v(x, y)〉 dx dy = 0.Отсюда видно (ввиду произвольности v ), что функцию U можно записатькак U (x, y) = N (y)∇u 0 (x), где N ∈ H 1 (Td ) — слабое решение так называемойзадачи на ячейке Td :− div A(∇N + I ) = 0.(5)Благодаря условию коэрцитивности (2), данная задача является сильноэллиптической, а ее решение существует и единственно с точностью доаддитивной постоянной.Теперь уже несложно понять, какому уравнению удовлетворяет u 0 .Из слабой двухмасштабной сходимости вытекает сходимость в смыслераспределений к среднему значению от предельной функции по переменной y ∈ Td , а значит, A εk ∇u εk как распределение стремится к A 0 ∇u 0 ,Zгде0A =A(y)(I + ∇N (y)) dy.(6)TdПоскольку также u εk слабо сходится к u 0 , то, переходя в (3) к пределупри k → ∞, находим, что u 0 является решением задачиA0 u 0 − µu 0 = f(7)для оператора A0 = − div A 0 ∇ с постоянным коэффициентом.Задачи (3) и (7) отвечают одинаковым физическим процессам, первая —в сильно неоднородной среде, вторая — в однородной, а введенный формулой (6) тензор A 0 как раз и определяет эффективные свойства последней.
Переход от (3) к (7) тем самым описывает «усреднение» среды, или,иначе, «гомогенизацию».Отдельно отметим, что физической постановке соответствует некоторое одно, фиксированное ε. В ряде случаев помимо собственно сходимости удается найти также ее скорость. Тогда мы можем указать иошибку, которую совершаем, заменяя исходную среду эффективной. Понятие «малости», разумеется, относительно, и величину периода следуетсравнивать с характерным размером рассматриваемого образца. То, что впредставленной модели среда бесконечна, позволяет оставить в стороневопрос о влиянии границы на усреднение, однако все эффекты внутрисамого образца описываются точно.5Операторные оценки в теории усредненияРезультат о сходимости решений u εk легко переводится на язык операторного формализма.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
