Отзыв научного руководителя (1150430)
Текст из файла
Отзыв научного руководителя о диссертации Никиты Николаевича Сеника "Усреднение периодических и локально периодических эллиптических операторов", представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 — математическая физика Никита Николаевич Сенпк окончил с отличием магистратуру физического фа!о:?ьтета СПбГУ по кафедре высшей математики и математической фнзики в 2013 году; его дш ссртация была отмечена премией им! Нн 13ладимпра Лей'1а как лучшая магистерская работа. В 2013-2016 гг. Никита Сеник обучался в аспирантуре СПбГУ на той же кафе;!ре. В 2016 году успепшо окончил аспирантуру. Я руководила работой !!икиты Свинка в баквлввриате, магистратуре и аспирантуре.
В настоящее время им закончена подготовка кандидатской диссертации, работа прошла необходимую апробацн?о и готова к защите. Тематика исследований Никиты Сеника Относится к теории усреднения 1гомогенизацни1 диффере!шпальных операторов, Теория усреднения изучает свойства решений дифференциальных уравнений с быстро огциллпрук?шими коэ!1?11?ициентами. За,.!?! и! гомогевнзации. в которых коэффиш!енты периодичны по всем направлениям. относительно хорошо азучены. Л зада и, в которых коэффициенты периодичны лишь по некоторым паправл1 ниям либо локально псриодн шы !Па быстрые периодические олн1лляш!и накладыва !ОтсЯ м1 д.1енные изменениЯ1, игш!едОваны !шдо1 таточно Но.!Ио.
Этот случай важен для приложений, но технически он оказывается существенно бо.по сложным. 1!сльк? диссертационного исслсдовапия Никиты Сспика было получение операторных оценок погрешности для широкого класса за..!Нл гомогенпзацни Опнеа1п!ОГО типа. ,:Зисс1ртапия 1од?1?жит т1?и г?авы.
В главе 1 из?'шст!?1;?а„?а?а ?л1?сдпспия для матричного сильно эл:пппическ1п о оператора А' второго порядка в !На, зависящего 1П малого параметра г > 0: .4"' =- .0*А(х1/е, хв?1? -1- о" !х! ?е. хз!13 —, 2?*па!х1/е. хз! ж г?!х??е, хс и Сттйппая !ас?ь оператора задана в дивсргентной форме, в оператор включаются младп?пе члены, 1?пе?1?ато1? может быль несамосопряжеиным. коэффициенты при младших членах цринадлеж?п достаточно широким мультппликаторпым классам.
Коз!?цитивногть постд?ируетгя. Запишем ?к' в ваде !к' == !На! х КН'-, 11 =- ?1! -1- 1!в, Предполагается, что коэффициенты зависят от х!?!а и хв, гдс, х! б К ', хв б Кн-', при этом по первой переменной онн перно,!Нчны относительно некоторой 1?1-х!орной решетки. Прихо ппся накладывать некоторые условия ргтулярностн коэффициентов относительно хв, а нмеппо, условие:ппппицсвости.
!Впрочем, это прет!положение яв;шется обычным для подобных:?адач, В главе 3 в несколько иной постановке диссертант показывает, что можно ослабить липшицевость до гсльдеровостн. Ио за счет ухудшения порядка погрешности в оценках.) Никакой гладкости по первой (огцпллирующей) переменной не требуется. что существенно для приложений.
В главе 1 получены результаты о поведении оператора А= при малол! . Установлено, что резольвента оператора Ас сходится по операторной норме в 62(леэ) к резольвентс эффективного оператора А, коэффициенты которого зависят лишь от переменной лз. Доказаны точные по порядку оценки погрешности: ЛАс — «1) ' — (АΠ— р!) '<'ъ>,ь, ( Се, )~ 222(А !<! ) 212( '1 Р1) ! ~ Ьл-<Е> (1) (2) Д.и производной по периодической переменной полу !сна аппроксимация при учете корректора: '(П ((Аг — .à — (АΠ— <<1) 1 -- Кл(е)ц (, С (3) Корректор >л,„(г) отличается от гтапдартпого корректора т< ории усрсднсшлн лишь том, что он содержит вспомогательный сглаживающий оператор. Получена такхсе более точнаи аппроксимация резольвенты по операторной норме в Л2; ,.'йА< — «УГ! — (АО - <!Г))" ' — ССл(е)';ьл „ьл < СН2. (4) Зд<ч ь корректор е>,(е) нл!<В>т болос сложну<О <труктуру, ш м гтандартпый корргктор.
применяемый в теории усреднения. Рсзуз1ьтаты гупеественно усилпвюот язве>стные ран<1<1 факты д.ля данной зада"<и. Оценка <1) пр< ждс была устшюв;и па ','работа 11 Л. Суслицой 2004 года) д>ВН скалярнсло с>ал!Осопряженного оператора боз младших членов в случае. когда матрица коэффициентс>в -- блочно-диагональная. В работе самого диссертанта 2013 года дстн тако!ю жс оператора с вк>почспнсм младших ч:илов 6Ы.!н получены Оцспкн (1) и (3).
В упоминутьсх работах прил!Ння>!Ся спектральный метод. Оказалось, !То Он плохо прис посабливаеття к задачам, в которых коэффициенты перподичны ли<пь НО некот<>рым переменным. Диссер!Нн1' ОтказВ<кя От ис!юльзОИВННИ гпектральнО!О метода н взопрел собственный !К>дход, ко!Орый позво>п!л не только перенес!и Оцш!Ки (1) и ',3) на значительно более пи<рокнй класс операторов, но и установить оценки (2) и (4), яв!!ыо!циеся новыми даже для самосопряженного случая.
Предложенный Никитой Сеннком подход, применяемый в главе 1, существенно отличается от методов пре,цпествуюпн<х работ по данной тематике. 3!еч од опирается на масштабное и!х>образование, теорик> Ф:юке и последующий тщательный анализ Опе. раторов, зависящих от квазиимпульса <но без использования аналитической теории возму!не<пей, как было в прежних работах). Ключевым явля<пса вывод операторного тождества, связывак>щего резольвенты исходного и эффективного операторов и корректоры. Этот подхс>д позволяет изучать несамосопряженные операторы и получать достаточно тонкие результаты. В частности, опенка (4) раисе была извссчна только в случае перце>дп <ности цо всем направлениям ц устанавлива.!Всь нсклк>чительне спектральным лн тОДОм. В главах 2 н 3 диссертации изучается задача усрсднения для матричного сильно эл;пштического оператора А- второго порядка, и Й вида А = 77*А(х, х~в)72.
(.4' — )<7) ' — (А — 1р1) ')(вг вэ < Гс'. (5) Кроме того, получена аппроксимация рсзольвенты по операторной норме из Хв в пространство Соболева Н' при учете корректора: ,.'~(А< — 1<7) ' - (А" — р7) ' — сКв(с)«, и э,' Ов'". (0) Наконец, устаповлснл боже точная аппроксимаппя рсзольвопты по опс)эаторпой нормо в 7.э: ,,'(А" — )<1) ~ - (Ао — «7) ' -- аС~'~(в)(~~, в, < Свау(~ ".
Корректор Сй (в) имеет еще более сложную структуру, чем в условиях главы 1; с< о внд меняется при переходе через показатель а — — 1<<2. Оценки погреппюстей о<стима <ы<ы ирп 1<;в<вш«<ипши<ювосм< хштрицы коз<))фпционтов по м<.д,к«шой< псрвменпой: в этом случае оценки (5), (6) имеют порядок О(в), а оценка (7)-- «рэ<док 0(сз), 1'<зульгагы глав 2 и 3 дшот эпюпг<с~и и<~<с <гродвижсш<я в да<шой <ада <с по гривне««к< с известными рапса фактами. Операторные оценки погрешности в слу'шс локально периодиче< ких коэффициентов изучались в работах Д. И.
Борисова (2008) и О. Е. Пастуховой и 1'. Н. Тихомирова (2007), В этих работах при боле< ограничительных црсдположсннях о коэффппиептах оператора были установлсн<я оценки (5) и (61, но лишь в случае э =-- 1. Наиболее тонкий результат ди<сертанта, потрсбовавший большой технической изобротатсльпости, — пахождспис коррсктора С„' (в) и доказательство оцспки (7).
Этот результат для локально периодических задач является совсршенно новым. Также полностью цовымп являют<си все три оценки (5)- (7) в случае а с: 1 (т. е, в случас гсльлсровских коэффициентов). Метод глав 2 и 3 отличапгся от метода главы 1, поскольку в локально псриодическом случае уже невозможно применять теорию <ряске. Однако в основе рас<а<отрепий Коэрцитивпость постулируется. Матрица коэффициентов А локально псриодпчпа— зависит от быстрой и медленной переменных, причем по быстрой переменной она предполагается периодической.
По медленной пер<менной предполагается некоторая регулярность коэффицноптов: в главе 2 изу <котся случай. к<ила А липшицсва, и в главе 3 — случай, когда А гельдерова. Установлено. что резольввнта оператора А" сходится по операторной норме в Б. (К ) я к рс: льв.птс: ф<рск"и<и<ого <и«ратора .4о. коэ<рфицисцть< к торого з ви<ят лишь от медленной переменной. Эта сходпмость их<ест место, даже если коэффициенты то:<ы<о н<пр<йрывны по х<сдлснной п<р<ью<шой, В <луча<5 к~~да А гильд<рова по псрвой пор<'.мышой с показах<лом а н (О, 1;, доказаэ<а опсцка погреши<ютп: 22.11.201 7 Доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики и математической физики СПбГУ А-~'- ~~: »~ Я': '»»,;~~~Щ,,-;,„'»>е»»» >,'~/~, ~ Г.
А, Суслина снова лежит операторное тождество. связывающее резольвенты исходного и аффективного операторов н корректоры. Подход, предложенный диссертантом, можно назвать операторным вариантом метода первого приближения: он перекликается с работами Ж. Гризо и с работами В. В. Жикова и С. Е. Пастуховой. ,'Сах>о первое приближение к решению хорошо известно в традиционной теории усреднения.,' Гезу>льтаты диссертации опубликованы в статьях диссертанта (без соавторов! в ведущих российских и западных математических журналах: "Алгебра и анализ".
"Функциональный анализ н его приложения". "Я!АМ Лоцгпа1 оп Магйеша1юа! А»а!уа1а": в< его автором опубликовано 5 статей (ЪУЯ, Всорпз! и один препринт. Никита Сеник выступал с докладами по теме диссертации па математи >вских с еминарах СапктПетербурга и на 12 международных конференциях в России, Германии и Финляндии. Его успехи отмечены престижными премиями для мо.к>дых ученых: он выиграл конкурс "Молодая математика России", был удостоен стипендии имени В.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
