Отзыв официального оппонента 2 (1150431)
Текст из файла
° В ° отзыв о<1[ициал[1иого оппонента на диссертациоииу[о работу Сеянка Никиты Николаевича "Усреднение периодических и локально периодических эллиптических операторов", представленную па соискание учеиоП степени кандидата физико-математических наук по спсцпалыюсти 01.01.03 -- "Математическая физпкап Диссертационная работа Н.Н Сеянка посвящена сгрогол[у математическому исследовашпо задач усреднения, описываемых эллиптическими дифференциальными оисраторалш с быстроосцпллпрующпми периодическими и локально периодическими коэффициентами.
Основной цслыо работы является получение операторных прпблпжеш[й и точных ио порядку оценок и соответствующих функциональных классах для эллиптических матричных операторов достато шо общего нида, в частности когда операторы пе обязательно самосопряжены п когда требования к регулярности коэффициситов существенно ослаблены. В то время как вопросы, относящиеся к теории усредпеш[я, восходят к классическим трудам Пуассона, Максвелла и Рзлея и шггспсивио развиваются в рамках мател[атически строгоП теории па протяжении последних 50-ти лет, начиная с работ М.Ш.
Бирмана п Т.А. СуслииоП в начале 2000-х годов онп получили существенное далы[ейшее развитие в фундаментально иовом направлении "операторных оценок". Последнее направление позволяет устанавливать оценки па скорость сходплюстп в саяюм сильном пз возможных операторная[ сл[ысле и актшшо развивается в настоящее вреягя в условиях высокой международной конкуренции г постоянно вочпикшощими повымп важными задачалш п приложениями.
Работа соискагеля представляет собой дальнейший существепиыП и новый вклад н этол[ весьма актуальном и соврсл[спиом иаиравлешш. Диссертация полным объемом в 144 страницы состоит из введения, предварительных сведений, двух частсП, состоящих из трех основных глав, и закл[очепия. Сш[сок литературы включает 55 паимсиовапий п достаточно полно и широко отражает основные научные публикации по обсуждаел[ым вопросам. Во введении даи общий обзор истории теории усредпеш[я и операторных оценок в усредпешш, изложены краткое содержание работы и я[сгоды доказательства, дан обзор известных результатов по теме, введены обозначения и даны необходимые прсдваритсльпыс свсдсш[я. [[Ся серпа[пер[ е[ в[ее[егер[я[я [[пягеге[[[г СпИеэе Лепппп Оеегег 3[[ее[ Ьепепп ЧЧС[Е 6ВТ .
лгм [ вее Первая часть состоит из главы, посвященной усреднепшо матричных операторов, периодических ио части переменных н с лнпшицевой зависимостью коэффициентов по остальным переменным. На коэффициенты накладываются мишвильиыс ограничения, в частности от старшей части оператора требуется удовлетворение лишь неравенству типа Гордиша, равномерное ио малому параметру, а младшие члены нз соответствующих классов мультипликаторов должны быть сй под шпсиы. В качестве примеров обсуждаются оператор Шредингера и оператор теории упругости. Для общего случая далее детально определяются эффективный оператор и первый и второй корректоры с соответствующими сглаживателями.
Основной сглаживатель выбирается, следуя М.Ш. Бнрману и Т.А, Суслнной, в естественном двойственном но Фурье пространстве, что избавляет от высоких частот; однако потом детально обгуждаечтя его замена другими сглажпвателямп, такими как сглаживатель Стеклова. Основпьвш результатами главы явля1отся Теоремы 1А.1, 1.1.2 и 1АА и два следствия. ус| аиавливающие точные но порядку Ь~-операторные оценки для соответствующих приближений, а также их производных по "медленным" и быстрым" переменным, включая дробные производные.
Далее приводятся подробные доказательства, в которых следование общему теоретико-операторному подходу Бпрмаиа -Суслииой оказывается недостаточным, в силу того что одна из оаюв последнего - аналитическая теория возмущений — оказывается мало приспособленной к присутствшо "иепереодических" переменных. В результате автор развивает высокопстрнвпальиую технику основанную иа построешш и анализе соответствующих операторных тождеств, включающих резольвеиты и корректоры. В последующих комментариях обсуждаются различные дальнейшие вариации полученных результатов.
Вторая часть диссертации посвящена усредпеншо общих классов локально периодических операторов, когда зависимость от "медленных" и "быстрых" переменных допускается для всех переменных одновременно. Эта одновременность вносит в задачу значительные дополнительные технические сложности, н во избежание излишних технических деталей рассматривается матричный оператор, состоящий только нз старшей части, но опять достаточно общего вида: с равномерным неравенством тина Гординга, без каких-либо требований на регулярность (ограниченных) коэффициентов по быстрой переменной и с гельдеровой зависимостью по медленной переменной. с1асть разделена на две главы (глава 2 и глава 3).
В главе 2 изучаются локалыю периодические операторы с "лиишпцеными" коэффициентами и доказываются две основные теоремы (Теоремы 2А.1 и 2А.З) с двумя дальнейшими следствиями, устанавливающие в этом контексте "гочныс по порядку операторные оценки иа скорость сходимостп приближений и пх производных, включая дробныс. Здесь уже сама теория Флоке-Блоха оказывается нс вполне подходящим ииструментояй и в качестве основного сглаживателя теперь выбирается сглаживатсль по Стеклову. Основная техника доказательства в результаге тоже существенно меняется. В итоге автору удается построить и исследовать аналоги ключевых резольвентиых тождеств и в результате успешно доказагь желаемые результаты иа идейно н технически высакоиетривнвльиом и оригинальном пути. В последней главе, главе 3, автор ослабляет условие лппшпцевостп коэффициентов до их гельдеровостн с показателем з, вкзночая предельный случай равномерной непрерывности 1в = 0).
Основная идея здесь состоит в приближении коэффициентов пх классическими сглаживапиями, применении к последним результатов главы 2, а затем оптимизации выбора параметра сглаживаши 6 отпосигелыю изначального малого параметра г, который входит в быструю переменную. Автор развивает топкую технику, позволяющую контролировать, как коэффициенты в оценках главы 2 зависят от Б, что в конечном счете обеспечивает успешную реализацию всей программы. В результате в Теоремах и Следствиях 3.2.1-3.2.7 устанавливаются операторная сходимость и оценки иа скорость сходнмости приближений в зависимости от з.
В заключеп1ш перечислены основные результаты диссертации, выносимые иа защиту. Текст диссертации написан четко и асио, и следует особо отметить успех автора в изложении ьшогочислеиных технически сложных моментов в понятной лля читателя форме. Тем не менее можно было бы сделать следуюгцпе замечания: 1. Основные теоремы в главах 1 и 2 утверждают, в частности, что оценки точны по порядку.
Однако, в то врели как сами оценки доказываются во всех исчерпывающих деталях, читатель не всегда сразу находит, где именно обсуждается их точность. 2. Принимая во внимание, что технически наиболее сложпыс формулировки и доказагельства относятся к корректору 'высшего порядка" Сн понимание чииггеля могло бы быть несколько облегчено прояснением связи зтого корректора с членами следующего порядка в методе асимитотических разложений.
1В самом деле, прп достаточной регулярности правых частей и, следовательно, без дополнительных сглаживателей, для самосонряженных операторов без младших членов прямые аналоги корректора С„', который, возможно, нравильисе было бы назвать "полный первый корректор'*, не>ясли "корректор высшего порядка', могут быть найдены, например, в книге Бахвалова и Папасенко ~ВР84).) Приведенные замечания пе снижают общей высокой оценки научного уровня диссертации.
В целом диссертация Н.Н. Сеиика выполнена иа высоком научном уровне, является законченной научно-исследовательской работой и иредс"гавляет интерес с теоретической и прикладной точек зрения. Все результаты, получеш1ые в диссертации, являются новыми, и все доказательства проведены полностью и математически строго. Н.Н. Сепик проявил высокую математическую изобретательность на идейном и техническом уровне. Основные результаты диссертации своевременно опубликованы в четырех статьях автора в ведущих российских п международных рецензируемых научных журналах, рекомеидовапиых ВАК, дополняемых еще двумя публикациями в тезисах конференции н как препринт. Опубликованные работы и автореферат прашгзьио и полно отражасот содержание диссертационной работы.
На основании вышеизложенного считаю, что диссертация 11.П, Сеника полностью соответствует всем требовасшям "Положения о присуждении ученых степеней", утвержденного Постановлением ля 342 Правительства РФ от 24 сентября 2013 г., предъявляемым к диссертациям иа соискание ученой степени к;шдидата наук, а се автор заслуживает присуждения ему ученой степени кандидата физико-матсьсатических наук по специальности 01.01.03 - "Мателсатпческая физика".
Официальный оипоиеит: кандидат физико-математических наук, сиециальпость --- 01.01.02 "Дифференциальные уравнения и математическая физика", профессор Университетского Колледжа Лондона Смышлясв Валерий Павлович ЦпЬегейу Сойеяе З.опдоп ЬерагйиепФ оФ Ма$ЬеааИсе 12 марта 2018 г. Сопйгш1пк с!1е я1р~асиге оГ РгоГ. Ч.Р.
БтуяИуаеч: ~ ~Я>ф Д / РгоГсяяог И.В.. МсРопа1й, Неас1 оГ Псрагйгпснг, оГ Мас!сослался, 11и1чсгя1су Сойеяе Г,опс1оп Служебный адрес: Перагсспсиг оГ МагЬсчпайся 11и1чегяйу СоПепе 1.оис1ои Согчег Бсгеег, 1.оис1оп ЖС1Е 6ВТ ВК Еспай: ч.яшуя1с1уаечеис!.ас.и1с 1,1е1игпя Ас1с1геая: Оераа еп1 ОГ Майеваьса 0п1чегя1!у СоИеде1 опс1оп 6оччег 81гее1 1 опс1оп жа1абат .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
