Отзыв официального оппонента (1150432)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

отзывофициального оппонента на диссертационную работуСеника Никиты Николаевича"Усреднение периодических и локально периодических эллиптических операторов" ,представленную на соискание учёной степеникандидата физико-математических наук по специальности"Математическая физика"01.01 .03 -Диссертационная работа Н.Н.

Сеникапосвящена изучению вопросов усреднениядифференциальных операторов с быстро осциллирующими коэффициентами. В много­мерном пространстве JRd рассматриваются матричные операторы второго порядка скоэффициентами вида А(х ,xj E),гдеЕ - малый положительный параметр.

ФункцияА(х, у) периодична по переменной у относительно некоторой решётки периодичности.По переменной х предполагается определённая гладкость типа условия Липшица илиГёльдера. На старшую часть оператора накладывается требование коэрцитивности , ко­торое в конечном счёте обеспечивает его сильную эллиптичность и m-секториальность .Основная цель работы - выписать усреднённый (эффективный) оператор, доказатьсходимость резольвенты исходного оператора к резольвенте усреднённого в подходящейоператорной норме и установить оценку скорости сходимости . При этом очень частонепосредственно разность резольвент не имеет предела в выбранной норме.

Поэто­му, помимо эффективного оператора, в подавляющем числе оценок присутствуют теили иные дополнительные операторы-корректоры. Наличие последних позволяетдобиться нужной малости и получить оценку скорости сходимости. Многие из оценококазываются точными по порядку и не могут быть улучшены, что придает закончен­ность этим результатам. Для констант в оценках указывается, от каких характеристикоператора они зависят, а от каких-не зависят (хотя, в принципе, константы можновыписать явно). Отдельно выделяются случаи, когда аппроксимацию можно упроститьбез ухудшения оценок скорости сходимости . В этих случаях оценивается разностьисходной и усреднённой резольвент и, возможно, редуцированного корректора .Интерес к изучению равномерной резольвентной сходимости был инициированМ.Ш. Бирманом , Т.А . Суслиной и В.В.

Жиковым, С.Е. Пастуховой. Сейчас данноенаправление в теории усреднения активно развивается и остаётся очень актуальным.Помимо чисто теоретического значения, подобные результаты важны и для приложений.Например, они могут быть полезными для построения композитных материалов сзаданными свойствами .Диссертационная работа состоит из двух частей. Остановимся подробнее на основ­ных результатах каждой части.В первой части работы быстрые и медленные переменвые в коэффициентах опера­тора разделены в следующем смысле: коэффициенты имеют вид А (х2, х1 /Е), где х 1 ,х 2 - многомерные переменные, такие что (х 1 , х 2 )стве-переменная в исходном простран­JRd. Коэффициенты принадлежат специальным функциональным пространствам.Говоря нестрого , по медленной переменной х 2 предполагается выполнение условияЛипшица, по быстрой переменной х 1 /€ - принадлежиость к классу мультипликато­ров между подходящими Соболевскими пространствами (папример , для старшегокоэффициента этот класс сводится кLoo,но коэффициенты в младших членах могутбыть неограниченными функциями или распределениями).

Для рассматриваемыхоператоров выписаны усреднённые и приводятся корректоры двух типов. Установленыоценки скорости сходимости разности резольвент и их производных по медленнымпеременным х 2 ; оценки выписаны в норме операторов, действующих в пространствеL2 .Чтобы получить аналогичные оценки для производных попеременным х 1 , приходитсяпривлекать один из корректоров. Второй корректор используется для улучшения ап­проксимации резольвенты по операторной норме вL2и увеличения соответствующейскорости сходимости.Во второй главе рассматривается более общий случай операторов, у которых медлен­ные и быстрые переменные не разделены, то есть коэффициенты имеют вид А(х,xjE) .По медленным переменным предполагается выполнение либо условия Липшица, либоусловия Гёльдера. Вновь выписываются оценки скорости сходимости и точности ап­проксимации в смысле нормы операторов в пространствеL 2•Данные оценки полученыдля разности резольвент, а также для разности их производных, при этом изучаютсякак обычные производные, так и дробные.

В результате устанавливается серия различ­ных оценок, которые показывают, как величина погрешности зависит от выбраннойгладкости коэффициентов и от порядка производной . В некоторые оценки входятспециальные корректоры, роль которых- обеспечить или еще улучшить сходимость .Главными достижениями работы по сравнению с результатами других авторовможно назвать следующее.1.Изучаются сильно эллиптические несамосопряженные операторы общего вида,старшая часть которых имеет дивергентную форму, при этом на ее структу­РУ не накладывается дополнительных ограничений. В периодическом случаедопускаются младшие члены с коэффициентами из очень общих классов мульти­пликаторов .2.Строится корректор, с помощью которого уда.ётся улучшить скорость сходимостиразности резольвент по норме операторов, действующих в пространствеL2 .Такойкорректор сложно устроен , и его нахождение требует значительных усилий.

Ранееэто делалось только в самосопряженном случае, причем когда коэффициентызависят лишь от быстрых переменных . Для более общих операторов аппрокси­мация с указанным корректором является новой, даже если коэффициенты-гладкие.3.Ослабляется требование на гладкость коэффициентов по медленной переменной.Ухудшение гладкости коэффициентов приводит к дополнительным сложностямпри доказательстве оценок скорости сходимости .

Эти трудности преодолеваютсяза счёт различных технических приемов , а также за счёт выбора подходящихкорректоров. Правильно подобрать такой корректор- отдельная задача в каждомотдельном случае.К работе имеется несколько замечаний.1.Основное замечание относится к списку литературы. По тематике диссертацииимеется достаточно много недавних работ В.В. Жикова и С.Е . Пастуховой . Избольшого списка цитируются лишь три работы. Следовало бы упомянуть большеечисло работ данных авторов.2.Стр.рода25, строка 1 сверху. Фраза "Первый шаг типичен для проблем подобного...

" несколько некорректна. В задачах усреднения комбинация масштаб­ного преобразования и преобразования Гельфанда используется редко ввидуограниченности применения.3.Стр.30,строка2сверху. Выбирается некоторое фиксированное Е Е [;, котороеобозначается символом Е 0 . При этом символ Ео уже использовался при заданииинтервала Е.4. Стр. 33, вторая строка после неравенства (1.1.22)- не закончена последняя фраза.Отмеченные недостатки не носят принципиального характера и не влияют на общуюбезусловно положительную оценку работы.Представленная диссертация является самостоятельным законченным фундамен­тальным исследованием. Поставленные задачи полностью решены, доказательстваутверждений проведены на строгом математическом уровне.

Все основные результатыдиссертации являются новыми и интересными. Они были опубликованы в четырёхпечатных работах в ведущих российских и зарубежных научных журналах. Результа­ты работы также докладывались на ряде признанных международных конференций.Автореферат соответствует содержанию диссертации.На основании вышеизложенного считаю, что диссертация Н.Н.

Сеника полно­стью соответствует всем требованиям "Положения о присуждении учёных степеней",утвержденного ПостановлениемN2 842Правительства РФ от24сентября2013г., предъ­являемым к диссертациям на соискание учёной степени кандидата наук, а её авторзаслуживает присуждения ему учёной степени кандидата физико-математическихнаук по специальности01.01.03- "Математическаяфизика".Официальный оппонент:доктор физико-математических наук,шифр специальности-01.01 .02"Дифференциальные уравнения",ведущий научный сотрудникотдела дифференциальных уравненийИнститута математики с вычислительным центромУфимекого научного центра РАНБорисов Денис ИвановичСлужебный адрес:450008,Россия, г. Уфа,ул.Чернышевского, д. 112Тел.:(347)2725936E-mail: BorisovDI@yandex.ru" 26"февраля2018г.lJ.И..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации