Диссертация (1150426), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Действительно, мы получили, что резольвентаисходного оператора Aεk сходится к резольвенте эффективного оператора A0 в слабой операторной топологии на L 2 (Rd )n . Для самосопряженныхоператоров в гильбертовом пространстве слабая резольвентная сходимость, как известно, эквивалентна сильной. Выясняется, что на самомделе у резольвенты есть предел по операторной норме.По-видимому, впервые подобный результат (именно для неограниченной области) был описан в статье [BSu01] М. Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной (подробное изложение можно найти в [BSu03]). Предложенный тамтеоретико-операторный подход распространялся на самосопряженныепериодические операторы в L 2 (Rd )n вида Aε = b(∇)∗C (x/ε)b(∇), где b(∇) —однородный матричный дифференциальный оператор первого порядкас постоянными коэффициентами и невырожденным (в некотором смысле) символом, а C — ограниченная равномерно эллиптическая матрицафункция.
Такие операторы, как и ранее, можно записать в дивергентнойформе, а специальная структура тензора A(x) оказывается ограничениемлишь в матричном случае (впрочем, не для оператора теории упругости).Кроме самой сходимости резольвенты, в [BSu01] была установлена и еескорость:(8)k(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f kL 2 (Rd )n É C εk f kL 2 (Rd )n .Здесь постоянная C не зависит ни от ε, ни от f , а оператор A0 — тот же,что и выше.Для доказательства сначала применялись масштабное преобразованиеи теория Флоке–Блоха.
С их помощью дело сводилось к изучению аналитического семейства операторов A(k) = b(∇+i k)∗C (x)b(∇+i k) на ячейке Td(параметр k — квазиимпульс — принадлежит ячейке Вигнера–Зейтцадвойственной решетки). Резольвента каждого оператора в семействе компактна, а значит, соответствующий спектр — дискретен. Как оказалось,для усреднения имеет значение лишь то, что происходит около нижнегокрая спектра. У оператора A(0) краем является точка 0.
При увеличении |k| находившиеся в ней собственные значения начинают сдвигатьсявправо, но между ними и оставшейся частью спектра сохраняется зазор,пока |k| достаточно мало. Основное внимание уделялось именно анализуэтих собственных значений и отвечающих им собственных векторов прималых |k|. В построениях существенно использовалась аналитическаятеория возмущений, ее функция отчасти напоминала роль формальныхасимптотических разложений в классической теории усреднения, однаконе сводилась к последней и была намного глубже.Заметим, что теория Флоке–Блоха и аналитическая теория возмущений применялись в задачах усреднения и раньше и уже успели статьстандартными инструментами так называемого спектрального подхода,см., например, [BLP78], [Sev81], [Zh89], [CV97].6Большой интерес представляет также поведение u ε в энергетическойнорме.
Мы видели, что подпоследовательность u εk имеет в H 1 (Rd )n слабый предел, но сильного может не быть. В таком случае остается искатьприближение к u ε .В статье [ZhP05] В. В. Жиков и С. Е. Пастухова доказали операторнуюоценку(9)k(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f − εKµε f kH 1 (Rd )n É C εk f kL 2 (Rd )n .Она содержит новое слагаемое — корректор Kµε , который задается формулойKµε = N (x/ε) S ε ∇(A0 − µ)−1 ,(10)где S ε — сглаживание по Стеклову.
Обратим внимание на то, что, из-забыстрых осцилляций у функции N (x/ε), производная от Kµε f имеет порядок ε−1 , а значит, все слагаемые в левой части (9) вносят сопоставимыевклады.Приближение (9) получалось более привычным для теории усреднения способом (и одновременно — более простым). Сначала строилосьсглаженное первое приближение S ε u 0 (x) + N (x/ε)∇S ε u 0 (x) к решению исходного уравнения u ε (x). Разность w ε между ними подставлялась в квадратичную форму оператора Aε − µ, которая затем оценивалась сверху:|(Aε w ε − µw ε , w ε )L 2 (Rd )n | É C ε2 k f k2L2 (Rd )n.Так как Aε предполагался неотрицательным, а µ было отделено от спектра, то отсюда сразу же вытекало неравенство kw ε kH 1 (Rd )n É C εk f kL 2 (Rd )n .Чтобы прийти к (9), оставалось только учесть, что H 1 -норма функцииu 0 − S ε u 0 имеет порядок погрешности.Поскольку операторная норма корректора Kµε на пространстве L 2 (Rd )nравномерно ограничена по ε, то (9) влекло за собой (8).
Интересно отметить, что (некоторое) сглаженное первое приближение неявно присутствовало и в работе [BSu01], несмотря на то что оценка (8) доказываласьнапрямую.1Поясним роль сглаживания в формуле (10). Когда N ∈ W∞(Td ), функция N (x/ε)∇u 0 (x) и ее производная квадратично суммируемы, поэтомулевая часть (9) сохранит смысл, если из Kµε убрать S ε — именно такойкорректор был в классическом первом приближении к u ε .
Однако решение задачи (5), вообще говоря, даже не ограничено, и чтобы произведение N (x/ε)∇u 0 (x) принадлежало H 1 (Rd )n , на коэффициенты исходногооператора необходимо накладывать дополнительные условия. Включение сглаживателя избавляет от такой необходимости.Сама идея использовать некоторый сглаживающий оператор в корректоре появилась чуть ранее, в статье [CDG02], а операторную оценку типа (9) для задачи в ограниченной области можно было встретить в [Gri02]и [Gri04]. Сглаживатель там отличался от S ε , но в целом был к нему оченьблизок.За [ZhP05] последовала работа [BSu06], где неравенство (9) доказывалось теоретико-операторным методом.
Для регуляризации корректора,7однако, применялся другой сглаживатель, который мы обозначим через P ε . В определенном смысле P ε был двойственен к S ε и действовал впространстве квазиимпульсов. Здесь следует отметить, что как в [Gri04],так и в [ZhP05] сглаживающий оператор привносился в задачу искусственно на основании каких-либо эвристических соображений. Напротив, P εв [BSu06] возникал естественным образом из самого метода.Тем же теоретико-операторным методом удалось получить еще один,более тонкий результат. Речь идет о приближении к резольвенте оператора Aε с погрешностью порядка ε2 , которое было найдено в статье [BSu05].Усиление оценки (8) достигалось за счет корректора Cµε :k(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f − εCµε f kL 2 (Rd )n É C ε2 k f kL 2 (Rd )n .(11)Этот корректор существенно отличался от прежнего, и если Kµε в целомбыл традиционен для теории усреднения (не считая сглаживания), то у Cµεаналога в классической теории не было.
Структура Cµε была следующей:Cµε = (Kµε − Lµ ) + (Kµε − Lµ )∗ .(12)В качестве Kµε использовался корректор из формулы (10), но со сглаживателем P ε вместо S ε , а Lµ задавался равенствомLµ = (A0 − µ)−1 L(A0 − µ)−1 ,(13)где L — дифференциальный оператор третьего порядка с постояннымикоэффициентами (тем самым Lµ не зависел от ε).Необходимо подчеркнуть, что для более точного, по сравнению с (11),приближения требуется некоторая гладкость функции f . Так, в работе [VSu12] для резольвенты было выписано приближение по операторнойнорме из H 1 (Rd )n в L 2 (Rd )n с погрешностью порядка ε3 . К корректору Cµεпри этом добавлялся еще один — следующего порядка.В дальнейшем данные результаты обобщались в различных направлениях.
Например, в [Su10] и [Su14] оценки (8), (9) и (11) были перенесенына операторы с младшими членами из подходящих L p -классов. Приближения (8) и (9) для задач в ограниченной области обсуждались в ужеупомянутых работах [Gri04] и [ZhP05], а кроме них также в [Gri06], [KLS12],[PSu12], [Su131 ], [Su132 ], [KLS13], [ShZh17] и др.
Укажем еще недавний обзор [ZhPas16] по операторным оценкам в теории усреднения, полученнымВ. В. Жиковым и С. Е. Пастуховой.До сих пор считалось, что тензор A периодичен по каждой переменной. Это соответствовало тому, что в пространстве Rd можно найти базис, порождающий для A решетку периодов (в рассмотренном ранее случае базис был стандартным, а решетка совпадала с Zd ). В приложенияхвстречаются задачи, в которых ранг решетки строго меньше размерности пространства, как бывает, скажем, для слоистых сред, волноводови т. п.
Тензор A тогда оказывается периодическим лишь по некоторым,выделенным переменным. Чтобы отличать эти два случая, условимся8называть оператор «полностью периодическим», если соответствующаярешетка имеет полный ранг. У «периодического» оператора ранг решеткиможет быть произвольным (но, разумеется, положительным).Периодические операторы, в свою очередь, являются частным случаемеще более широкого класса локально периодических операторов.
Коэффициенты подобных операторов мало изменяются при сдвиге аргументана небольшое число «периодов», то есть локально ведут себя почти какпериодические функции. Но с ростом числа «периодов» изменение становится всё более сильным, а значит, о глобальной периодичности даже вкаком-либо приближенном смысле говорить не приходится.Именно такие периодические и локально периодические операторыизучаются в данной работе.Содержание работыРабота состоит из двух частей. Первая посвящена усреднению периодических операторов, и к ней относится глава 1.
Во второй части, включающей главы 2 и 3, задача усреднения ставится для локально периодическихоператоров. Каждая часть начинается с краткого содержания, где описываются основные результаты, а также методы, с помощью которых этирезультаты достигаются. Здесь мы лишь обсудим общий характер работы.Итак, в главе 1 рассматривается задача усреднения для оператора спериодическими коэффициентами. Пусть d = d1 + d2 , где d1 > 0 — ранг решетки периодичности. Соответственно, переменная x ∈ Rd представляется прямой суммой x 1 ⊕x 2 с x 1 ∈ Rd1 и x 2 ∈ Rd2 . Мы не исключаем полностьюпериодический случай, когда d1 = d и x 1 = x , но им не ограничиваемся.Оператор Aε , который действует между комплексными пространствами H 1 (Rd )n и H −1 (Rd )n , зададим формулойAε = − div A(x 1 /ε, x 2 )∇ + a 1∗ (x 1 /ε, x 2 )∇ + div a 2 (x 1 /ε, x 2 ) + q(x 1 /ε, x 2 ).(14)Его коэффициенты могут принадлежать довольно общим классам мультипликаторов в парах пространств Соболева, причем в качестве q допускаются комплексные распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
