Диссертация (1150426), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В случае, когда q можно отождествить с функцией, выполнено обычное соотношениеq 0 (x 2 ) =Из оценкиZQq(y 1 , x 2 ) dy 1 +ZQa 1∗ (y 1 , x 2 )D 1 M (y 1 , x 2 ) dy 1 .|(q 0 u, u)Rd2 | É |(qu, u) F| + |(D 1 Mu, a 1 u) F| É¡¢É kqkM + ka 1 kM kD 1 M kM kuk21,2,Rd2вытекает, что q 0 ∈ M(H 1 (Rd2 ), H −1 (Rd2 )). Легко понять, что и D 2 q 0 принадлежит тому же пространству мультипликаторов.Заметим, что при k, l ∈ N0 пространство M(H k (Rd2 ), H −l (Rd2 )) вложено вM(H k ( F), H l ( F)∗ ), причем норма соответствующего оператора вложенияне превосходит единицы. Действительно, если γ ∈ M(H k (Rd2 ), H −l (Rd2 )), аu ∈ H k ( F) и v ∈ H l ( F), то¯¯Z¯¯|(γu, v) F| = ¯¯ (γu(x 1 , · ), v(x 1 , · ))Rd2 dx 1 ¯¯ ÉQZÉ kγkM ku(x 1 , · )kk,2,Rd2 kv(x 1 , · )kl ,2,Rd2 dx 1 ÉQÉ kγkM kukk,2, Fkvkl ,2, F.40Отсюда сразу же следует ограниченность оператора A0 :u ∈ H 1 (Rd )n ,kA0 uk−1,2,Rd É C ♭0 kuk1,2,Rd ,(1.2.13)причемC ♭0 = kA 0 kM + ka 10 kM + ka 20 kM + kq 0 kM .Как мы уже отмечали выше, старшая часть эффективного оператораудовлетворяет оценке вида (1.1.4) с теми же самыми постоянными, что идля Aε .
Однако этого не достаточно для коэрцитивности всего оператора.Причина в том, что константы в оценках вида (1.1.8)–(1.1.10) для младшихчленов A0 , вообще говоря, могут превосходить соответствующие константы для младших членов Aε , а тогда условие (1.1.12), которое обеспечивалокоэрцитивность исходного оператора, для эффективного оператора оказывается бесполезным.Установить коэрцитивность, и даже m -секториальность оператора A0нам поможет следующее вспомогательное утверждение.Лемма 1.2.3. Введем форму a0 на H 1 (Rd )n ⊕ L 2 (Rd ; H̃ 1 (Q))n равенством0a (u, u) =Z ZRd+QZRd 1¡〈A(y 1 , x 2 ) Du(x, y 1 ), Du(x, y 1 )〉 ++ 〈Du(x, y 1 ), a 1 (y 1 , x 2 ) u1 (x)〉 +¢+ 〈a 2 (y 1 , x 2 ) u1 (x), Du(x, y 1 )〉 dx dy 1 +(q u1 (x 1 , · ), u1 (x 1 , · )) Fdx 1 ,где u = u1 ⊕ u2 , а Du(x, y 1 ) = D x u1 (x) ⊕ D y 1 u2 (x, y 1 ).
Тогда¡¢|a0 (u, u)| É C ♭ kDuk22,Rd ×Q + ku1 k22,Rd(1.2.14)Re a0 (u, u) Ê c ∗ kDuk22,Rd ×Q − c ♮ ku1 k22,Rd .(1.2.15)иДоказательство. Обе оценки достаточно проверять для функций uиз множества C c∞ (Rd )n ⊕ C c∞ (Rd ; C̃ ∞ (Q))n . Мы начнем с (1.2.15). Положимu (ε) (x) = u1 (x) + εu2 (x, ε−1 x 1 ).
Тогда Du (ε) (x) = Du(x, ε−1 x 1 ) + ε(D x u2 )(x, ε−1 x 1 ).В теории двухмасштабной сходимости хорошо известен следующий факт:если f ∈ C c (Rd ; L̃ ∞ (Q)), тоZRdf (x, ε−1x 1 ) dx −−−→ε→0Z ZRdQf (x, y 1 ) dx dy 1(1.2.16)(см. [A92, леммы 5.5 и 5.6]; ср. с (1.2.3)). Из него вытекает, чтоZRdиε〈A (x)Du(ε)(x), DuZRd(ε)|Du(x)〉 dx −−−→ε→0(ε)Z Z2Rd(x)| dx −−−→ε→0Q〈A(y 1 , x 2 ) Du(x, y 1 ), Du(x, y 1 )〉 dx dy 1Z ZRdQ|Du(x, y 1 )|2 dx dy 1 .41Очевидно также, чтоZRd|u(ε)2(x)| dx −−−→ε→0ZRd|u1 (x)|2 dx.Тем самым если подставить функцию u (ε) в (1.1.4) и перейти к пределу, тополучим:ReZ ZRdQ〈A(y 1 , x 2 ) Du(x, y 1 ), Du(x, y 1 )〉 dx dy 1 +C A ku1 k22,Rd Ê c A kDuk22,Rd ×Q .(1.2.17)Оценим теперь младшие члены формы.
По неравенству Коши¯¯Z Z¯¯¯¯¯ d 〈Du(x, y 1 ), a 1 (y 1 , x 2 ) u1 (x)〉 dx dy 1 ¯ ÉR Q¶1/2µZ Z2É kDuk2,Rd ×Q|a 1 (y 1 , x 2 ) u1 (x)| dx dy 1.RdQПоменяем порядок интегрирования и воспользуемся оценкой (1.1.5):¯Z Z¯¯¯¯¯É〈Du(x,y),a(y,x)u(x)〉dxdy111211¯ d¯R Q¢1/2¡.É kDuk2,Rd ×Q c a1 kD x u1 k22,Rd +C a1 ku1 k22,RdУчитывая еще, чтоkD x u1 k22,Rd É kD x u1 k22,Rd + kD y 1 u2 k22,Rd ×Q = kDuk22,Rd ×Q(1.2.18)(здесь равенство вытекает из теоремы Стокса), находим:¯¯Z Z¯¯¯É¯〈Du(x,y),a(y,x)u(x)〉dxdy111211¯¯ d(1.2.19)¯Z Z¯¯¯¯¯¯ d 〈a 2 (y 1 , x 2 ) u1 (x), Du(x, y 1 )〉 dx dy 1 ¯ É(1.2.20)RQC a1 ku1 k22,Rd .kDuk22,Rd ×Q + 2−1 c a−1/2É c a1/211АналогичноRQC a2 ku1 k22,RdkDuk22,Rd ×Q + 2−1 c a−1/2É c a1/222и¯Z¯¯¯¯¯É(qu(x,·),u(x,·))dx111112,F¯ d1¯R(1.2.21)É c q kDuk22,Rd ×Q +C q ku1 k22,Rd .Оценки (1.2.17)–(1.2.21) вместе дают (1.2.15).Отметим, что неравенство (1.2.19) останется верным, если заменить внём постоянные c a1 и C a1 на мультипликаторную норму коэффициента a1 .То же самое можно сказать и о (1.2.20) и (1.2.21).
Чтобы доказать (1.2.14),достаточно добавить к таким оценкам очевидное соотношение¯Z Z¯¯¯2¯¯¯ d 〈A(y 1 , x 2 ) Du(x, y 1 ), Du(x, y 1 )〉 dx dy 1 ¯ É kAkM kDuk2,Rd ×Q .RäQ42Замечание 1.2.4. Форма a0 отвечает так называемой усредненной двухмасштабной системе, предложенной впервые Аллером в контексте теории двухмасштабной сходимости [A92]. Подробное изложение базовыхрезультатов этой теории может быть найдено, например, в [LNW02].Свяжем форму a0 с оператором A0 . Фиксируем u ∈ H 1 (Rd )n и положимu1 (x) = u(x) и u2 (x, y 1 ) = N (y 1 , x 2 )Du(x) + M (y 1 , x 2 )u(x).
Тогда u = u1 ⊕ u2 принадлежит пространству H 1 (Rd )n ⊕ L 2 (Rd ; H̃ 1 (Q))n . В самом деле, u2 (x, y 1 )имеет слабую производную по переменной y 1 , и, так как D 1 N и D 1 M являются мультипликаторами в подходящих парах пространств, тоZ ZRdиQ|D y 1 N (y 1 , x 2 )Du(x)|2 dx dy 1 É kD 1 N k2M kDuk22,RdZ ZRdQ|D y 1 M (y 1 , x 2 )u(x)|2 dx dy 1 É kD 1 M k2M kuk21,2,Rd(мы изменяли порядок интегрирования, чтобы применить оценки дляD 1 N и D 1 M ). Таким образом, u принадлежит области определения формы a0 .
Заметим теперь, что при любых v ∈ 0 ⊕ L 2 (Rd ; H̃ 1 (Q))na0 (u, v) =Z ZRdQ¡〈A(y 1 , x 2 )(I + D 1 N (y 1 , x 2 ))D x u1 (x), D y 1 v2 (x, y 1 )〉 +¢+ 〈(a 2 (y 1 , x 2 ) + A(y 1 , x 2 )D 1 M (y 1 , x 2 ))u1 (x), D y 1 v2 (x, y 1 )〉 dx dy 1 ,поэтому a0 (u, v) = 0, как видно из тождеств (1.2.1) и (1.2.2) для функций Nи M . В частности, a0 (u, u) = a0 (u, u ⊕ 0). Группируя в a0 (u, u ⊕ 0) слагаемые ииспользуя определения эффективных коэффициентов, получаем:a0 (u, u) = (A0 u, u)Rd .(1.2.22)Это и есть искомая связь формы a0 и оператора A0 .Отсюда и из леммы 1.2.3 следует, что A0 коэрцитивен, причемRe(A0 u, u)Rd + c ♮ kuk22,Rd Ê c ∗ kDuk22,Rd ,u ∈ H 1 (Rd )n(1.2.23)(см. еще (1.2.18)).
Поскольку мы уже показали, что A0 ограничен, то онm -секториален. Далее, в силу оценок (1.2.14) и (1.2.15), при ku1 k2,Rd = 1 выполнено a0 (u, u) ∈ S (ср. с (1.1.11) и (1.1.13)). Из соотношения (1.2.22) тогдавытекает, что числовой образ оператора A0 содержится в S, так что сектор для A0 может быть выбран равным сектору S. Тем самым если µ ∉ S,то A0µ = A0 − µ — изоморфизм. Кроме того, простое обобщение (на случаймультипликаторных коэффициентов) стандартного факта о повышениигладкости решений эллиптических уравнений позволяет установить, чтоA0µ отображает H 2 (Rd )n на L 2 (Rd )n и при всех f ∈ L 2 (Rd )nk(A0µ )−1f k2,2,Rd ∁ k f k2,Rd(1.2.24)(см. соотношение (1.5.25) и оценку (1.5.29)).В заключение заметим, что из (1.2.15) следует, что оператор A0 коэрцитивен и для него выполняется неравенство вида (1.1.13) с теми же самымипостоянными.
Из (1.2.14), в свою очередь, вытекает ограниченность A0 ,но оценка для его нормы, вообще говоря, хуже, чем (1.1.11).431.3 КорректорыПусть P ε — псевдодифференциальный оператор по переменной x 1 ссимволом 1ε−1 Q∗ (напомним, что Q∗ = 2πQ); другими словами,P ε = (F ⊗ I )∗ 1ε−1 Q∗ (F ⊗ I ),(1.3.1)где F есть преобразование Фурье в пространстве L 2 (Rd1 ). Тогда корректорKµε : L 2 (Rd )n → H 1 (Rd )n для оператора Aεµ будет иметь видKµε = (N ε D + M ε )(A0µ )−1 P ε .(1.3.2)Заметим, что он отличается от традиционного для теории усреднениякорректора наличием сглаживающего оператора P ε .
Дело в том, что приf ∈ L 2 (Rd )n ни сама функция (N ε D + M ε )(A0µ )−1f , ни ее производная, вообще говоря, не являются квадратично-суммируемыми, однако Kµε f всегдапринадлежит H 1 (Rd )n . Действительно, если F — периодическая функцияиз M(L 2 (Rd2 ), L 2 ( F)) (как N и D N ) или M(H 1 (Rd2 ), L 2 ( F)) (как M и D M ), токомпозиция F ε с P ε непрерывно отображает соответственно L 2 (Rd ) илиH 1 (Rd ) в L 2 (Rd ) (мы это докажем позже, в лемме 1.6.3). Учитывая еще, чтосглаживатель P ε коммутирует как с дифференцированием D , так и с резольвентой (A0µ )−1 (поскольку эффективные коэффициенты не зависятот первой переменной), а сама резольвента удовлетворяет оценке (1.2.24),приходим к включению Kµε f ∈ H 1 (Rd )n .
Более того, из данных рассуждений также следует, что Kµε ограничен и при любых f ∈ L 2 (Rd )n выполненоεkD 1 Kµε f k2,Rd + kD 2 Kµε f k2,Rd + kKµε f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(1.3.3)В качестве сглаживателя могут использоваться и другие операторы,например сглаживатель по Стеклову — см. п. 1.6.4; в некоторых случаяхоказывается достаточно и классического корректора, вообще без сглаживающего оператора, — см. п. 1.6.5.Второй корректор, Cµε , более сложен по сравнению с первым, и для егоопределения нам понадобятся дополнительные обозначения. Пусть k —вектор в Rd1 .
Часто мы будем отождествлять его с соответствующим элементом в пространстве Rd1 ⊕ 0. Введем дифференциальные выраженияS (k; y 1 ) = ((k + D 2 )∗ A(y 1 , · ) + a 1∗ (y 1 , · ))(k + D 2 ) ++ (k + D 2 )∗ a 2 (y 1 , · ) + q(y 1 , · ),T (k; y 1 ) = ((k + D 2 )∗ A(y 1 , · ) + a 1∗ (y 1 , · ))D y 1(1.3.4)(1.3.5)и семейства операторовA0 (k) = (k + D 2 )∗ A 0 (k + D 2 ) + (a 10 )∗ (k + D 2 ) + (k + D 2 )∗ a 20 + q 0 ,Kµ (k; y 1 ) = (N (y 1 , · )(k + D 2 ) + M (y 1 , · ))(A0µ (k))−1 ,где µ ∉ S и, как обычно, A0µ (k) = A0 (k) − µ. Отметим, что отображениеk 7→ A0 (k) : H 1 (Rd2 ) → H −1 (Rd2 ) является символом эффективного оператора в том смысле, чтоA0 = (F ⊗ I )∗ A0 ( · ) (F ⊗ I )44(мы учли, что эффективные коэффициенты не зависят от «периодической» переменной), поэтому A0µ (k) обратим, а значит, Kµ (k; y 1 ) корректноопределен.Лемма 1.3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
