Диссертация (1150426), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Наши дальнейшиепостроения будут зависеть от конкретного выбора l , но на конечныйрезультат этот выбор никак не повлияет. Очевидно, ψ имеет производную первого порядка Dψ, а также производную второго порядка D 2 Dψ,поэтому корректно определен оператор E (τ) : L 2 (Rd2 ; H̃ 1 (Q)n ) → H̃ 1 ( F)d ×n ,сопоставляющий ϕ функцию (l + D 2 (τ))ψ. Несложно показать, что E (τ)ограничен, причем|τ|kD 1 (τ)E (τ)ϕk2, F + kE (τ)ϕk12 ,2, F;τ É kD 1 (τ)ϕk2, F + 2kϕk2, F.(1.5.57)Действительно, из того, чтоkψk212 ,2, F;τ = kE (τ)ϕk22, F = (ϕ, ψ) F,следует оценка|τ|kE (τ)ϕk2, F É kϕk2, F.Аналогично из соотношенийkD 1,i (τ)ψk212 ,2, F;τ = kD 1,i (τ)E (τ)ϕk22, F = (D 1,i (τ)ϕ, D 1,i (τ)ψ) Fполучаем:|τ|kD 1 (τ)E (τ)ϕk2, F É kD 1 (τ)ϕk2, F.Наконец, суммируя равенстваkD 2,i (τ)E (τ)ϕk22, F = (ϕ, D 2,i (τ)D 2,i (τ)ψ) Fи учитывая, что ψ удовлетворяет (1.5.55), находим:kD 2 (τ)E (τ)ϕk22, F = (ϕ, D 2 (τ)∗ D 2 (τ)ψ) F = (ϕ, ϕ − |τ|2 ψ) F É 2kϕk22, F.Всё это вместе влечет (1.5.57).Перепишем теперь первое слагаемое в правой части тождества (1.5.48),используя оператор E (τ).

Так как (l + D 2 (τ))∗ E (τ) = I на L 2 (Rd2 ; H̃ 1 (Q)n ) (эторавносильно равенству (1.5.56)), то(S (τ)P u 0 + T (τ)U , P ⊥ u + ) F =¡¢= ε [D 2 , S (τ)]P u 0 + [D 2 , T (τ)]U , E (τ)P ⊥ u + F +¡¢+ S (τ)(l + D 2 (τ))P u 0 + T (τ)(l + D 2 (τ))U , E (τ)P ⊥ u + F.60Отметим, что коммутаторы дифференцирования D 2 с операторами S (τ)и T (τ) имеют ту же форму, что и сами операторы S (τ) и T (τ) (см. (1.5.36)и (1.5.37)):¡¢[D 2 , S (τ)] = (k + D 2 (τ))∗ (D 2 A) + ε(D 2 a 1∗ ) (k + D 2 (τ)) ++ ε(k + D 2 (τ))∗ (D 2 a 2 ) + ε2 (D 2 q),¡¢[D 2 , T (τ)] = (k + D 2 (τ))∗ (D 2 A) + ε(D 2 a 1∗ ) D 1 .Поскольку, кроме того, коэффициенты в этих выражениях также являются мультипликаторами, то для [D 2 , S (τ)] и [D 2 , T (τ)] выполняются оценкивида (1.5.38) и (1.5.39).

Из них и из (1.5.38) и (1.5.39) следует, что|(S (τ)P u 0 + T (τ)U , P ⊥ u + ) F| ∁¡¢∁ kD 2 (τ)u 0 k12 ,2, F;τ + |τ|ku 0 k12 ,2, F;τ + kD 1U k12 ,2, F;τ ס¢× |τ|kD 1 (τ)E (τ)P ⊥ u + k2, F + kE (τ)P ⊥ u + k12 ,2, F;τ(мы использовали очевидное равенство k(l + D 2 (τ))vk2, F = kvk12 ,2,F;τ ). Применим еще (1.5.32) и (1.5.57):|(S (τ)P u 0 + T (τ)U , P ⊥ u + ) F| ∁¡¢(1.5.58)∁ kD 2 (τ)u 0 k12 ,2, F;τ + |τ|ku 0 k12 ,2, F;τ + kD 1U k12 ,2, F;τ kD 1 (τ)u + k2, F.Для второго слагаемого в правой части (1.5.48) годятся прежние рассуждения (ср. с (1.5.52)):|(U , S (τ)+ u + + T (τ)+ u + − ε2 µ̄u + ) F| ∁ kD 1U k12 ,2, F;τ ku + k1,2, F;τ .(1.5.59)Из (1.5.48) и (1.5.58), (1.5.59) вытекает, что|((Aµ (τ))−1 P f − (A0µ (τ))−1 P f − Kµ (τ) f , g ) F| ∁¢¡∁ kD 2 (τ)u 0 k12 ,2, F;τ + |τ|ku 0 k12 ,2, F;τ + kD 1U k12 ,2, F;τ ku + k1,2, F;τ .(1.5.60)Эта оценка верна при произвольных f ∈ L 2 ( F)n и g ∈ H̃ −1 ( F)n .

Если мыположим g = D 2 (τ)∗ h с h ∈ L 2 ( F)d ×n и воспользуемся леммами 1.5.4, 1.5.7и 1.5.2+ , то получим (1.5.54).Замечание 1.5.13. Оператор E (τ) был нужен для того, чтобы в некоторомсмысле провести «интегрирование по частям» и «перенести» дифференцирование по «периодической» переменой, появляющееся при оценкемультипликаторов, с функции P ⊥ u + на второй сомножитель. Необходимость в таком операторе исчезла бы, если бы коэффициенты a1 и q были,например, ограниченными функциями.1.5.4 Доказательство теоремы 1.5.10Доказательство данной теоремы почти дословно совпадает с проверкойвторой оценки в теореме 1.5.6.

С помощью неравенства Пуанкаре (1.5.32) илемм 1.5.2+ , 1.5.4+ утверждение сводится к доказательству того, чтоkD 1 (τ)(Aµ (τ))−1 P f − D 1 (τ)(A0µ (τ))−1 P f − D 1 (τ)Kµ (τ) f k2, F ∁ k f k2, F.61Но этот результат будет прямо следовать из неравенства (1.5.60), еслиподставить в него функцию g = D 1 (τ)∗ h , где h ∈ L 2 ( F)d ×n , а затем оценитьполучившиеся в правой части слагаемые при помощи лемм 1.5.4, 1.5.7и 1.5.2+ .1.5.5 Доказательство следствия 1.4.3Так как класс H r (Rd1 ) вложен в H 1 (Rd1 ), тоkD 1r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f )k2,Rd ∁ kD 1 (Aεµ )−1f − D 1 (A0µ )−1f − εD 1 Kµε f k2,Rd ++ k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f k2,Rd .(1.5.61)Благодаря неравенству (1.3.3) и теоремам 1.4.1 и 1.4.2, члены в правой частине превосходят εk f k2,Rd с некоторым постоянным множителем.

Далее,операторные нормы D 1 Kµε и Kµε на пространстве L 2 , опять в силу (1.3.3),имеют порядок ε−1 и 1 соответственно, а тогда стандартная интерполяциядает:(1.5.62)kD 1r,2 Kµε f k2,Rd ∁ ε−r k f k2,Rd .Сопоставляя (1.5.61) с (1.5.62), приходим к (1.4.4).1.5.6 Доказательство теоремы 1.5.12Нам необходимо оценить оператор(Aµ (τ))−1 − (A0µ (τ))−1 − (Kµ (τ) − Lµ (τ))P − P (Kµ (τ)+ − Lµ (τ)+ )∗ == (Aµ (τ))−1 P − (A0µ (τ))−1 P − Kµ (τ) + Lµ (τ)P + P (Lµ (τ)+ )∗ +¡¢∗+ P ⊥ (Aµ (τ)+ )−1 − P ⊥ (A0µ (τ)+ )−1 − Kµ (τ)+ .Несложно понять, что слагаемое из последней строки имеет порядокпогрешности. Действительно, PKµ (τ)+ = 0, и тогда по неравенству (1.5.32)kP ⊥ (Aµ (τ)+ )−1f − P ⊥ (A0µ (τ)+ )−1f − Kµ (τ)+ f k2, F ∁∁ kD 1 (τ)(Aµ (τ)+ )−1f − D 1 (τ)(A0µ (τ)+ )−1f − D 1 (τ)Kµ (τ)+ f k2, F.Но, как мы уже знаем из теоремы 1.5.10+ , правая часть этого неравенстване превосходит k f k2, F с точностью до постоянного множителя.

Такимобразом, осталось рассмотреть оператор(Aµ (τ))−1 P − (A0µ (τ))−1 P − Kµ (τ) + Lµ (τ)P + P (Lµ (τ)+ )∗ .Ниже считается, что f , g ∈ L 2 ( F)n . Введем дополнительные обозначения u 0+ = (A0µ (τ)+ )−1 g и U + = Kµ (τ)+ g . Напомним, что(Lµ (τ)P f , g ) F = (S (τ)P u 0 + T (τ)U ,U + ) F == (S (τ)P u 0 + T (τ)U , P ⊥U + ) F62(см. (1.5.41); в последнем равенстве было учтено, что PU + = 0). Выражениедля Lµ (τ)+ P удобнее записать в виде( f , Lµ (τ)+ P g ) F = (U , (S (τ)+ + T (τ)+ )(P u 0+ +U + )) F − (U , S (τ)+U + ) F(поясним, что T (τ)+ P = 0, поэтому дополнительное слагаемое в правойчасти оказывается равным нулю). Теперь на основании «резольвентного»тождества (1.5.48) имеем:¡¢(Aµ (τ))−1 P f − (A0µ (τ))−1 P f − Kµ (τ) f + Lµ (τ)P f + P (Lµ (τ)+ )∗ f , g F == −(S (τ)P u 0 + T (τ)U , P ⊥ (u + −U + )) F −− (U , (S (τ)+ + T (τ)+ )(u + − P u 0+ −U + )) F −(1.5.63)− (U , S (τ)+U + − ε2 µ̄u + ) F.Мы оценим каждое слагаемое в правой части по отдельности.Заметим, что неравенство (1.5.58) останется верным, если заменить внём u + на P ⊥ (u + −U + ) (конкретный вид этой функции при доказательствене использовался).

Тогда|(S (τ)P u 0 + T (τ)U , P ⊥ (u + −U + )) F| ∁¡¢∁ kD 2 (τ)u 0 k12 ,2, F;τ + |τ|ku 0 k12 ,2, F;τ + kD 1U k12 ,2, F;τ kD 1 (τ)P ⊥ (u + −U + )k2, F.В силу неравенства Пуанкаре (1.5.32)kD 1 (τ)P ⊥ (u + −U + )k2, F É kD 1 (τ)P ⊥ (u + − u 0+ −U + )k2, F + kD 1 (τ)P ⊥ u 0+ k2, F ∁∁ kD 1 (τ)(u + − u 0+ −U + )k2, F + kD 1 (τ)D 1 (τ)u 0+ k2, F,поэтому|(S (τ)P u 0 + T (τ)U , P ⊥ (u + −U + )) F| ∁ k f k2, Fkg k2, F(1.5.64)ввиду лемм 1.5.4, 1.5.7 и 1.5.4+ и теоремы 1.5.10+ .Далее, второе слагаемое в (1.5.63) оценивается с помощью (1.5.38+ ) и(1.5.39+ ), а также неравенства Пуанкаре (1.5.32) (для функции U ):|(U , (S (τ)+ + T (τ)+ )(u + − P u 0+ −U + )) F| ∁ kD 1U k12 ,2, F;τ ku + − P u 0+ −U + k1,2, F;τ(ср. с (1.5.59)). Применяя к P ⊥ u 0+ и U + неравенство Пуанкаре, видим, чтоku + − P u 0+ −U + k1,2, F;τ É ku + − u 0+ −U + k1,2, F;τ + kP ⊥ u 0+ k1,2, F;τ ∁∁ kD 1 (τ)(u + − u 0+ −U + )k2, F + ku + − u 0+ k12 ,2, F;τ ++ kD 1 (τ)u 0+ k1,2, F;τ + kD 1U + k12 ,2, F;τ .Следовательно, леммы 1.5.7 и 1.5.4+ , 1.5.7+ и теоремы 1.5.6+ , 1.5.10+ дают:|(U , (S (τ)+ + T (τ)+ )(u + − P u 0+ −U + )) F| ∁ k f k2, Fkg k2, F.(1.5.65)Наконец, для оценки последнего слагаемого в правой части (1.5.63)необходимо воспользоваться неравенством (1.5.38+ ):¡¢|(U , S (τ)+U + − ε2 µ̄u + ) F| ∁ kD 1U k12 ,2, F;τ |τ|kD 1 (τ)u + k2, F + kD 1U + k12 ,2, F;τ .63Из лемм 1.5.7 и 1.5.2+ , 1.5.7+ тогда вытекает, что|(U , S (τ)+U + − ε2 µ̄u + ) F| ∁ k f k2, Fkg k2, F.(1.5.66)Объединяя (1.5.63) с (1.5.64)–(1.5.66), окончательно получаем:¯¡¢ ¯¯ (Aµ (τ))−1 P f − (A0 (τ))−1 P f − Kµ (τ) f + Lµ (τ)P f + P (Lµ (τ)+ )∗ f , g ¯ ∁µF∁ k f k2, Fkg k2, F.Этим завершается доказательство теоремы.1.5.7 Доказательство следствия 1.4.5Как нам известно из теоремы 1.4.4,k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f k2,Rd ∁ ε2 k f k2,Rd ,(1.5.67)и если еще доказать, что выполнено соотношениеkD(Aεµ )−1f − D(A0µ )−1f − εD Cµε f k2,Rd ∁ εk f k2,Rd ,(1.5.68)то искомый результат получится интерполяцией между (1.5.67) и (1.5.68).Остается убедиться, что последнее соотношение действительно имеетместо.При помощи оценки (1.3.3) и теорем 1.4.1 и 1.4.2 проверка (1.5.68) сводитсяк доказательству неравенстваkD Cµε f − D Kµε f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(1.5.69)Разность корректоров Cµε и Kµε представима в виде композиции (A0µ )−1с некоторым равномерно ограниченным оператором, действующим изL 2 (Rd )n в H −1 (Rd )n (см.

§ 1.3, в особенности замечание 1.3.2). Отсюда и выводится (1.5.69), лишь вместо (1.2.24) нужно использовать непрерывность(A0µ )−1 как отображения между H −1 (Rd )n и H 1 (Rd )n .1.6 Комментарии к главе 11.6.1 О спектральном параметреУтверждения, сформулированные в § 1.4, могут быть распространены на все µ из резольвентного множества эффективного оператора как(неограниченного) оператора на пространстве L 2 (Rd )n , однако интервал E,возможно, придется уменьшить. Дело в том, что выбор параметра µ имеетнепосредственное значение только при доказательстве лемм 1.5.2 и 1.5.4,а остальные результаты уже на них опираются.

По существу, в указанныхлеммах необходимо, чтобы обратные к Aεµ и A0µ операторы были ограничены на всём L 2 (Rd )n равномерно по ε ∈ E — см. равносильные этому64оценки (1.5.17) и (1.5.30). Последняя из них при µ ∉ spec A0 , очевидно, выполнена. Покажем, как получить первую, если параметр µ ∉ spec A0 оказалсявнутри сектора S.Пусть ν ∉ S. По теореме 1.4.1, при любых ε ∈ Ek(Aεν )−1 − (A0ν )−1 kB(L 2 (Rd )) É C ν ε.Тогда если ε настолько мало, что|µ − ν|kA0ν (A0µ )−1 ((Aεν )−1 − (A0ν )−1 )kB(L 2 (Rd )) < 1,то из тождества¡¢−1×(Aεµ )−1 − (A0µ )−1 = I − (µ − ν)A0ν (A0µ )−1 ((Aεν )−1 − (A0ν )−1 )× A0ν (A0µ )−1 ((Aεν )−1 − (A0ν )−1 ) A0ν (A0µ )−1будет следовать, что Aεµ имеет ограниченный обратный на L 2 (Rd )n .

Характеристики

Список файлов диссертации