Диссертация (1150426), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Отсюдаже вытекает, что норма этого обратного оператора будет еще и равномерно ограничена по ε É εµ,ν ∧ε0 , гдеεµ,ν <dist(µ, spec A0 ).C ν |µ − ν|(dist(µ, spec A0 ) + |µ − ν|)Таким образом, результаты данной главы останутся верны и при µ внутри S, но вне spec A0 , если заменить E на, быть может меньший, интервал Eµ = (0, εµ,ν ∧ε0 ].1.6.2 О мультипликаторных коэффициентахС самого начала мы предполагали, что функции a1 , D 2 a1 и a2 , D 2 a2 принадлежат M(H 1 ( F), L 2 ( F)), а распределения q , D 2 q — M(H 1 ( F), H 1 ( F)∗ ),и потом, используя периодичность, доказывали, что все они являютсятакже мультипликаторами между соответствующими пространствамина Rd (забегая вперед, заметим, что это более широкие классы — см.
леммы 1.6.1 и 1.6.2). Но можно было бы сразу считать, что коэффициентыпредставляют собой периодические мультипликаторы между таким пространствами, именно: пусть a1 , a2 вместе со слабыми производными D 2 a1 ,D 2 a 2 принадлежат M(H 1 (Rd ), L 2 (Rd )), причем при u ∈ H 1 (Rd )nka 1 uk22,Rd É c a1 kDuk22,Rd +C a1 kuk22,Rd ,(1.6.1)ka 2 uk22,Rd É c a2 kDuk22,Rd +C a2 kuk22,Rd ,(1.6.2)и пусть q и D 2 q принадлежат M(H 1 (Rd ), H −1 (Rd )), причем при u ∈ H 1 (Rd )n|(qu, u)Rd | É c q kDuk22,Rd +C q kuk22,Rd .(1.6.3)+ cq < c A ,+ c a1/2c a1/221(1.6.4)Тогда если65то оператор Aε , как и прежде, будет ограничен и коэрцитивен, а следовательно, и m -секториален, и отвечающий ему сектор дается старойформулой (но, конечно, входящие в нее константы, которые связаны смультипликаторными коэффициентами, имеют новый смысл).
Некоторые отличия от рассмотренного ранее случая начинаются далее.Дело в том, что при «сужении» периодических мультипликаторов с Rd наF получаются мультипликаторы между периодическим пространствамиСоболева, а постоянные в неравенствах вида (1.6.1)–(1.6.3), вообще говоря,увеличиваются.Лемма 1.6.1. Подпространство периодических мультипликаторов изM(H 1 (Rd ), L 2 (Rd )) совпадает с пространством периодически продолженных мультипликаторов из M(H̃ 1 ( F), L 2 ( F)).Доказательство. Предположим, что периодическая функция γ принадлежит M(H̃ 1 ( F), L 2 ( F)), причем выполнена оценкаkγuk22, F É c γ kDuk22, F +C γ kuk22, F,u ∈ H̃ 1 ( F).(1.6.5)Выберем покрытие пространства Rd множествами Fi = ξi + F; можно считать, что его кратность равномерно ограничена. Построим функции ϕi ∈∈ C ∞ ( Fi ), которые принимают значения в интервале [0, 1], обращаютсяPв нуль на ∂ Fi и для которых supi ∈N kDϕi k∞,Rd < ∞, i ∈N ϕ2i = 1 (на каждоммножестве вида K × Rd2 , где K — компакт в Rd1 , от этой суммы остаетсятолько конечное число слагаемых).
Пусть u ∈ C c∞ (Rd )n и supp u ⊂ ∪i ∈I u Fi( I u — конечный набор индексов). Положим u i = ϕi u и продолжим периодически u i из Fi на Rd . Тогда u i ∈ H̃ 1 ( F) иkγuk22,Rd =Xi ∈I ukγu i k22, Fi =Xi ∈I ukγu i k22, F ÉX¡¢c γ kDu i k22, F +C γ ku i k22, F .i ∈I uДалее, если δ > 0, тоkDu i k22, F = kDu i k22, Fi É (1 + δ)kϕi Duk22, Fi + (1 + δ−1 )kDϕi · uk22, Fi ,(1.6.6)откуда видим, что при любом δ > 0 найдется постоянная C γ (δ) (котораяне зависит от u ), такая чтоkγuk22,Rd É (c γ + δ)kDuk22,Rd +C γ (δ)kuk22,Rd .(1.6.7)Тем самым γ ∈ M(H 1 (Rd ), L 2 (Rd )).Обратно, пусть периодическая функция γ принадлежит пространствуM(H 1 (Rd ), L 2 (Rd )), притомkγuk22,Rd É c γ kDuk22,Rd +C γ kuk22,Rd ,u ∈ H 1 (Rd ).(1.6.8)Построим конечное разбиение единицы {ψi }i ∈I для тора Td1 так, чтобыPвыполнялось равенство i ∈I ψ2i = 1, а диаметры носителей ψi были строгоменьше единицы.
Последнее условие гарантирует, что ψi как периодическая функция на Rd равна нулю на ∂ Fi , где Fi = ξi + F с некоторым ξi ∈ Q.66Пусть u ∈ C̃ c1 ( F); положим u i = ψi u на Fi и продолжим u i нулем на Rd .Поскольку u i ∈ H 1 (Rd ), тоkγuk22, F =Xi ∈Ikγu i k22, Fi =Xi ∈Ikγu i k22,Rd ÉX¡i ∈I¢c γ kDu i k22,Rd +C γ ku i k22,Rd .Применяя еще неравенство вида (1.6.6), получаем, что при любом δ > 0найдется постоянная C γ (δ), такая чтоkγuk22, F É (c γ + δ)kDuk22, F +C γ (δ)kuk22, F,а значит, γ ∈ M(H̃ 1 ( F), L 2 ( F)).(1.6.9)äИз этой леммы вытекает, что совпадают и пространства M(H 1 ( F), L 2 ( F))и M(H̃ 1 ( F), L 2 ( F)).
Действительно, как мы уже видели в § 1.1, пространство M(H 1 ( F), L 2 ( F)) вложено (в известном смысле) в подпространствопериодических мультипликаторов из M(H 1 (Rd ), L 2 (Rd )), а следовательно,вложено и в M( H̃ 1 ( F), L 2 ( F)).
С другой стороны, если γ ∈ M(H̃ 1 ( F), L 2 ( F)),то, используя непрерывный оператор продолжения E F: H 1 ( F) → H 1 (Rd ),при u ∈ H 1 ( F) получаем:kγuk2, F É kγE Fuk2,Rd ∁ kE Fuk1,2,Rd ∁ kuk1,2, F.Тем самым γ ∈ M(H 1 ( F), L 2 ( F)).Аналогом леммы 1.6.1 для более широкого класса мультипликаторовявляется следующее утверждение.Лемма 1.6.2. Подпространство периодических мультипликаторов изM(H 1 (Rd ), H −1 (Rd )) совпадает с пространством периодически продолженных мультипликаторов из M(H̃ 1 ( F), H̃ −1 ( F)).Отметим, что постоянные C γ (δ) в (1.6.7), (1.6.9) и в таких же оценках, которые возникают в доказательстве леммы 1.6.2, зависят от соответствующихразбиений единицы, так что мы каким-нибудь способом зафиксируемэти разбиения.Эффективный оператор при новых условиях останется ограниченными коэрцитивным, но получающийся для него сектор будет шире, чем S.Напомним, что сектор эффективного оператора находился из вспомогательной леммы 1.2.3, которая опиралась на мультипликаторные оценкикоэффициентов между пространствами на множестве F.
Как было видно из доказательства леммы 1.6.1, при переходе от Rd к F константы воценках типа (1.6.1)–(1.6.3) только ухудшаются. Тем самым первоначальнопри проверке основных утверждений необходимо выбирать µ вне некоторого большего, чем S, сектора. Однако, когда резольвентная сходимостьпри таких µ установлена, мы можем распространить все результаты наµ ∉ spec A0 (см. п. 1.6.1). Подчеркнем, что сужать интервал E может потребоваться лишь для µ ∈ S — как и прежде.671.6.3 О самосопряженностиВ случае, когда исходный оператор самосопряжен, приближения к немутакже могут быть выбраны самосопряженными.
Прежде всего покажем,что всегда (A0 )+ = (A0 )∗ . Согласно (1.2.1) и (1.2.1+ )ZQ++A (I + D 1 N ) dy 1 ==ZZQQ(I + D 1 N )∗ A ∗ (I + D 1 N + ) dy 1 =(I + D 1 N )∗ A ∗ dy 1 ,так что (A 0 )+ = (A 0 )∗ (см. (1.2.9) и (1.2.9+ )). Также в силу (1.2.2) и (1.2.1+ )ZQ+ ∗ +(I + D 1 N ) a 1 dy 1 ==ZZQQа в силу (1.2.1) и (1.2.2+ )Z+Q++(a 2 + A D 1 M ) dy 1 ==ZZQQ(I + D 1 N + )∗ (a 2 + AD 1 M ) dy 1 =(a 2 + AD 1 M ) dy 1 ,(I + D 1 N )∗ (a 1 + A + D 1 M + ) dy 1 =(I + D 1 N )∗ a 1 dy 1 ,поэтому (a10 )+ = a20 и (a20 )+ = a10 (см. (1.2.10), (1.2.11) и (1.2.10+ ), (1.2.11+ )). Наконец,используя (1.2.2) и (1.2.2+ ), видим, чтоZQ+ ∗+(a 1 ) D 1 M dy 1 ===ZZQZQQ∗++Za 2 + D 1 M ) (A D 1 M + a 1 ) dy 1 − (A −1 a 2 )∗ a 1 dy 1 =QZ(A −1 a 2 + D 1 M )∗ a 1 dy 1 − (A −1 a 2 )∗ a 1 dy 1 =(A−1Q∗(D 1 M ) a 1 dy 1 ,откуда (q 0 )+ = (q 0 )∗ (см. (1.2.12) и (1.2.12+ )). Таким образом, (A0 )+ = (A0 )∗ , иэффективный оператор самосопряжен, когда самосопряжен исходный.Перейдем к корректорам.
Если A + = A и a1 = a2 , то, очевидно, N + = Nи M + = M (см. (1.2.1), (1.2.2) и (1.2.1+ ), (1.2.2+ )). Тогда при условии, что Aεсамосопряжен, а µ вещественно, будет выполнено (Kµε )+ = Kµε и L+µ = Lµ ,и, значит, корректор Cµε также будет самосопряженным. Что касаетсякорректора Kµε , то он останется несамосопряженным, однако вместо негов оценке (1.4.3) всегда можно взять самосопряженный оператор Kµε + (Kµε )∗(или даже Cµε ), поскольку при любых f ∈ L 2 (Rd )nkKµε D 1 f k2,Rd ∁ k f k2,Rd ;проверка этого неравенства аналогична доказательству ограниченности Kµε на L 2 (Rd )n (см. лемму 1.5.7), заметим лишь, что вместо оценки длянормы оператора (A0µ )−1 между L 2 (Rd )n и H 1 (Rd )n следует использоватьоценку для нормы оператора (A0µ )−1 D 1 (который совпадает с D 1 (A0µ )−1 )между теми же пространствами.681.6.4 О замене сглаживающего оператораОператор P ε в корректоре Kµε (в том числе и внутри Cµε ) может бытьзаменен другим сглаживателем, — например, сглаживанием по Стеклову.Поясним, как это делается.Пусть S1ε есть сглаживание по Стеклову по переменной x 1 , то естьS1ε u(x) =ZQu(x 1 + εz 1 , x 2 ) dz 1 .Легко понять, что S1ε (как и P ε ) коммутирует с резольвентой эффективного оператора.
Нам достаточно показать, что при f ∈ L 2 (Rd )nkD 1 (N ε D + M ε )(P ε − S1ε )(A0µ )−1f k2,Rd ∁ k f k2,Rd(1.6.10)(см. (1.3.2) и (1.4.3)) иk(N ε D + M ε )(P ε − S1ε )(A0µ )−1f k2,Rd ∁ εk f k2,Rd(1.6.11)(см. (1.3.2), (1.3.8) и (1.4.5)). Для этого потребуется несколько простых фактов об операторах P ε и S1ε . Ниже через k · km2 ,2,Rd и k · km2 ,2,F обозначаютсянормы в L 2 (Rd1 ; H m (Rd2 )) и L 2 (Q; H m (Rd2 )).Лемма 1.6.3. При всех ε > 0 и u ∈ C c∞ (Rd )k(P ε − I )uk2,Rd ∁ εkD 1 uk2,Rd .(1.6.12)Кроме того, если F — периодическая функция из M(H m (Rd2 ), L 2 ( F)), где m ∈∈ N0 , то(1.6.13)kF ε P ε uk2,Rd É kF kM kukm2 ,2,Rd .Доказательство.
Пусть v ∈ C c∞ ( F). По неравенству Пуанкаре,k(P − I )vk2, F ∁ kD 1 (τ)vk2, F.Отсюда и из (1.5.2) и (1.5.34) вытекает (1.6.12). Далее, так как P v ∈ H m (Rd2 )и kP vkm,2,Rd2 É kvkm2 ,2,F, тоkF P vk2, F É kF kM kvkm2 ,2, F.Используя (1.5.34) снова, приходим к (1.6.13).äАналогичными свойствами обладает и сглаживатель S1ε .Лемма 1.6.4. При всех ε > 0 и u ∈ C c∞ (Rd )k(S1ε − I )uk2,Rd ∁ εkD 1 uk2,Rd .(1.6.14)Кроме того, если F — периодическая функция из M(H m (Rd2 ), L 2 ( F)), где m ∈∈ N0 , то(1.6.15)kF ε S1ε uk2,Rd É kF kM kukm2 ,2,Rd .69Доказательство. Оценка (1.6.14) следует из формулы Тейлора, см.
лемму 2.3.6. Чтобы установить (1.6.15), применим неравенство Коши и учтемпериодичность функции F : Z ZkF ε S1ε uk22,Rd ÉRdQ|F (y 1 , x 2 )u(x)|2 dx dy 1 .Изменяя порядок интегрирования и принимая во внимание то, что Fявляется мультипликатором, получаем (1.6.15).äПоложим u 0 = (A0µ )−1f . Очевидно, чтоD 1 (N ε D + M ε )(P ε − S1ε )u 0 = (N ε D + M ε )D 1 (P ε − S1ε )u 0 ++ ε−1 ((D 1 N )ε D + (D 1 M )ε )(P ε − S1ε )u 0 .(1.6.16)Первое слагаемое в правой части легко оценивается с помощью (1.6.13)и (1.6.15), если заметить, что функции N и M являются мультипликаторами(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
