Диссертация (1150426), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть b(D) — матричный дифференциальныйоператор первого порядка с символомξ 7→ b(ξ) =dXb i ξi ,i =1где bi ∈ Cm×n . Предположим, что при некотором α > 0b(ξ)∗ b(ξ) Ê α|ξ|2 ,ξ ∈ Rd(тем самым m Ê n ). Далее, пусть C ∈ C (R̄d ; L̃ ∞ (Q))m×m , причем вещественная часть C равномерно положительно определена. Положим A i j = bi∗C b j .Тогда, применяя преобразование Фурье, приходим к (2.1.12):Re(A(x, · )Du, Du)Rd = Re(C (x, · )b(D)u, b(D)u)Rd Ê2Ê k(ReC )−1 k−1M kb(D)uk2,Rd Ê2Ê αk(ReC )−1 k−1M kDuk2,Rd .Подчеркнем еще раз, что равномерная положительная определенностьфункции A является более сильным ограничением, чем равномернаяположительная определенность функции C в данном примере.Те же самые построения, что и в п. 1.1.4, позволяют свести локальнопериодический оператор теории упругости к оператору b(D)∗C ε b(D); мыне будем здесь повторяться.2.2 Эффективный операторОпределим при ξ ∈ Cd ×n и x ∈ Rd функцию Nξ (x, · ) как решение задачиD 2∗ A(x, · )(D 2 Nξ (x, · ) + ξ) = 0(2.2.1)в пространстве H̃01 (Q)n .
Мы уже видели в п. 2.1.1, см. лемму 2.1.2, что оператор D 2∗ A(x, · )D 2 сильно коэрцитивен на H̃ 1 (Q)n , поэтому согласно стандартному неравенству Пуанкаре его вещественная часть положительноопределена на H̃01 (Q)n :Re(A(x, · )Du, Du)Q ⊺ kuk21,2,Q ,u ∈ H̃01 (Q)n .Поскольку D 2∗ A(x, · )ξ ∈ H̃ −1 (Q)n , то задача (2.2.1) однозначно разрешима.Пусть N — отображение, сопоставляющее элементу ξ функцию Nξ .
Ясно, что Nξ линейно зависит от ξ, поэтому N есть оператор умноженияна функцию, которую мы также обозначим через N . Следующая леммапоказывает, что N имеет ту же гладкость по первому аргументу, что и A .Лемма 2.2.1. Верно включение N ∈ C 0,1 (R̄d ; H̃01 (Q)).85Доказательство. Из тождества (2.2.1) и леммы 2.1.2 вытекает, чтоc A kD 2 N (x, · )k2,Q É kA(x, · )k∞,Q ,(2.2.2)kD 2 N kL ∞ (Rd ;L 2 (Q)) É c −1A kAkM .(2.2.3)а значит,Далее, отметим, что для любых функций u , v на Rd × Q выполнено∆h uv = ∆h u · v + Th u · ∆h v,(2.2.4)где Th — оператор сдвига первой переменной на вектор h ∈ Rd . Имея ввиду это соотношение, из (2.2.1) находим:D 2∗ (Th A · D 2 ∆h N ) = −D 2∗ (∆h A · (I + D 2 N )).Воспользуемся леммой 2.1.2, чтобы оценить левую часть:c A kD 2 ∆h N (x, · )k2,Q É k∆h A(x, · ) · (I + D 2 N (x, · ))k2,Q .(2.2.5)ОтсюдаkD 1 D 2 N kL ∞ (Rd ;L 2 (Q)) É c −1A kD 1 AkM kI + D 2 N kL ∞ (Rd ;L 2 (Q)) ,и остается сослаться на (2.2.3).Таким образом, D 2 N ∈ C 0,1 (R̄d ; L 2 (Q)).
Но тогда из неравенства Пуанкареследует, что и N ∈ C 0,1 (R̄d ; L 2 (Q)).äЗамечание 2.2.2. Так как L ∞ (Rd ; H 1 (Q)) совпадает с пространством мультипликаторов в паре L 2 (Rd ) и L 2 (Rd ; H 1 (Q)), то соответствующие нормыфункций N и D 1 N будем обозначать через kN kM и kD 1 N kM . По тем же соображениям через kD 2 N kM и kD 1 D 2 N kM обозначаются нормы D 2 N и D 1 D 2 Nв L ∞ (Rd ; L 2 (Q)). Иначе говоря, под M здесь понимается пространство L ∞со значениями в самом узком классе, которому функция заведомо (на основании леммы 2.1.2) принадлежит.Замечание 2.2.3.
Как видно из доказательства леммы, от kD 1 AkM зависит только константа в оценке для kD 1 N kM , притом kD 1 N kM ∁ kD 1 AkM .Зададим отображение A 0 : Rd → B(Cd ×n ),0A (x) =ZQA(x, y)(I + D 2 N (x, y)) dy.(2.2.6)Поскольку функции A и D 2 N непрерывны по первому аргументу, то непрерывна и A 0 . Более того, A 0 ∈ C 0,1 (R̄d ). Действительно, неравенствоkA 0 kM É kAkM kI + D 2 N kM(2.2.7)вытекает непосредственно из определения A 0 , а оценкаkD A 0 kM É kAkM kD 1 D 2 N kM + kD 1 AkM kI + D 2 N kM(2.2.8)получается из тождества0∆h A (x) =ZQ∆h A(x, y)(I + D 2 N (x, y)) dy +ZQTh A(x, y)∆h D 2 N (x, y) dy (2.2.9)(см.
(2.2.4)). Тем самым величина kA 0 kC 0,1 (R̄d ) конечна.86Эффективный оператор A0 : H 1 (Rd )n → H −1 (Rd )n вводится по формулеA0 = D ∗ A 0 D.(2.2.10)Хорошо известно, что функция A 0 отвечает условию Лежандра–Адамара,и так как она еще и равномерно ограничена и равномерно непрерывна, тооператор A0 оказывается ограниченным и слабо коэрцитивным (в соответствии с неравенством Гординга), а следовательно, и m -секториальным.Нетрудно показать, что он удовлетворяет соотношению вида (2.1.5) с темиже самыми постоянными, однако константа в оценке нормы, вообще говоря, отличается от той, что в (2.1.4). Тем не менее сектор для эффективногооператора можно выбрать равным сектору S для исходного. (Похожаяситуация имела место и в случае операторов с периодическими коэффициентами, см.
п. 1.2.2.) Чтобы в этом убедиться, потребуется следующеевспомогательное утверждение (ср. с леммой 1.2.3).Лемма 2.2.4. Зададим форму a0 на H 1 (Rd )n ⊕ L 2 (Rd ; H̃ 1 (Q))n равенством0a (u , u ) =Z ZRd〈A(x, y) Du(x, y), Du(x, y)〉 dx dy,Qв котором Du(x, y) = D 1 u1 (x) ⊕ D 2 u2 (x, y), u = u1 ⊕ u2 . Тогда|a0 (u, u)| É C ♭ kDuk22,Rd ×Q(2.2.11)Re a0 (u, u) Ê c A kDuk22,Rd ×Q −C A ku1 k22,Rd .(2.2.12)иДоказательство. Первая оценка очевидна сразу, мы проверим вторую.Фиксируем u ∈ C c∞ (Rd )n ⊕C c∞ (Rd ; C̃ ∞ (Q))n и положим u (ε) = u1 + εuε2 . Подставим u (ε) в (2.1.5) и перейдем к пределу при ε → 0. Тогда поскольку u (ε) − u1и Du (ε) − (Du)ε стремятся к нулю в L 2 , тоlim Reε→0ZRdεεε〈A (x)(Du) (x), (Du) (x)〉 dx Ê lim c Aε→0ZRd|(Du)ε (x)|2 dx −C A ku1 k22,Rd .Вычисляя обе части неравенства с помощью (2.1.9), получаем (2.2.12).äЗамечание 2.2.5.
Форма a0 естественным образом возникает в теориидвухмасштабной сходимости, ссылки по этому поводу см. в замечании 1.2.4.Пусть u ∈ H 1 (Rd )n и U = N D 1 u . Согласно лемме 2.2.1, U ∈ L 2 (Rd ; H̃ 1 (Q))n ,поэтому u = u ⊕U принадлежит области определения формы a0 . Заметим,что если v ∈ 0 ⊕ L 2 (Rd ; H̃ 1 (Q))n , то0a (u, v) =Z ZRdQ〈A(x, y)(I + D 2 N (x, y))D u1 (x), D 2 v2 (x, y)〉 dx dy,а потому a0 (u, v) = 0 ввиду (2.2.1). Отсюда и из (2.2.6)a0 (u, u) = a0 (u, u ⊕ 0) = (A0 u, u)Rd .87Используя еще лемму 2.2.4, находим, что (A0 u, u)Rd ∈ S при произвольных kuk2,Rd = 1. Это и означает, что S может быть выбран в качестве сектора для A0 .Подведем итог сказанному.
Если µ ∉ S, то оператор A0µ = A0 − µ является изоморфизмом. Кроме того, он изоморфно отображает пространство H 2 (Rd )n на L 2 (Rd )n , что вытекает из теоремы о повышении гладкостирешений эллиптических уравнений с липшицевыми коэффициентами(см., например, [McL00, теорема 4.16]; ср. с леммой 1.5.4 в главе 1). Такимобразом, при всех f ∈ L 2 (Rd )n справедлива оценкаk(A0µ )−1f k2,2,Rd ∁ k f k2,Rd .(2.2.13)Замечание 2.2.6.
Как и в случае оператора Aε , постоянная в неравенстведля (A0µ )−1 , аналогичном (2.1.7), не включает kD 1 AkM . С другой стороны,константа в оценке нормы оператора DD(A0µ )−1 на L 2 зависит линейноот kD A 0 kM , а значит, и линейно от kD 1 AkM (в силу (2.2.7), (2.2.8) и замечания 2.2.3).2.3 КорректорыПусть оператор Kµ : L 2 (Rd )n → H 1 (Rd ; H̃ 1 (Q))n действует по формулеKµ = N D 1 (A0µ )−1 .(2.3.1)Как видно из леммы 2.2.1 и оценки (2.2.13), он непрерывен:kD 1 D 2 Kµ f k2,Rd ×Q + kKµ f k1,2,Rd ×Q ∁ k f k2,Rd .(2.3.2)Замечание 2.3.1.
Из замечаний 2.2.3 и 2.2.6 понятно, что от kD 1 AkM зависят, причем линейно, только постоянные в оценках для норм операторов D 1 Kµ и D 1 D 2 Kµ на L 2 .Напомним, что традиционный для теории усреднения корректор имеетвид τε Kµ . Однако его образ, вообще говоря, не содержится даже в L 2 (Rd )n ,а потому, как и ранее в главе 1, классический корректор надлежит сначалаподходящим образом регуляризовать. Для данной цели сейчас используется сглаживание по Стеклову.2.3.1 Сглаживающий операторВведем оператор сдвига T ε : L 2 (Rd × Q) → L 2 (Rd × Q; L 2 (Q)):T ε u(x, y, z) = u(x + εz, y),(2.3.3)где (x, y) ∈ Rd × Q и z ∈ Q.
Разумеется, его можно определить и на более широком множестве функций, но нам удобно трактовать появление новойпеременной z как переход к векторнозначному пространству со значениями в L 2 (Q). Отметим, чтоT ε uv = T ε u · T ε v(2.3.4)88при любых u и v , для которых левая и правая часть имеет смысл. Далее,сопряженный к T ε оператор действует по формулеε ∗(T ) u(x, y) =Zu(x − εz, y, z) dz.QОн естественным образом задан и на пространствах L 2 (Rd × Q) и L 2 (Rd ).
Мыопределим оператор сглаживания по Стеклову S ε : L 2 (Rd × Q) → L 2 (Rd × Q)как сужение (T ε )∗ на L 2 (Rd × Q), то естьεS u(x, y) =ZT ε u(x, y, z) dz.(2.3.5)QЗамечание 2.3.2. Оператор сдвига T ε и сглаживатель по Стеклову S εтесно связаны с операторами «анфолдинга» и «локального усреднения»,которые возникают в методе «анфолдинга» (см., [CDG02], а также [CDG08]).Пусть [x]Q ∈ Zd — центр ячейки, содержащей точку x , например [x]Q = k ,если x ∈ int Qk , где Qk = k + Q и k ∈ Zd (можно каким-нибудь способом выбрать одно значение [x]Q и когда x лежит и на границе ячейки; впрочем,достаточно, чтобы данное отображение было определено лишь почтивсюду). Тогда оператор «анфолдинга» Tε : L 2 (Rd × Q) → L 2 (Rd × Q; L 2 (Q)) дается равенствомTε u(x, y, z) = T ε u(ε[ε−1 x]Q , y, z);иначе говоря, Tε фиксирует значение первого аргумента функции T ε uв каждой из ячеек εQk , где k ∈ Zd .
Оператор «локального усреднения»Mε : L 2 (Rd × Q) → L 2 (Rd × Q) представляет собой сужение (Tε )∗ на L 2 (Rd × Q)Zи имеет видMε u(x, y) = Tε u(x, y, z) dz.QОтметим, что функция Mε u( · , y) кусочно-постоянна при почти всех y , такчто имеет разрывы, а потому в качестве сглаживателя в методе «анфолдинга» используется не сам Mε , а некоторое «регулярное» приближениек нему — так называемый оператор «разделения масштабов».Ясно, что S ε самосопряжен. Ниже приведены некоторые другие элементарные свойства операторов T ε и S ε .Лемма 2.3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
