Диссертация (1150426), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1.6.4). В этомслучае функция (I − T1ε )A оказывается тождественно равной нулю. Впрочем, даже исходя из определения (2.3.15) с оператором T ε , нетрудно проверить, что оценка (2.6.1) всё же имеет место; похожий результат приведенв лемме 3.5.1 ниже.Принимая во внимание указанные примеры, можно предположить,что соотношение (2.6.1) верно и если A ∈ C 0,1 (R̄d ; L̃ ∞ (Q)). Однако это не так,и мы построим оператор, для которого слагаемое Mεµ при ε → 0 имеетпроизвольный наперед заданный порядок o(1).Рассмотрим одномерный случай, когда A(x, y) = A 1 (x) A 2 (y), а функции A 1и A 2 вещественнозначны. Решение задачи (2.2.1) находится явно, притомI + D 2 N (x, y) =µZ1/2−1/2A(x, w)−1dw¶−1A(x, y)−1 = α2 A 2 (y)−1 ,где α2 — среднее гармоническое функции A 2 по ячейке [−1/2, 1/2]. ТемсамымD 1 u 0 (x) + D 2U (x, y) = α2 A 2 (y)−1 Du 0 (x),и квадратичная форма оператора Mεµ принимает видεε(Mεµ f , f )R = ε−1 α22 ((I − T ε )A 1 · τε A −12 T Du 0 , T Du 0 )R×Q .106Так как k(I − T ε )A 1 kM ∁ ε, то лемма 2.3.5 позволяет заменить здесь функции T ε Du 0 на Du 0 .
Используя еще определение оператора S ε , видим, что(Mεµ f , f )R ≈ ε−1 α22 ((I − S ε )A 1 · τε A −12 Du 0 , Du 0 )R(2.6.2)(как и прежде, символ ≈ имеет смысл равенства с точностью до слагаемых,которые в конечном счете перейдут в погрешность).Зададим функцию χ рядом Фурьеχ(x) =Xk −2 cos πλk x;Rxχ(t ) dt ,k∈Nпоследовательность {λk }k∈N определим позже, сейчас достаточно знать,что λk ∈ N и λk+1 > λk . Ряд сходится абсолютно и равномерно, поэтомуχ ∈ C (R̄). Пусть A 1 представляет собой равномерно положительно определенную липшицевую функцию, производная которой на интервале [0, 1]совпадает с χ, а вне этого интервала равна нулю. Учитывая,¯Rчто χ имеет¯нулевое среднее значение, а максимум отображения x 7→ ¯ 0x χ(t ) dt ¯ непревосходит π/6, мы можем взять, например,A 1 (x) =(1+10x ∈ [0, 1];x ∉ [0, 1].Пусть Ã 1 — периодическое продолжение A 1 из [0, 1] на всю ось.
Ясно, чтоноситель (I −S ε )A 1 сосредоточен внутри интервала [−ε/2, 1+ε/2]. Покажем,что функцию A 1 в (2.6.2) можно заменить на 1(0,1) Ã 1 , допустив ошибку порядка ε. Действительно, (I − S ε )A 1 совпадает с (I − S ε ) Ã 1 на [ε/2, 1−ε/2]; дляокрестностей же B ε/2 (0) и B ε/2 (1), согласно теореме вложения, получаем:ε−1 |((I − S ε )A 1 · τε A −12 Du 0 , Du 0 )B ε/2 (0)∪B ε/2 (1) | ÉÉ r Q kD A 1 kM kDu 0 k22,B ε/2 (0)∪B ε/2 (1) ∁ εkDu 0 k2∞,R ∁ εkDu 0 k21,2,R .Аналогично доказывается оценка с Ã 1 вместо A 1 . В результате(Mεµ f , f )R ≈ ε−1 α22 ((I − S ε ) Ã 1 · τε A −12 Du 0 , Du 0 )(0,1) .(2.6.3)Выберем f таким образом, чтобы |Du 0 |2 равнялось единице на (0, 1).Нам осталось фиксировать функции A 1 и A 2 . Последнюю определим так:A 2 (y) = 16π(2 + sin 2πy)−1 ;отметим, что α2 = 8π.
Далее, пусть ζ ∈ C ([0, 1]) — монотонная функция,удовлетворяющая условиям ζ(0) = 0 и ζ(ε) Ê ε. Найдем последовательность{εl }l ∈L (L — счетное подмножество натуральных чисел), для которой 2/εl ∈∈ N и ⌈ζ(εl )−1/2 ⌉ = l , и положим λk = 2/εk . Тогда посколькуε(I − S ) Ã 1 (x) =Xk∈N=k−2Z1/2 Zx−1/2 x+εzcos πλk t dz dt =sin(πλk ε/2) ´1 ³sin πλk x1−2πλk ε/2k∈N πλk kX107(эти равенства выполнены при произвольных ε и λk ), то((I − S εl ) Ã 1 · τεl A −12 Du 0 , Du 0 )(0,1) =Z³Xsin(πλk εl /2) ´ 111−sin(πλk x) sin(2πx/εl ) dx ==22πλk εl /20k∈N 16π λk k1=.232π λl l 2Отсюда и из (2.6.3)ε(Mµl f , f )R ≈ ⌈ζ(εl )−1/2 ⌉−2 = ζ(εl )(1 + o(1)),когда l → ∞. Тем самым избавиться от оператора Mεµ в теореме 2.4.3, неизменив порядок погрешности, нельзя.Сделаем некоторые пояснения в связи с функцией χ. Несложно понять,что то, насколько «редким» будет множество L (а значит, и насколькогладкой будет χ), зависит от скорости стремления функции ζ к нулю. Так,если ζ имеет степенную асимптотику, то, начиная с некоторого места, L небудет содержать лакун; если же ζ убывает медленнее любой степени, торяд для χ может стать лакунарным.
Скажем, при ζ(ε) = (log2 ε−1 )−2 множество L состоит из чисел вида 2k , где k ∈ N. Известно, что получающаяся втаком случае функция χ хотя и непрерывна, но не удовлетворяет условиюГёльдера ни в одной точке (см. [H16, § 4]). Тем не менее производная от A 1остается кусочно непрерывной с двумя точками разрыва. Вероятно, еслиданная производная не будет гладкой ни в какой точке, норма оператораMεµ окажется в точности порядка единицы.108Глава 3Локально периодический операторс «гёльдеровыми» коэффициентами3.1 Постановка задачи и основные определенияВ этой главе мы продолжим изучать задачу усреднения для локально периодического оператора Aε : H 1 (Rd )n → H −1 (Rd )n вида Aε = D ∗ A ε D(все обозначения из предыдущей главы сохраняются), однако условиелипшицевости функции A по первому аргументу будет ослаблено до гёльдеровости с показателем s ∈ [0, 1), иначе говоря мы будем считать выполненным включение A ∈ C 0,s (R̄d ; L̃ ∞ (Q)).
Подчеркнем, что возможность s = 0не исключается. Вместе с тем некоторые результаты потребуют дополнительной гладкости, место которой в шкале гёльдеровых классов окажетсямежду C 0,s и C 0,r с любым r > s (см. подробнее в п. 3.1.1); такие случаи далее будут специально оговариваться. Как и ранее, мы предполагаем, чтооператор Aε слабо коэрцитивен равномерно по ε ∈ E, то есть выполненоусловие (2.1.5).
Через S обозначен сектор для семейства Aε , который заданформулой (2.1.6). Если µ ∉ S, то при всех ε ∈ E и f ∈ H −1 (Rd )nk(Aεµ )−1f k1,2,Rd ∁ k f k−1,2,Rd .(3.1.1)Перейдем к эффективному оператору. Благодаря лемме 2.1.2 (ее выводопирался на классический результат из теории двухмасштабной сходимости, который требовал лишь непрерывности функции A по первой переменной) и неравенству Пуанкаре, решение вспомогательной задачи (2.2.1)существует и единственно, причем заведомо N ∈ C 0,s (R̄d ; H̃01 (Q)) (см. (2.2.3)и (2.2.5)). Эффективный оператор A0 : H 1 (Rd )n → H −1 (Rd )n определяетсяпрежней формулой (2.2.10).
Легко понять, что A 0 ∈ C 0,s (R̄d ) (см., например,оценки (2.2.7) и (2.2.9)), поэтому с помощью леммы 2.2.4 (доказательствоостается без изменений) выясняется, что оператор A0 также m -секториален, а его сектор содержится в S (соответствующие выкладки могут бытьнайдены в § 2.2).
Тем самым если µ ∉ S и f ∈ H −1 (Rd )n , тоk(A0µ )−1f k1,2,Rd ∁ k f k−1,2,Rd .(3.1.2)Мы зафиксируем произвольную точку µ из дополнения к сектору S и вседальнейшие рассуждения будем проводить для нее (см. также п. 3.5.1).Как обычно, для описания корректоров нужен вспомогательный оператор Kµ : L 2 (Rd )n → L 2 (Rd ; H̃ 1 (Q))n , который вводится равенством (2.3.1).109Поскольку N ∈ C 0,s (R̄d ; H̃01 (Q)), а A0µ — изоморфизм, тоkD 2 Kµ f k2,Rd ×Q + kKµ f k2,Rd ×Q ∁ k f k2,Rd(3.1.3)при любых f ∈ L 2 (Rd )n , и потому Kµ непрерывен.Отсюда и из леммы 2.3.4 сразу же можно заключить, что непрерывени корректор Kµε : L 2 (Rd )n → L 2 (Rd )n (обратим внимание на то, что пока мыего реализуем как оператор в пространстве L 2 (Rd )n ), действующий постарой формуле (2.3.10); более того, для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkKµε f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(3.1.4)Рассмотрим еще оператор Mεµ : L 2 (Rd )n → L 2 (Rd )n , задаваемый равенством (2.3.15).
Сейчасk(I − T ε )AkM É εs r Qs kD 1s,∞ AkM(как и в предыдущей главе, под мультипликаторной нормой для функции A и ее производных понимается L ∞ -норма), и тогда, повторяя выводоценки (2.3.20), мы видим, что при всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )n выполняетсяkMεµ f k2,Rd ∁ ε−(1−s) k f k2,Rd .(3.1.5)Для дальнейшей работы с корректорами нужна будет дополнительнаягладкость коэффициента A .
Напомним, что в главе 2 корректор Kµε использовался в приближении по операторной норме между L 2 (Rd )n и H 1 (Rd )n ,а его непрерывность в этой паре пространств обеспечивалась, по существу, тем, что производные липшицевых функций являются мультипликаторами на L 2 . Однако гёльдеровы функции даже локально могут непринадлежать классу Соболева–Слободецкого с таким же показателем —о более тонких свойствах и говорить не приходится.PНапример, если m ∈ N \ {1}, то функция x 7→ γs (x) = k∈N m −sk cos 2πm k xравномерно ограничена и удовлетворяет условию Гёльдера с показателем s (см. [St73]).
Вместе с тем при достаточно малых |h|Z10|γs (x + h) − γs (x)|2 dx ⊺ |h|2s(снова см. [St73]), поэтому величинаkDs,2χγs k22,R=ZZR R|h|−1−2s |χ(x + h)γs (x + h) − χ(x)γs (x)|2 dx dhоказывается неограниченной, скажем, для «гладких характеристическихфункций» χ ∈ C c∞ (R) интервалов единичной длины. Отсюда также понятно, что дробная производная D s,2 γs (в интересующем нас контексте онапредставляет собой аналог производной липшицевой функции) не можетбыть мультипликатором на L 2 (R).Таким образом, с липшицевых функций на гёльдеровы мультипликаторные свойства не переносятся.
По этой причине, переходя к приближению в операторной норме между L 2 (Rd )n и H s (Rd )n (разумеется, при s > 0),110мы вынуждены несколько сузить круг рассматриваемых коэффициентов A . Именно, предположим, что D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q). Данное требованиев точности означает, что дробная производная D 1s,2 A является мультипликатором на L 2 (Rd × Q). Кроме того, оно влечет за собой и включениефункции A в пространство мультипликаторов на H s (Rd ; L 2 (Q)). Чтобы вэтом убедиться, достаточно показать, что при r ∈ (0, 1)kD 1r,2 uvk2,Rd ×Q É kD 1r,2 u · vk2,Rd ×Q + kuD 1r,2 vk2,Rd ×Q(3.1.6)для любых функций u и v на Rd × Q, для которых левая и правая частиимеют смысл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
