Диссертация (1150426), страница 27
Текст из файла (страница 27)
При всех δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )nkD 2 Kµ (δ) f − D 2 Kµ f k2,Rd ×Q + kKµ (δ) f − Kµ f k2,Rd ×Q ∁ kA δ − AkM k f k2,Rd .Лемма 3.3.22. Пусть s > 0 и r ∈ (0, s). Тогда при всех δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )nkD 1r,2 (D 2 Kµ (δ) f − D 2 Kµ f )k2,Rd ×Q + kD 1r,2 (Kµ (δ) f − Kµ f )k2,Rd ×Q ∁¡¢∁ kD 1r,2 (A δ − A)kM + kA δ − AkM k f k2,Rd .Если D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q), то неравенство остается в силе и с r = s .Имея в распоряжении оценки для оператора Kµ (δ), довольно простоустановить, как быстро растут нормы корректоров Kµε (δ) и Cµε (δ) и с какойскоростью эти корректоры сходятся к Kµε и Cµε . Начнем с Kµε (δ).Лемма 3.3.23.
При всех ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )nkKµε (δ) f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .Доказательство. Утверждение прямо следует из лемм 2.3.4 и 3.3.19.äЛемма 3.3.24. Пусть r ∈ (0, 1). Тогда при всех ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )n¢¡kD r,2 Kµε (δ) f k2,Rd ∁ kD 1r,2 A δ kM + ε−r k f k2,Rd .(3.3.21)Доказательство. Положим Uε,δ = Kµε (δ) f . По формуле (3.1.17) с Uδ в роли функции u ,¡¢kD r,2Uε,δ k2,Rd ∁ kD 1r,2Uδ k2,Rd ×Q + ε−r kD 2Uδ k2,Rd ×Q + kUδ k2,Rd ×Q .Учитывая леммы 3.3.19 и 3.3.20, приходим к (3.3.21).äРезультаты о сходимости корректора Kµε (δ) получаются вполне аналогично, при этом собственно скорость сходимости находится из лемм 3.3.21и 3.3.22.125Лемма 3.3.25.
При всех ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )nkKµε (δ) f − Kµε f k2,Rd ∁ kA δ − AkM k f k2,Rd .Лемма 3.3.26. Пусть s > 0 и r ∈ (0, s). Тогда при всех ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈∈ L 2 (Rd )n¡¢kD r,2 (Kµε (δ) f − Kµε f )k2,Rd ∁ kD 1r,2 (A δ − A)kM + ε−r kA δ − AkM k f k2,Rd . (3.3.22)Если D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q), то неравенство остается в силе и с r = s .Перейдем к оценкам для корректора Cµε (δ).
У нас уже есть нужные соотношения для входящих в него операторов Kµε (δ) и Kµε (δ)+ , и сейчас остаетсярассмотреть Lµ (δ) и Mεµ (δ) (как обычно, нет необходимости изучать Lµ (δ)+отдельно).Лемма 3.3.27. При всех δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )n¡¢2kLµ (δ) f k2,Rd ∁ kD 11/2,2 A δ kM + 1 k f k2,Rd .Доказательство. Пусть Uδ+ = Kµ (δ)+ g , где g ∈ L 2 (Rd )n . С помощью (3.1.20)убеждаемся, что|(Lµ (δ) f , g )Rd | ∁ kD 11/2,2 A δ (D 1 u 0,δ + D 2Uδ )k2,Rd ×Q kD 11/2,2Uδ+ k2,Rd ×Q(ср.
с (3.1.21)). Первый сомножитель, согласно формуле (3.1.6), допускаетоценкуkD 11/2,2 A δ (D 1 u 0,δ + D 2Uδ )k2,Rd ×Q É kA δ kM kD 11/2,2 (D 1 u 0,δ + D 2Uδ )k2,Rd ×Q ++ kD 11/2,2 A δ kM kD 1 u 0,δ + D 2Uδ k2,Rd ×Q ,поэтому, в силу лемм 3.3.1, 3.3.15, 3.3.16, 3.3.19 и 3.3.20,Оценка¢¡kD 11/2,2 A δ (D 1 u 0,δ + D 2Uδ )k2,Rd ×Q ∁ kD 11/2,2 A δ kM + 1 k f k2,Rd .¢¡kD 11/2,2Uδ+ k2,Rd ×Q ∁ kD 11/2,2 A δ kM + 1 kg k2,Rdдля второго сомножителя очевидна из леммы 3.3.20+ .äЛемма 3.3.28.
Пусть s Ê 1/2 и D 11/2,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q). Тогда при всех δ ∈ Dµи f ∈ L 2 (Rd )n¡¢kLµ (δ) f − Lµ f k2,Rd ∁ kD 11/2,2 (A δ − A)kM + kA δ − AkM k f k2,Rd .Доказательство. Если g ∈ L 2 (Rd )n , то(Lµ (δ) f − Lµ f , g )Rd = ((A δ − A)(D 1 u 0,δ + D 2Uδ ), D 1Uδ+ )Rd ×Q ++ (A(D 1 u 0,δ − D 1 u 0 + D 2Uδ − D 2U ), D 1Uδ+ )Rd ×Q ++ (A(D 1 u 0 + D 2U ), D 1Uδ+ − D 1U + )Rd ×Q .Все слагаемые далее оцениваются подобно тому, как это было сделанов предыдущей лемме, дополнительно лишь требуется принять во внимание утверждения о сходимости регуляризованных объектов, именно:леммы 3.3.17–3.3.18, 3.3.21–3.3.22 и 3.3.22+ .ä126Займемся последним оператором — Mεµ (δ).Лемма 3.3.29.
При всех ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )nkMεµ (δ) f k2,Rd ∁ ε−(1−s) k f k2,Rd .Доказательство. Напомним, что форма оператора Mεµ (δ) имеет вид++ D 2Uδ+ ))Rd ×Q .(Mεµ (δ) f , g )Rd = ε−1 (τε [A δ , T ε ](D 1 u 0,δ + D 2Uδ ), τε T ε (D 1 u 0,δТак какk(T ε − I )A δ kM É εs r Qs kD 1s,∞ A δ kM ,а норма функции D 1s,∞ A δ равномерно ограничена (см. лемму 3.3.1), то++ D 2Uδ+ k2,Rd ×Q|(Mεµ (δ) f , g )Rd | ∁ ε−(1−s) kD 1 u 0,δ + D 2Uδ k2,Rd ×Q kD 1 u 0,δ(здесь были учтены равенство (2.3.19) и лемма 2.3.3). Оценка для Mεµ (δ)теперь вытекает из лемм 3.3.15, 3.3.19 и 3.3.15+ , 3.3.19+ .äЛемма 3.3.30.
При всех ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )nkMεµ (δ) f − Mεµ f k2,Rd ∁ ε−1 kA δ − AkM k f k2,Rd .Доказательство. Запишем тождество:ε(Mεµ (δ) f − Mεµ f , g )Rd =¡¢+= τε [A δ − A, T ε ](D 1 u 0,δ + D 2Uδ ), τε T ε (D 1 u 0,δ+ D 2Uδ+ ) Rd ×Q +¡¢++ τε [A, T ε ](D 1 u 0,δ − D 1 u 0 + D 2Uδ − D 2U ), τε T ε (D 1 u 0,δ+ D 2Uδ+ ) Rd ×Q +¡¢++ τε [A, T ε ](D 1 u 0 + D 2U ), τε T ε (D 1 u 0,δ− D 1 u 0+ + D 2Uδ+ − D 2U + ) Rd ×Q .(3.3.23)Слагаемые справа имеют похожую структуру: каждое состоит из произведения трех функций, одна из которых оценивается через мультипликаторную норму A δ − A , а две другие — равномерно ограничены относительно δ.Рассмотрим, например, первое слагаемое.
Ввиду равенства типа (2.3.19) илеммы 2.3.3, оно не превосходит+k(T ε − I )(A δ − A)kM kD 1 u 0,δ + D 2Uδ k2,Rd ×Q kD 1 u 0,δ+ D 2Uδ+ k2,Rd ×Q .(3.3.24)Сразу ясно, что k(T ε − I )(A δ − A)kM É 2kA δ − AkM . Вместе с тем, как видноиз лемм 3.3.15, 3.3.19 и 3.3.15+ , 3.3.19+ ,kD 1 u 0,δ + D 2Uδ k2,Rd ×Q ∁ k f k2,Rdи+kD 1 u 0,δ+ D 2Uδ+ k2,Rd ×Q ∁ kg k2,Rd .Стало быть, первый член удовлетворяет нужному неравенству. Два оставшихся в (3.3.23) слагаемых также не вызывают затруднений.ä127Сопоставляя оценки, полученные для входящих в Cµε (δ) операторов,приходим к следующим утверждениям.Лемма 3.3.31. При всех ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )n¡¢kCµε (δ) f k2,Rd ∁ kD 11/2,2 A δ k2M + ε−(1−s) k f k2,Rd .Лемма 3.3.32.
Пусть s Ê 1/2 и D 11/2,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q). Тогда при всех ε ∈ E,δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )n¡¢kCµε (δ) f − Cµε f k2,Rd ∁ kD 11/2,2 (A δ − A)kM + ε−1 kA δ − AkM k f k2,Rd .3.3.7 Приближения для регуляризованного оператораОператор Aεµ (δ) укладывается в рамки главы 2, и к нему применимы результаты теорем 2.4.1 и 2.4.3. Необходимо, однако, подчеркнуть, что погрешность в указанных результатах зависит от параметра δ, так как содержитлипшицеву полунорму коэффициента A δ (и только поэтому: L ∞ -нормаA δ равномерно ограничена, согласно лемме 3.3.1).
Понять, каким образомэта полунорма влияет на приближения, можно из замечаний 2.5.2 и 2.5.3:в случае теоремы 2.4.1 при δ → 0 погрешность растет не быстрее первойстепени нормы D 1 A δ , а в случае теоремы 2.4.3 — не быстрее ее квадрата.Для удобства мы выпишем отдельно результаты, которые нам потребуется при доказательстве.Теорема 3.3.33. Если µ ∉ S, то при любых ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )n¡¢kAεµ (δ)−1f − A0µ (δ)−1f k2,Rd ∁ ε kD 1 A δ kM + 1 k f k2,Rd .(3.3.25)¡¢kD r,2 (Aεµ (δ)−1f − A0µ (δ)−1f − εKµε (δ) f )k2,Rd ∁ ε kD 1 A δ kM + 1 k f k2,Rd .(3.3.26)Теорема 3.3.34.
Если µ ∉ S и r ∈ (0, 1), то при любых ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈∈ L 2 (Rd )nПоясним здесь, что, на основании вложения H r в H 1 , от L 2 -нормы дробной производной функции u ε,δ − u 0,δ − εUε,δ можно перейти к H 1 -нормеэтой функции. Мы уже отмечали выше, что¡¢kDu ε,δ − Du 0,δ − εDUε,δ k2,Rd + ku ε,δ − u 0,δ k2,Rd ∁ ε kD 1 A δ kM + 1 k f k2,Rd .Оценка для недостающего члена εUε,δ вытекает из леммы 3.3.23.Теорема 3.3.35. Если µ ∉ S, то при любых ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )n¡¢kAεµ (δ)−1f − A0µ (δ)−1f − εCµε (δ) f k2,Rd ∁ ε2 kD 1 A δ k2M + 1 k f k2,Rd .(3.3.27)3.4 Доказательство основных результатов.
ОкончаниеДалее, как и прежде, предполагаем, что δ ∈ Dµ . Кроме того, мы будемсчитать, что и ε ∈ E ∩ Dµ . Это не ограничивает общности, поскольку, с128одной стороны, при доказательстве сходимости совершенно не важно,насколько широким является множество индексов, а с другой стороны,оценки, полученные для ε ∈ E∩ Dµ , могут быть распространены на весьинтервал E (но, возможно, с большими константами в правой части).Во втором случае достаточно принять во внимание, что все оцениваемыеоператоры ограничены, а величина δµ явно контролируется (см. замечание 3.3.9).3.4.1 Доказательство теоремы 3.2.1Согласно леммам 3.3.10 и 3.3.17,kAεµ (δ)−1f − (Aεµ )−1f k2,Rd + kA0µ (δ)−1f − (A0µ )−1f k2,Rd ∁ kA δ − AkM k f k2,Rd .Используя еще теорему 3.3.33, находим:¡¢k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f k2,Rd ∁ kA δ − AkM + εkD 1 A δ kM + ε k f k2,Rd .Если s = 0, то kA δ − AkM → 0 (см.
лемму 3.3.4), а значит, устремляя ε и δк нулю, получаем операторную сходимость резольвент. Если же s > 0, товеличины kA δ − AkM и kD 1 A δ kM оцениваются с помощью лемм 3.3.3, 3.3.4.В результатеk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f k2,Rd ∁ (δs + εδ−(1−s) + ε)k f k2,Rd ,или, поскольку ε É εδ−(1−s) ,k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f k2,Rd ∁ δs (1 + εδ−1 )k f k2,Rd .Чтобы правая часть была мала при ε → 0, необходимо для каждого фиксированного ε должным образом подобрать δ(ε). Легко понять, что оптимальным (с точки зрения зависимости погрешности от ε) будет выбор δ(ε) = ε, а тогда для ε ∈ E∩ Dµ окажетсяk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f k2,Rd ∁ εs k f k2,Rd .3.4.2 Доказательство теоремы 3.2.2Так как пространство H s вложено в H 1 , то на основании лемм 3.3.10и 3.3.17 можно оценить скорость, с которой при δ → 0 сходятся операторы D s,2Aεµ (δ)−1 и D s,2A0µ (δ)−1 :kD s,2 (Aεµ (δ)−1f −(Aεµ )−1f )k2,Rd +kD s,2 (A0µ (δ)−1f −(A0µ )−1f )k2,Rd ∁kA δ −AkM k f k2,Rd .Аналогичный результат для D s,2 Kµε (δ) вытекает из леммы 3.3.26:¡¢εkD s,2 (Kµε (δ) f − Kµε f )k2,Rd ∁ εkD 1s,2 (A δ − A)kM + kA δ − AkM k f k2,Rd .Вместе с теоремой 3.3.34 всё это приводит к оценкеkD s,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f )k2,Rd ∁¡¢∁ kA δ − AkM + εkD 1s,2 (A δ − A)kM + εkD 1 A δ kM + ε k f k2,Rd .(3.4.1)129Отсюда, учитывая неравенство kD 1s,2 (A δ −A)kM É kD 1s,2 A δ kM +kD 1s,2 AkM и применяя леммы 3.3.1, 3.3.3 и 3.3.4, находим, чтоkD s,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f )k2,Rd ∁ δs (1 + εδ−1 )k f k2,Rd .Как и в доказательстве теоремы 3.2.1, погрешность будет иметь оптимальный порядок при δ(ε) = ε.Замечание 3.4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
