Диссертация (1150426), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Согласно формуле (2.2.4),∆h uv = ∆h u · v − Th u∆−h v.Оценим по неравенству треугольника норму ∆h uv в пространстве L 2 наRd × Q × Rd с весом (x, y, h) 7→ |h|−d −2r . Учитывая еще, что Th изометриченна L 2 (Rd ), приходим к (3.1.6). Нужное утверждение для A теперь следуетиз (3.1.6) и равномерной ограниченности D 1s,2 A и A .Определим, как увеличение гладкости коэффициента отражается насвойствах эффективного оператора и корректоров.Возведем оценку (2.2.5) в квадрат, домножим на |h|−d −2s , а затем проинтегрируем по h ∈ Rd . Тогда получим:c A kD 1s,2 D 2 N (x, · )k2,Q É kD 1s,2 A(x, · ) · (I + D 2 N (x, · ))k2,Q .(3.1.7)Аналогичное соотношение для D 1s,2 N (x, · ) вытекает из неравенства Пуанкаре.
В итоге(3.1.8)kD 1s,2 D 2 N kM + kD 1s,2 N kM ∁ kD 1s,2 AkM kI + D 2 N kM .(Напомним читателю, что мультипликаторная норма функции N и различных ее производных есть норма в пространстве L ∞ со значениямив наименьшем из классов L 2 и H 1 , которому рассматриваемая функциязаведомо, на основании леммы 2.1.2, принадлежит — см. замечание 2.2.2.)Исходя из тождества (2.2.9) для функции ∆h A 0 , подобными рассуждениями можно доказать оценкуkD s,2 A 0 kM É kD 1s,2 AkM kI + D 2 N kM + kAkM kD 1s,2 D 2 N kM ,(3.1.9)так что A 0 обладает теми же мультипликаторными свойствами, что и A .Это, в свою очередь, позволяет установить непрерывность оператораD s,2 D(A0µ )−1 на L 2 , как видно из следующего общего результата о повышении гладкости.Лемма 3.1.1.
Пусть s > 0 и r ∈ (0, s). Тогда при всех f ∈ H −(1−r ) (Rd )nkD r,2 D(A0µ )−1f k2,Rd ∁ k f k−(1−r ),2,Rd .(3.1.10)Если, кроме того, D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q), то это неравенство выполнено идля r = s .111Доказательство. Подействуем оператором ∆h на обе части тождестваA0µ u 0 = f и примем во внимание (2.2.4):A0µ ∆h u 0 = D ∗ Th (∆−h A 0 · Du 0 ) + ∆h f .(3.1.11)Отсюда и из (3.1.2) далее следует, чтоk∆h Du 0 k2,Rd ∁ k∆−h A 0 · Du 0 k2,Rd + k∆h f k−1,2,Rd ,а тогдаkDr,2Du 0 k22,Rd∁ kDr,2 0A· Du 0 k22,Rd+ZRd|h|−d −2r k∆h f k2−1,2,Rd dh.(3.1.12)Заметим, что дробная производная D r,2 A 0 равномерно ограничена: вслучае r = s это прямо вытекает из условия (см. (3.1.8) и (3.1.9)), а при r < skD r,2 A 0 k2M∁ kD s,∞ A 0 k2MZ|h|−d +2(s−r )B 1 (0)dh+kA 0 k2MZRd \B|h|−d −2r dh.
(3.1.13)1 (0)Учитывая еще (3.1.2), получаем оценку для первого члена в правой части (3.1.12):(3.1.14)kD r,2 A 0 · Du 0 k2,Rd ∁ k f k−1,2,Rd .Перейдем ко второму члену. По определению,k∆h fk2−1,2,Rd=ZRd(1 + |ξ|2 )−1 |F ∆h f (ξ)|2 dξ.Здесь F ∆h f (ξ) = (e i 〈h,ξ〉 − 1)F f (ξ), а, как известно,Z|h|−d −2r|ei 〈h,ξ〉Rd2− 1| dh = 2поэтомуZRd|h|−d −2r k∆h f k2−1,2,Rd dh ∼ZRdZRd|h|−d −2r (1 − cos〈h, ξ〉) dh ∼ |ξ|2r ,(1 + |ξ|2 )−1 |ξ|2r |F f (ξ)|2 dξ ∁ k f k2−(1−r ),2,Rd .(3.1.15)Продолжая (3.1.12) на основании (3.1.14) и (3.1.15), убеждаемся в справедливости (3.1.10).äОценка (3.1.8) и лемма 3.1.1 (вместе с формулой (3.1.6)) гарантируют, чтопри сделанных предположениях относительно D 1s,2 A оператор Kµ непрерывно отображает L 2 (Rd )n уже в H s (Rd ; H̃ 1 (Q))n , то есть для всех f ∈ L 2 (Rd )nkD 1s,2 D 2 Kµ f k2,Rd ×Q + kD 1s,2 Kµ f k2,Rd ×Q ∁ k f k2,Rd .(3.1.16)Теперь проверим, что корректор Kµε ограничен как оператор междуL 2 (Rd )n и H s (Rd )n .
Поскольку мы уже выяснили, что он непрерывен напространстве L 2 (Rd )n , нужно лишь оценить норму D s,2 Kµε .Начнем с того, что рассмотрим оператор D r,2 τε S ε . Имеем:ε ε∆h τ S u =ZQ¡¢u(x + h + εz, ε−1 x + ε−1 h) − u(x + εz, ε−1 x) dz.112Если положить v ε,h (x, y) = u(x + h, y + ε−1 h) − u(x, y), то правая часть, очевидно, совпадет с τε S ε v ε,h , а значит,k∆h τε S ε uk2,Rd É kv ε,h k2,Rd ×Qпо лемме 2.3.4. Представляя функцию v ε,h в видеv ε,h (x, y) = (u(x + h, y) − u(x, y)) + (u(x + h, y + ε−1 h) − u(x + h, y)),далее находим, чтоε εk∆h τ Suk22,RdZ Z|u(x + h, y) − u(x, y)|2 dx dy +Z QZ+2|u(x, y + ε−1 h) − u(x, y)|2 dx dy.É2RdRdQКогда u достаточно гладкая, это неравенство можно домножить на |h|−d −2rс r ∈ (0, 1) и проинтегрировать по Rd , получая в итоге оценку¡¢kD r,2 τε S ε uk2,Rd ∁ kD 1r,2 uk2,Rd ×Q + ε−r kD 2r,2 uk2,Rd ×Q + kuk2,Rd ×Q(3.1.17)(здесь использовалась периодичность отображения u(x, · )).В случае корректора Kµε роль u играет функция U = Kµ f , так что, всилу (3.1.17),¡¢kD s,2Uε k2,Rd ∁ kD 1s,2U k2,Rd ×Q + ε−s kD 2s,2U k2,Rd ×Q + kU k2,Rd ×Q .Теперь вложение H s (Q) в H 1 (Q) и неравенства (3.1.3) и (3.1.16) показывают,что при всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nεs kD s,2 Kµε f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(3.1.18)Условие на дробную производную D 1s,2 A нельзя полностью отброситьи в случае корректора Cµε ; более того, появляется еще и ограничение напоказатель s .Дело вот в чём.
Когда коэффициенты были «липшицевыми», оператор Cµε состоял из пяти слагаемых: Mεµ , Kµε и сопряженного к (Kµε )+ , а такжеLµ и сопряженного к L+µ . Первые три, как мы знаем, остаются непрерывными на пространстве L 2 (Rd )n даже для s = 0. В то же время Lµ содержал дифференцирование по первому аргументу, стало быть при малых sпрежняя формула, вообще говоря, не имеет смысла. Однако если предположить, что D 11/2,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q) (это заведомо выполнено при s > 1/2), тофункции A(D 1 u 0 +D 2U ) и U + будут принадлежать H 1/2 (Rd ; L̃ 2 (Q)), а следовательно, оператор Lµ : L 2 (Rd )n → L 2 (Rd )n , действующий по формуле (2.3.14),окажется корректно определенным и ограниченным.Лемма 3.1.2. Пусть s Ê 1/2 и D 11/2,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd ×Q).
Тогда при всех f ∈ L 2 (Rd )nkLµ f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(3.1.19)113Доказательство. Предварительно сделаем одно простое замечание.Если u ∈ C c∞ (Rd ; H )d и v ∈ C c∞ (Rd ; H ), где H — гильбертово пространство,Zто(u, D v)L 2 (Rd ;H ) =Rd(F u(ξ), ξF v(ξ))H dξ(F — преобразование Фурье на L 2 (Rd ; H )), и потому|(u, D v)L 2 (Rd ;H ) | É k(−∆)1/2 ukL 2 (Rd ;H ) k(−∆)1/2 vkL 2 (Rd ;H ) ∼∼ kD 1/2,2 ukL 2 (Rd ;H ) kD 1/2,2 vkL 2 (Rd ;H )(3.1.20)согласно неравенству Коши и определению дробного лапласиана.Для формы оператора Lµ это означает, что|(Lµ f , g )Rd | ∁ kD 11/2,2 A(D 1 u 0 + D 2U )k2,Rd ×Q kD 11/2,2U + k2,Rd ×Q(3.1.21)(см.
(2.3.16); здесь H = L 2 (Q)n ). Первый сомножитель можно оценить далее,используя (3.1.6):kD 11/2,2 A(D 1 u 0 +D 2U )k2,Rd ×Q É kD 11/2,2 (D 1 u 0 +D 2U )k2,Rd ×Q +kD 1 u 0 +D 2U k2,Rd ×Q .Теперь достаточно сослаться на лемму 3.1.1 и неравенства (3.1.2), (3.1.3),(3.1.16) и (3.1.16+ ).ä3.1.1 О достаточном условии на коэффициентКак мы уже отмечали, при дополнительном условии на функцию Aее гладкость в шкале гёльдеровых классов находится между C 0,s и C 0,rс произвольным r > s .
Более чувствительной является шкала так называемых обобщенных классов Гёльдера: в ней оказывается возможнымуказать достаточное условие для равномерной ограниченности D s,2 A , неприбегая к дробным производным высших порядков.Пусть U — банахово пространство, а u — функция из L ∞ (Rd ;U ). Ее модуль непрерывности задается равенствомω(u; t ) = sup k∆h ukL ∞ (Rd ;U ) .|h|ÉtПо определению, C 0,s,∞ (R̄d ;U ) совпадает с C 0,s (R̄d ;U ), а C 0,s,p (R̄d ;U ) приp ∈ [1, ∞) есть подпространство тех функций u ∈ C (R̄d ;U ), для которыхконечна величинаZ∞pC 0,s,p (R̄d ;U )[u]t −sp−1 ω(u; t )p dt .=0Соответствующая норма имеет видkukC 0,s,p (R̄d ;U ) = [u]C 0,s,p (R̄d ;U ) + kukC (R̄d ;U ) .Понятно, что класс C 0,s,p (R̄d ;U ) вложен в C 0,s (R̄d ;U ).
Однако C 0,s,p (R̄d ;U )при p < ∞ является собственным подпространством, поскольку из ограниченности нормы u в C 0,s,p (R̄d ;U ) помимо конечности supt >0 t −s ω(u; t )114вытекает еще и то, что t −s ω(u; t ) → 0, когда t → 0. Тем самым C 0,s,p (R̄d ;U ) является также подмножеством «малого пространства Гёльдера» c 0,s (R̄d ;U ),которое выделяется из C 0,s (R̄d ;U ) как раз условием t −s ω(u; t ) → 0.
Отметим, что c 0,s (R̄d ;U ) совпадает с замыканием класса C ∞ (R̄d ;U ) в C 0,s (R̄d ;U ),а потому функцию из C 0,s,p (R̄d ;U ) всегда можно приблизить по нормеC 0,s (R̄d ;U ) гладкими функциями из C ∞ (R̄d ;U ). Заметим, наконец, что еслиr > s и p < ∞, тоC 0,r (R̄d ;U ) ⊂ C 0,s,p (R̄d ;U ) ⊂ c 0,s (R̄d ;U ) ⊂ C 0,s (R̄d ;U ).Некоторые другие свойства обобщенных классов Гёльдера могут бытьнайдены в [AF03, п.
7.35].Вернемся к функции A . Предположим, что A ∈ C 0,s,2 (R̄d ; L̃ ∞ (Q)). Из включения сразу следует, что kAkM и kD 1s,∞ AkM конечны. Далее, переходя кполярным координатам, легко понять, чтоZ|h|−2s−dRd2|∆h A(x, y)| dh ∁kD 1s,2 AkMZ∞t −2s−1 ω(A; t )2 dt ,0откуда также∁ [A]C 0,s,2 (R̄d ;L ∞ (Q)) . Таким образом, все требования,наложенные на A , оказываются выполненными.3.2 Основные результатыНапомним, что всюду предполагается, что A ∈ C 0,s (R̄d ; L̃ ∞ (Q)).Теорема 3.2.1. Пусть µ ∉ S. Тогда если s = 0, то (Aεµ )−1 при ε → 0 сходитсяпо операторной норме в L 2 (Rd )n к (A0µ )−1 . Если же s ∈ (0, 1), то для всех ε ∈ Eи f ∈ L 2 (Rd )nk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f k2,Rd ∁ εs k f k2,Rd .(3.2.1)Постоянная в оценке зависит лишь от параметров s , n , d , µ, величин kAkMи kD 1s,∞ AkM и констант c A и C A .Теорема 3.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
