Диссертация (1150426), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Даже сейчас, когда в (3.4.1) мы оцениваем норму функции D 1s,2 (A δ − A) константой, содержащий эту норму член имел лучшийпорядок, чем оставшиеся. Тем самым усилить итоговый результат за счетсходимости дробной производной на данном пути не удастся; в частности, приближение для D r,2 (Aεµ )−1 при r ∈ (0, s) будет иметь тот же порядокпогрешности, что и для D s,2 (Aεµ )−1 .3.4.3 Доказательство теоремы 3.2.3Доказательство этой теоремы во многом повторяет предыдущее, лишьвместо того, чтобы пытаться установить скорость сходимости оператора εD r,2 Kµε (δ), мы просто оценим его норму. (Здесь следует подчеркнуть,что отвечающая ему композиция εD r,2 Kµε при r Ê s , вообще говоря, неотображает L 2 (Rd )n в L 2 (Rd )n — из-за недостаточной регулярности функции N и резольвенты (A0µ )−1 .)Итак, в соответствии с леммами 3.3.10, 3.3.17 и 3.3.24 и теоремой 3.3.34,kD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f )k2,Rd ∁¡¢∁ kA δ − AkM + εkD 1r,2 A δ kM + ε1−r + εkD 1 A δ kM k f k2,Rd .Если s = 0, то по лемме 3.3.4 kA δ − AkM → 0, поэтому переходя к пределусначала при ε → 0, а потом — при δ → 0, получаем искомый результат.Пусть теперь s > 0.
Оценка для нормы D 1r,2 A δ зависит от взаимного положения r и s , так что рассмотрим три случая. Если r < s , тоkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f )k2,Rd ∁ (δs + ε1−r + εδ−(1−s) )k f k2,Rd ,(3.4.2)см. замечание 3.3.2 и леммы 3.3.1, 3.3.3 и 3.3.4. Из этих же лемм при r = sи r > s получаем соответственно, чтоkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f )k2,Rd ∁ (δs + ε|ln δ| + ε1−r + εδ−(1−s) )k f k2,Rd(3.4.3)kD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f )k2,Rd ∁ (δs + ε1−r + εδ−(1−s) )k f k2,Rd .(3.4.4)иОчевидно, что порядок погрешности в (3.4.2) и (3.4.4) станет наилучшим,если положить δ(ε) = ε. Что касается (3.4.3), то здесь следует учесть, чтосумма первого и последнего слагаемого в правой части будет иметь оптимальный порядок снова при δ(ε) = ε, а член с логарифмом для такогоδ оказывается подчинен оставшимся (поскольку ε|ln ε| ∁ εs равномернопо ε ∈ Dµ ).1303.4.4 Доказательство теоремы 3.2.4Используя леммы 3.3.10, 3.3.17 и 3.3.32, а также теорему 3.3.35, находим:k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f k2,Rd ∁¢¡∁ kA δ − AkM + εkD 11/2,2 (A δ − A)kM + ε2 kD 1 A δ k2M + ε2 k f k2,Rd .Если s = 1/2, то производная D 11/2,2 A , по условию, равномерно ограничена,так что неравенство можно продолжить с помощью лемм 3.3.1, 3.3.3 и 3.3.4:k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f k2,Rd ∁ (δs + ε + ε2 δ−2(1−s) )k f k2,Rd .(3.4.5)Если же s > 1/2, то, согласно леммам 3.3.3 и 3.3.4, при любом r ∈ (1/2, s)k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f k2,Rd ∁ (δs + εδr −1/2 + ε2 δ−2(1−s) )k f k2,Rd .(3.4.6)Выбирая r настолько близким к s , что выполняется 2r Ê 3s − 1, мы видим,что либо εδr −1/2 É δs , либо εδr −1/2 É ε2 δ−2(1−s) .
Это значит, что порядокпогрешности как в (3.4.5), так и в (3.4.6) определяют лишь первый и последний член в правой части. Теперь легко понять, что лучшим порядкомбудет ε2s/(2−s) , а чтобы его достигнуть, нужно положить δ(ε) = ε2/(2−s) (заметим здесь, что δ(ε) ∈ Dµ при ε ∈ Dµ ).3.4.5 Доказательство следствия 3.2.5Если мы установим неравенствоεkD s,2 (Cµε f − Kµε f )k2,Rd ∁ εs k f k2,Rd ,(3.4.7)то из теоремы 3.2.2 будет следовать, чтоkD s,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f )k2,Rd ∁ εs k f k2,Rd ,(3.4.8)а тогда искомая оценка получится интерполяцией между (3.2.4) и (3.4.8).Пусть g ∈ H −s (Rd )n и, как обычно, U + = Kµ+ g .
С помощью (3.1.2+ ) легкопоказать, чтоkD 2U + k2,Rd ×Q + kU + k2,Rd ×Q ∁ kg k−1,2,Rd .(3.4.9)Отсюда и из леммы 2.3.4 находим:ε|( f , (Kµε )+ g )Rd | ∁ εk f k2,Rd kg k−1,2,Rd .(3.4.10)Далее, повторяя вывод неравенства (3.1.5), но используя (3.4.9) вместо (3.1.3+ ), убеждаемся в том, чтоε|(Mεµ f , g )Rd | ∁ εs k f k2,Rd kg k−1,2,Rd .(3.4.11)Перейдем к оператору Lµ . Рассуждение с преобразованием Фурье как влемме 3.1.2 приводит к соотношению|(Lµ f , g )Rd | ∁ kD 1s,2 A(D 1 u 0 + D 2U )k2,Rd ×Q kD 11−s,2U + k2,Rd ×Q .131Первый множитель справа не вызывает никаких затруднений, см. (3.1.6),а также (3.1.2), (3.1.3), (3.1.10) и (3.1.16).
Для второго, опять по (3.1.6), имеем:kD 11−s,2U + k2,Rd ×Q ∁ kD 11−s,2 N kM kDu 0+ k2,Rd + kN kM kD 1−s,2 Du 0+ k2,Rd .Поскольку сейчас 1 − s É s , то kD 11−s,2 N kM ∁ kD 1s,2 N kM + kN kM , а оценка дляD 1−s,2 Du 0+ вытекает из леммы 3.1.1+ . Таким образом,Неравенствоε|(Lµ f , g )Rd | ∁ εk f k2,Rd kg k−s,2,Rd .(3.4.12)ε|( f , L+µ g )Rd | ∁ εk f k2,Rd kg k−s,2,Rd(3.4.13)доказывается вполне аналогично: мы начинаем с соотношения|( f , L+µ g )Rd | ∁ kD 1s,2U k2,Rd ×Q kD 11−s,2 A + (D 1 u 0+ + D 2U + )k2,Rd ×Q ,а затем применяем оценку (3.1.16) и лемму 3.1.1+ .В итоге (3.4.10)–(3.4.13) влекут за собой (3.4.7).3.4.6 Доказательство теоремы 3.2.6Напомним, что корректор Cµε (δ) задается выражениемCµε (δ) = (Kµε (δ) − Lµ (δ)) − Mεµ (δ) + (Kµε (δ)+ − Lµ (δ)+ )∗ .Оператором Mεµ (δ), как мы знаем из леммы 3.3.30, можно приблизить Mεµ ;остальные слагаемые в Cµε (δ) достаточно оценить сверху при помощилемм 3.3.23, 3.3.27 и 3.3.23+ , 3.3.27+ :¡¢εkCµε (δ) f + Mεµ f k2,Rd ∁ kA δ − AkM + ε + εkD 11/2,2 A δ k2M k f k2,Rd .Добавим к этому еще оценки для скорости сходимости Aεµ (δ)−1 и A0µ (δ)−1из лемм 3.3.10, 3.3.17 и оценку погрешности приближения с корректором Cµε (δ) из теоремы 3.3.35, тогда получим:k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f + εMεµ f k2,Rd ∁¡¢∁ kA δ − AkM + ε + εkD 11/2,2 A δ k2M + ε2 kD 1 A δ k2M k f k2,Rd .К крайним членам в правой части далее применим леммы 3.3.3 и 3.3.4.Порядок оставшихся слагаемых определяется, в зависимости от положения s относительно точки 1/2, либо из леммы 3.3.3, либо из леммы 3.3.1 изамечания 3.3.2.
Так или иначе находим, чтоk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f + εMεµ f k2,Rd ∁ (δs + εδ−(1−2s) + ε2 δ−2(1−s) )k f k2,Rd(3.4.14)при s < 1/2,k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f + εMεµ f k2,Rd ∁ (δs + ε|ln δ|2 + ε2 δ−2(1−s) )k f k2,Rd(3.4.15)132при s = 1/2,k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f + εMεµ f k2,Rd ∁ (δs + ε + ε2 δ−2(1−s) )k f k2,Rd(3.4.16)при s > 1/2.Теперь заметим, что в каждом случае оптимальный порядок суммы первого и последнего члена справа достигается при δ(ε) = ε2/(2−s) . Несложнопоказать, что такая подстановка дает лучший порядок и для всей правойчасти. Действительно, εδ(ε)−(1−2s) в (3.4.14) совпадает с ε3s/(2−s) , что, очевидно, не превосходит ε2s/(2−s) , а ε|ln δ(ε)|2 в (3.4.15) с точностью до множителяравен произведению ε2s/(2−s) и ε1/3 |ln ε|2 (здесь, напомним, s = 1/2), и темсамым также ограничен сверху величиной ε2s/(2−s) . В результате уже длявсех s ∈ (0, 1)k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f + εMεµ f k2,Rd ∁ ε1∧2s/(2−s) k f k2,Rd .3.4.7 Доказательство следствия 3.2.7Обе резольвенты, а также оператор εMεµ непрерывно переводят L 2 (Rd )nв H 1 (Rd )n , причем соответствующие нормы равномерно ограничены по ε(см.
(3.1.1), (3.1.2) и (3.4.11)). Значит,kD(Aεµ )−1f − D(A0µ )−1f + εD Mεµ f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .Отсюда и из (3.2.6) интерполяцией получаем (3.2.7).3.5 Комментарии к главе 33.5.1 О спектральном параметреРезультаты из § 3.2 естественным образом переносятся с µ ∉ S на µ ∉∉ spec A0 . Мы не станем останавливаться на этом подробно, необходимыедетали могут быть найдены в п. 2.6.1. Добавим лишь, что сначала следует проверить, что при ε из подходящего интервала Eµ оператор (Aεµ )−1равномерно ограничен на L 2 (Rd )n , а затем, пользуясь резольвентной сходимостью Aε (δ) к Aε и A0 (δ) к A0 , убедиться в том, что при достаточномалых δ равномерно ограничены на L 2 (Rd )n (уже по двум параметрам)и операторы Aεµ (δ)−1 и A0µ (δ)−1 .
Интервал Dµ , как и Eµ , в данном случаеопределяется из резольвентных тождеств.3.5.2 О самосопряженностиПоскольку объекты, которые мы изучали в этой главе, задаются темиже самыми выражениями, что и в главе 2, всё сказанное в п. 2.6.2 по поводу самосопряженности приближений справедливо и сейчас. Отметимеще, что возможность замены корректора Kµε на Kµε + (Kµε )∗ (для A + = A ,разумеется) или Cµε доказывалась при проверке следствия 3.2.5.1333.5.3 Об ослаблении условий теоремы 3.2.2 и следствия 3.2.5Когда функция A удовлетворяет условию Гёльдера с показателем s ,но D 1s,2 A ∉ L̃ ∞ (Rd × Q), оператор D s,2 Kµε , вообще говоря, оказывается неограничен на L 2 . В таком случае теорема 3.2.2, конечно, не может бытьвыполнена.
Однако она останется в силе, если в ее утверждении заменитьs на произвольное r < s (производная D 1r,2 A уже принадлежит L̃ ∞ (Rd × Q)).То же можно сказать и о следствии 3.2.5 (вместо s нужно взять число изинтервала [1/2, s)).3.5.4 О периодическом случаеСлучай периодических операторов имеет ряд специфических свойств,которые стоит обсудить отдельно.Начнем с того, что коротко напомним постановку периодической задачи и связанные с ней обозначения. В пространстве Rd выделяются d1«периодических» направлений. Мы предполагаем, что d1 строго положительно; d 2 = d − d1 может оказаться равным нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
