Диссертация (1150426), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Переменные x ∈ Rd иy ∈ Q ⊂ Rd при таком разбиении пространства записываются как x = x 1 ⊕x 2и y = y 1 ⊕ y 2 . Функция A тогда представляется в виде A(x, y) = A(x 2 , y 1 ). (Отметим, что по сравнению с частью I здесь аргументы x 2 и y 1 расположеныв обратном порядке.) Она периодична по переменной y 1 и гёльдерова —по x 2 . Показатель гёльдеровости, s , будет считаться лежащим в интервале (0, 1). Заметим, что условия на дробные производные функции Aпо переменной x переписываются через такие же условия на дробныепроизводные по переменной x 2 . В самом деле,D 1s,∞ A(x, y) = sup |h|−s |∆h A(x, y)| =h∈Rd \{0}= sup (1 + |h 1 |2 )−s/2h1∈Rd1suph2∈Rd1 \{0}|h 2 |−s |∆h2 A(x 2 , y 1 )| =A(x 2 , y 1 )= D xs,∞2(мы выделили |h2 |−s из |h|−s и сделали замену h1 7→ |h2 |−1 h1 в одном изA , а из цепочки равенствсупремумов), откуда находим, что D 1s,∞ A = D xs,∞2|D 1r,2 A(x, y)|2Z|h|−d −2r |∆h A(x, y)|2 dh =ZZ2 −(d +2r )/2=(1 + |h 1 | )dh 1|h 2 |−d2 −2r |∆h2 A(x 2 , y 1 )|2 dh 2 =d1d2RRZ2=(1 + |h 1 |2 )−(d +2r )/2 dh 1 |D r,2x 2 A(x 2 , y 1 )|=RdRd 1(снова вынесли |h2 |−s и сделали замену переменной h1 7→ |h2 |−1 h1 ) получаs,∞r,2ем, что D 1r,2 A ∼ D r,2x 2 A (обозначения типа D x 2 и D x 2 не требуют пояснений).Индексами у операторов τε , T ε , S ε мы станем помечать, по какой изпеременных — «периодической» или «непериодической» — он действует;134так,τε u(x, y 2 , z) = u(x, ε−1 x 1 , y 2 , z), T1ε u(x, y, z 1 ) = u(x 1 + εz 1 , x 2 , y) и S1ε u(x, y) =R 1ε= Q1 T1 u(x, y, z 1 ) dz 1 .
Операторы с разными индексами перестановочны, акомпозиция операторов одного типа представляет собой аналогичныйоператор, но уже по полной переменной.В п. 2.6.4 было указано, что Mεµ в «липшицевом» периодическом случае можно отнести к погрешности. Выясняется, что то же самое верно исейчас. Во-первых, теорема 3.2.6 (а тогда и следствие 3.2.7) оказываетсясправедлива и без Mεµ в приближении — тем самым уточняются результаты теорем 3.2.1 и 3.2.3. Во-вторых, слагаемое Mεµ можно опустить изкорректора Cµε в теореме 3.2.4 (а тогда и в следствии 3.2.5), что в немалой степени упрощает соответствующие приближения. Перечисленныеутверждения очевидным образом вытекают из следующей леммы, доказательство которой пока отложим.Лемма 3.5.1. Пусть s ∈ (0, 1) и r ∈ (0, s).
Тогда при всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkMεµ f k2,Rd ∁ ε−1+2r k f k2,Rd .(3.5.1)Если D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q), то неравенство остается в силе и с r = s .Как мы видели в главе 1, корректор Kµε был нужен для приближениякомпозиции резольвенты с дифференцированием по «периодической»переменной, но не с дифференцированием по «непериодической» переменной (см. теоремы 1.4.1 и 1.4.2). Для дробных производных ситуация анаr,2логичная.
Именно, утверждение теоремы 3.2.3 с D r,2верно с таx 2 вместо Dкой же погрешностью, как в теореме 3.2.2. Действительно, множитель ε1−rвозникал ранее из-за дифференцирования быстро осциллирующего множителя в операторе εKµε (δ) (см. лемму 3.3.24), а дифференцирование по«непериодической» переменной оставляет Kµε (δ) равномерно ограниченным по ε. Более того, из подобных соображений ясно, что D r,2x 2 можнозаменить на D x2 , причем порядок погрешности сохранится равным εs(см. замечание 2.3.1 и доказательство теоремы 3.2.3). Еще раз подчеркнем,что никакой дополнительной гладкости здесь не требуется.Другое упрощение, связанное с периодичностью оператора, касаетсянепосредственно корректора Kµε . Дело в том, что по «непериодической»переменной изначально предполагается некоторая гладкость, и потомудополнительное сглаживание относительно нее оказывается излишним.Тогда вместо Kµε в теореме 3.2.2 (теперь уже с D xs,21 ) достаточно взять оператор τε1 S1ε Kµ (мы встречались с ним ранее — см.
п. 1.6.4). Кроме того,соответствующие замены можно провести и внутри корректора Cµε в теореме 3.2.4 и следствии 3.2.5. Обоснованием перехода от τε S ε Kµ к τε1 S1ε Kµслужит следующее утверждение.Лемма 3.5.2. Пусть s ∈ (0, 1). Тогда при всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkτε S ε Kµ f − τε1 S1ε Kµ f k2,Rd ∁ εr k f k2,Rd(3.5.2)с любым фиксированным r ∈ (0, s). Если D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q), то такжеkD s,2 (τε S ε Kµ f − τε1 S1ε Kµ f )k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(3.5.3)135Итак, займемся доказательствами.Доказательство леммы 3.5.1.
Легко понять, что A коммутирует с T1ε ичто ни одна из функций A , N и N + не зависит от y 2 , а тем самымε(Mεµ f , g )Rd = (τε1 T1ε [A, T2ε ](D 1 u 0 + D 2U ), τε1 T1ε T2ε (D 1 u 0+ + D 2U + ))Rd ×Q .Используя лемму 2.3.3 для τε1 T1ε , отсюда находим, чтоε(Mεµ f , g )Rd = ((I − T2ε )A · T2ε (D 1 u 0 + D 2U ), T2ε (D 1 u 0+ + D 2U + ))Rd ×Q1 ×Q2 .Если u ∈ C c∞ (Rd × Q1 ), то интерполяция между оценкой из леммы 2.3.5для T2ε и очевидным неравенствомk(T2ε − I )uk2,Rd ×Q1 ×Q2 É 2kuk2,Rd ×Q1дает:¡¢k(T2ε − I )uk2,Rd ×Q1 ×Q2 ∁ εr kD 1r,2 uk2,Rd ×Q1 + kuk2,Rd ×Q1(3.5.4)r,2(поскольку kD r,2x 2 uk2,Rd ×Q1 ∁ kD 1 uk2,Rd ×Q1 ; далее подобные оговорки опускаются). Этот результат позволяет заменить T2ε в правом сомножителе изпоследнего выражения для формы Mεµ на единичный оператор, совершив ошибку порядка ε2r .
Действительно, ввиду (3.5.4),k(T2ε − I )(D 1 u 0+ + D 2U + )k2,Rd ×Q1 ×Q2 ∁¡¢∁ εr kD r,2 Du 0+ k2,Rd + kDu 0+ k2,Rd + kD 1r,2 D 2U + k2,Rd ×Q1 + kD 2U + k2,Rd ×Q1 ,поэтому, оценивая слагаемые с производными первого порядка при помощи (3.1.2+ ) и (3.1.3+ ), а оставшиеся члены — при помощи (3.1.10+ ) и (3.1.16+ )(но с r вместо s ; здесь важно, что D 1r,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q1 ) для r < s ), мы видим, что левая часть не превосходит εr kg k2,Rd (с некоторым постоянныммножителем). То, что второй сомножитель в форме оценивается черезεs k f k2,Rd , ясно сразу — см. (3.1.2) и (3.1.3).
Таким образом,ε(Mεµ f , g )Rd ≈ (T2ε (D 1 u 0 + D 2U ), A + (D 1 u 0+ + D 2U + ))Rd ×Q1 ×Q2 −− (T2ε A(D 1 u 0 + D 2U ), D 1 u 0+ + D 2U + )Rd ×Q1 ×Q2(символом ≈ обозначаем равенство с точностью до членов порядка ε2r ).Упростим выражение справа. Оба слагаемых однотипны, поэтому достаточно рассмотреть только одно, например последнее. Согласно (2.2.1),левый сомножитель в нём соленоидален по второму аргументу:D 2∗ A(x 2 , y 1 )(D 1 u 0 (x) + D 2U (x, y 1 )) == D 2∗ A(x 2 , y 1 )(D 2 N (x 2 , y 1 ) + I )Du 0 (x) = 0;следовательно, D 2U + можно опустить.
Далее, по определению коэффициента A 0 , см. (2.2.6),ZQ1A(x 2 , y 1 )(D 1 u 0 (x) + D 2U (x, y 1 )) dy 1 = A 0 (x 2 )Du 0 (x),136благодаря чему рассматриваемое слагаемое приобретает простой вид:(T2ε A(D 1 u 0 + D 2U ), D 1 u 0+ + D 2U + )Rd ×Q1 ×Q2 = (T2ε A 0 D 1 u 0 , D 1 u 0+ )Rd ×Q2 .Аналогичные соображения для другого слагаемого приводят в итоге ксоотношениюε(Mεµ f , g )Rd ≈ (T2ε Du 0 , (A + )0 Du 0+ )Rd ×Q2 − (T2ε A 0 Du 0 , Du 0+ )Rd ×Q2 ,или, если еще учесть определение оператора S 2ε и его самосопряженность,ε(Mεµ f , g )Rd ≈ (S2ε Du 0 , (A + )0 Du 0+ )Rd − (A 0 Du 0 , S2ε Du 0+ )Rd .Вспомним теперь, что (A + )0 = (A 0 )∗ (см. п.
3.5.2). Тогда правую часть можно переписать так:ε(Mεµ f , g )Rd ≈ ((S2ε − I )Du 0 , (A 0 )∗ Du 0+ )Rd − (A 0 Du 0 , (S2ε − I )Du 0+ )Rd .(3.5.5)Покажем, что каждое слагаемое имеет порядок ε2r .Из рассуждений с преобразованием Фурье в доказательстве леммы 3.1.2получаем:|(A 0 Du 0 , (S2ε − I )Du 0+ )Rd | ∁ kD r,2 A 0 Du 0 k2,Rd kD 1−r,2 (S2ε − I )u 0+ k2,Rd .Функция D r,2 A 0 Du 0 оценивается сразу на основании формулы (3.1.6), неравенств (3.1.9) (при r = s ) и (3.1.13) (при r < s ) и леммы 3.1.1. Что касаетсяфункции D 1−r,2 (S2ε − I )u 0+ , то ее норма с точностью до постоянного множителя совпадает с нормой (−∆)(1−r )/2 (S2ε − I )u 0+ .
Дробный оператор Лапласа,очевидно, коммутирует со сдвигами, поэтомуkD 1−r,2 (S2ε − I )u 0+ k2,Rd ∼ k(S2ε − I )(−∆)(1−r )/2 u 0+ k2,Rd .Интерполируя между второй оценкой из леммы 2.3.6 для S2ε и элементарным соотношениемk(S2ε − I )uk2,Rd ×Q1 É 2kuk2,Rd ×Q1 ,при любых u ∈ C c∞ (Rd × Q1 ) находим, чтоТогда¢¡k(S2ε − I )uk2,Rd ×Q1 ∁ ε2r k(−∆1 )r uk2,Rd ×Q1 + kuk2,Rd ×Q1 .(3.5.6)¡¢k(S2ε − I )(−∆)(1−r )/2 u 0+ k2,Rd ∁ ε2r k(−∆)(1+r )/2 u 0+ k2,Rd + ku 0+ k1,2,Rd ∼¢¡∼ ε2r kD r,2 Du 0+ k2,Rd + ku 0+ k1,2,Rd ,а правая часть оценивается далее с помощью неравенства (3.1.2+ ) и леммы 3.1.1+ . В результате|(A 0 Du 0 , (S2ε − I )Du 0+ )Rd | ∁ ε2r k f k2,Rd kg k2,Rd .Поскольку другое слагаемое из (3.5.5) устроено точно так же, как толькочто рассмотренное, то окончательно|ε(Mεµ f , g )Rd | ∁ ε2r k f k2,Rd kg k2,Rd .ä137Доказательство леммы 3.5.2. Будем исходить из равенстваτε S εU − τε1 S1εU = τε1 S1ε (S2ε − I )U .Применим к оператору τε1 S1ε в правой части аналог леммы 2.3.4.
Тогдаполучим, чтоkτε S εU − τε1 S1εU k2,Rd É k(S2ε − I )U k2,Rd ×Q1 ,и останется только учесть оценки (3.5.6) (но с r вместо 2r ) и (3.1.3) и (3.1.16)(с r вместо s ):¡¢kτε S εU − τε1 S1εU k2,Rd ∁ εr kD 1r,2U k2,Rd ×Q1 + kU k2,Rd ×Q1 ∁ εr k f k2,Rd .Предположим теперь, что производная D 1s,2 A равномерно ограничена.
В таком случае нетрудно видеть, что для функции D s,2 τε1 S1ε (S2ε − I )Uсправедливо соотношение (3.1.17), а потомуkD s,2 (τε S εU − τε1 S1εU )k2,Rd ∁¡¢∁ kD 1s,2U k2,Rd ×Q1 + ε−s k(S2ε − I )D 2U k2,Rd ×Q1 + k(S2ε − I )U k2,Rd ×Q1 .Продолжая неравенство с помощью (3.5.6) (при r = s/2), (3.1.3) и (3.1.16),получаем:kD s,2 (τε S εU − τε1 S1εU )k2,Rd ∁ kD 1s,2 D 2U k2,Rd ×Q1 + kD 1s,2U k2,Rd ×Q1 ++ kD 2U k2,Rd ×Q1 + kU k2,Rd ×Q1 ∁ k f k2,Rd .Доказательство леммы завершено.ä138ЗаключениеЕще раз перечислим основные результаты работы.Во-первых, были рассмотрены сильно эллиптические периодическиеоператоры второго порядка во всём пространстве Rd .
Операторы имелидивергентную форму и могли включать младшие члены довольно общеговида. Коэффициенты зависели от «быстрой» и «медленной» переменной,которые были разделены в том смысле, что принадлежали двум взаимно ортогональным подпространствам в Rd . По «быстрой» переменнойпредполагалась периодичность, по «медленной» — липшицевость. Былиполучены два члена в приближении резольвенты по операторной нормев L 2 (Rd ) и старший член в приближении резольвенты по операторнойнорме из L 2 (Rd ) в H 1 (Rd ). Все приближения сопровождались точными попорядку оценками погрешностей.Во-вторых, данные результаты были перенесены на локально периодические операторы без младших членов.
Коэффициенты таких операторовтакже зависят от «быстрой» и «медленной» переменной, однако они необязательно «разделены». Как и ранее, по «быстрой» переменной предполагалась периодичность, по «медленной» — липшицевость.В-третьих, были найдены аналоги указанных приближений для локально периодических операторов в том случае, когда липшицевость по«медленной» переменной заменялась гёльдеровостью с показателем s ∈∈ [0, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
