Диссертация (1150426), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть s ∈ (0, 1) и µ ∉ S. Предположим дополнительно,что D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q). Тогда для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD s,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f )k2,Rd ∁ εs k f k2,Rd .(3.2.2)Постоянная в оценке зависит лишь от параметров s , n , d , µ, величин kAkM ,kD 1s,∞ AkM и kD 1s,2 AkM и констант c A и C A .Теорема 3.2.3. Пусть µ ∉ S. Тогда если s = 0 и r ∈ (0, 1), то D r,2 (Aεµ )−1при ε → 0 сходится по операторной норме в L 2 (Rd )n к D r,2 (A0µ )−1 .
Если жеs ∈ (0, 1) и r ∈ (0, 1), то для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f )k2,Rd ∁ εs∧(1−r ) k f k2,Rd .(3.2.3)Постоянная в оценке зависит лишь от параметров s , r , n , d , µ, величин kAkM и kD 1s,∞ AkM и констант c A и C A .115Теорема 3.2.4.
Пусть s ∈ [1/2, 1) и µ ∉ S. Предположим дополнительно,что D 11/2,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q). Тогда для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f k2,Rd ∁ ε2s/(2−s) k f k2,Rd .(3.2.4)Постоянная в оценке зависит лишь от параметров s , n , d , µ, величин kAkM ,kD 1s,∞ AkM и kD 11/2,2 AkM и констант c A и C A .Следствие 3.2.5. Пусть s ∈ [1/2, 1) и µ ∉ S. Предположим дополнительно,что D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q). Тогда если r ∈ (0, s], то для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f )k2,Rd ∁ εs(2−r )/(2−s) k f k2,Rd .(3.2.5)Постоянная в оценке зависит лишь от параметров s , n , d , µ, величин kAkM ,kD 1s,∞ AkM и kD 1s,2 AkM и констант c A и C A .Теорема 3.2.6.
Пусть s ∈ (0, 1) и µ ∉ S. Тогда для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f + εMεµ f k2,Rd ∁ ε1∧2s/(2−s) k f k2,Rd .(3.2.6)Постоянная в оценке зависит лишь от параметров s , n , d , µ, величин kAkMи kD 1s,∞ AkM и констант c A и C A .Следствие 3.2.7. Пусть s ∈ (0, 1) и µ ∉ S. Тогда если r ∈ (0, 1), то длявсех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f + εMεµ f )k2,Rd ∁ ε(1−r )(1∧2s/(2−s)) k f k2,Rd .(3.2.7)Постоянная в оценке зависит лишь от параметров s , n , d , µ, величин kAkMи kD 1s,∞ AkM и констант c A и C A .3.3 Доказательство основных результатов.
РегуляризацияИдея доказательства состоит в том, чтобы сначала подходящим образом сгладить коэффициент A и воспользоваться уже полученнымирезультатами из главы 2, а затем установить сходимость возникающихрегуляризованных операторов к соответствующим им операторам, ноуже для исходной функции A .
Так как ранее оценки включали липшицеву полунорму коэффициента, а сейчас функция A лишь гёльдерова,то следует ожидать, что погрешности приближений ухудшатся, и нашацель — выяснить насколько.Далее подразумевается, что s ∈ [0, 1) и A ∈ C 0,s (R̄d ; L̃ ∞ (Q)); все дополнительные условия на A выписываются явно.3.3.1 Приближение для исходных коэффициентовЗафиксируем функцию J : Rd → R+ , такую что J ∈ C c∞ (B 1 (0)) и Rd J (x) dx == 1. Тогда J δ (x) = δ−d J (δ−1 x), δ > 0, будет представлять собой стандартноеядро усреднения, и с его помощью мы сгладим коэффициент.
ПоложимRA δ (x, y) = J δ ∗ A( · , y)(x) =ZRdJ δ (x − x̂) A(x̂, y) d x̂.116Поскольку∆h A δ (x, y) =ZRdJ δ (x − x̂)∆h A(x̂, y) d x̂,(3.3.1)то из элементарного неравенстваkJ δ ∗ uk∞,Rd É kuk∞,Rd(3.3.2)сразу же вытекают оценки для норм функции A δ и ее производных порядка s .Лемма 3.3.1. При δ > 0 выполнено kA δ kM É kAkM и kD 1s,∞ A δ kM É kD 1s,∞ AkM .Если также D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q), то kD 1s,2 A δ kM É kD 1s,2 AkM .Замечание 3.3.2. В этом утверждении мы не касались производныхмладших порядков, однако нетрудно понять, что при r < skD 1r,∞ A δ kM + kD 1r,2 A δ kM ∁ kD 1s,∞ A δ kM + kA δ kM(ср. с (3.1.13)), поэтому и здесь лемма 3.3.1 оказывается полезной. Будемиметь данное замечание в виду.Как видно, A δ принадлежит пространству C 0,s (R̄d ; L̃ ∞ (Q)), причем соответствующая норма равномерно ограничена по δ.
Эта функция, конечно, обладает и большей гладкостью, в частности D 1 A δ ∈ L̃ ∞ (Rd × Q),но L ∞ -норма D 1 A δ бесконечно растет, когда δ → 0. Следующий результатпозволит нам контролировать скорость роста.Лемма 3.3.3. Если r ∈ (s, 1], то kD 1r,∞ A δ kM ∁ δ−(r −s) равномерно относительно δ > 0. Кроме того, при r ∈ (s, 1) выполнено kD 1r,2 A δ kM ∁ δ−(r −s)равномерно по δ > 0 и kD 1s,2 A δ kM ∁ |ln δ| равномерно по δ É e −1 .Доказательство. Предварительно рассмотрим функцию ∆h A δ при различных величинах h . Пусть сначала |h| É δ.
Очевидно, чтоZRdпоэтому∆h A δ (x, y) =∆h J δ (x − x̂) A(x + 2−1 h, y) d x̂ = 0,ZRd∆h J δ (x − x̂)(A(x̂, y) − A(x + 2−1 h, y)) d x̂.Мы оценим правую часть этого равенства, учитывая, что интегрирование фактически ведется лишь по объединению шаров B δ (x + h) и B δ (x),которое само содержится в шаре B 2δ (x):|∆h A δ (x, y)| É 3kD 1s,∞ AkM δsZB 2δ (0)|∆h J δ (x̂)| d x̂.(3.3.3)Для |h| > δ будет достаточно оценки|∆h A δ (x, y)| É k∆h AkM ,(3.3.4)вытекающей из (3.3.1) и (3.3.2).117Теперь ясно, чтоsup |h|−r |∆h A δ (x, y)| ∁ kD 1s,∞ AkM kD r,∞ J k∞,Rd δ−(r −s)|h|Éδ(см. (3.3.3)) иsup |h|−r |∆h A δ (x, y)| É kD 1s,∞ AkM δ−(r −s)|h|>δ(см. (3.3.4)).
Отсюда сразу следует искомое соотношение для D 1r,∞ A δ .Перейдем к D 1r,2 A δ . По определению,|D 1r,2 A δ (x, y)|2 =ZB δ (0)+|h|−d −2r |∆h A δ (x, y)|2 dh +ZRd \B δ (0)|h|−d −2r |∆h A δ (x, y)|2 dh.Первое слагаемое в правой части оценивается на основании (3.3.3): посленесложных преобразований мы находим, чтоZB δ (0)|h|−d −2r |∆h A δ (x, y)|2 dh ∁ kD 1s,∞ Ak2M kD r,2 J k2∞,Rd δ−2(r −s) .Во втором, согласно (3.3.4), можно заменить ∆h A δ на k∆h AkM . Отдельноизучим случаи, когда r > s и r = s . Если r > s , тоZ|h|−d −2rRd \B δ (0)k∆h Ak2M dhÉ kD 1s,∞ Ak2M∁ (rZ|h|−d −2(r −s) dh ∁Rd \B δ (0)− s)−1 kD 1s,∞ Ak2M δ−2(r −s) .Если же r = s , то мы разобьем область интегрирования на B 1 (0) \ B δ (0)и Rd \ B 1 (0) (сейчас предполагается, что δ É e −1 ). ТогдаZB 1 (0)\B δ (0)иZ|h|−d −2s k∆h Ak2M dh ∁ kD 1s,∞ Ak2M |ln δ|Rd \B 1 (0)|h|−d −2s k∆h Ak2M dh ∁ s −1 kAk2M(так как k∆h AkM É 2kAkM ).
Доказательство леммы завершено.äЗаймемся теперь вопросом о сходимости функций A δ и D 1r,2 A δ .Лемма 3.3.4. Если δ → 0, то kA δ − AkM → 0, причем kA δ − AkM ∁ δs для s > 0равномерно по δ > 0. Кроме того, при r ∈ (0, s) и t ∈ (r, s) справедлива равномерная относительно δ > 0 оценка kD 1r,2 (A δ − A)kM ∁ δt −r . При условии,что D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q), в качестве t можно взять s .Доказательство.
Имеем:A δ (x, y) − A(x, y) =ZB δ (0)J δ (x̂)(A(x − x̂, y) − A(x, y)) d x̂.118Сходимость при s = 0 выводится очевидным образом из равномернойнепрерывности функции A . В случае s > 0 необходимо воспользоватьсяограниченностью D 1s,∞ A :|A δ (x, y) − A(x, y)| É kD 1s,∞ AkM δs .Докажем утверждение для дробной производной D 1r,2 A δ . Поскольку∆h (A δ (x, y) − A(x, y)) =ZRdJ δ (x̂)∆h (A(x − x̂, y) − A(x, y)) d x̂,то достаточно подходящим образом оценить ∆h (A(x−x̂, y)−A(x, y)).
С однойстороны,|∆h (A(x − x̂, y) − A(x, y))| É |∆h A(x − x̂, y)| + |∆h A(x, y)|,откудаZB δ (0)|h|−d −2r |∆h (A(x − x̂, y) − A(x, y))|2 dh ∁ kD 1t ,2 Ak2M δ2(t −r ) .(3.3.5)С другой стороны,|∆h (A(x − x̂, y) − A(x, y))| É |Th (A(x − x̂, y) − A(x, y))| + |A(x − x̂, y) − A(x, y)|,и тем самым|∆h (A(x − x̂, y) − A(x, y))| É 2kD 1t ,∞ AkM δt(мы учли, что |x̂| < δ). ТогдаZRd \Bδ (0)|h|−d −2r |∆h (A(x − x̂, y) − A(x, y))|2 dh ∁ kD 1t ,∞ Ak2M δ2(t −r ) .Теперь (3.3.5) вместе с (3.3.6) дают оценку для D 1r,2 (A δ − A).(3.3.6)äЗамечание 3.3.5. Такие же рассуждения, как в доказательстве леммы,позволяют установить оценку kD 1r,∞ (A δ − A)kM ∁ δs−r , из которой видно,что A δ сходится к A по норме пространства C 0,r (R̄d ; L̃ ∞ (Q)) при произвольных r < s . В то же время хорошо известно, что функции из класса C 0,sс s > 0, вообще говоря, не могут быть приближены гладкими функциями, а замыкание C ∞ в C 0,s образует собственное подпространство c 0,s .По-видимому, подобная ситуация имеет место и с приближением длядробной производной D 1s,2 A .3.3.2 Приближение для исходного оператораСгладив коэффициент A , мы можем ввести и отвечающий ему регуляризованный оператор.
Пусть Aε (δ) = D ∗ A εδ D : H 1 (Rd )n → H −1 (Rd )n , где A εδ == (A δ )ε . Из леммы 3.3.1 ясно, чтоkAε (δ)uk−1,2,Rd É kAkM kuk1,2,Rd .(3.3.7)Несложно также понять, что при достаточно малых δ оператор Aε (δ)остается коэрцитивным, хотя и с меньшей постоянной вместо c A в условии (2.1.5).119Лемма 3.3.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
