Диссертация (1150426), страница 21
Текст из файла (страница 21)
То же самое можно былобы сказать и о первом, если бы мы могли перенести в нём дифференцирование D 1 с (T ε − I )u ε+ сразу на A(D 1 u 0 + D 2U ). Следующее утверждениетехнического характера позволит нам это сделать.Лемма 2.5.1. Пусть F ∈ C 0,1 (R̄d ; L̃ 2 (Q))d ×n таково, что при всех x ∈ Rd0 как функционал на H̃ 1 (Q)n . Тогда если ε > 0, то D 1∗ τε T ε F =в смысле функционалов на C c1 (Rd ;C (Q))n .D 2∗ F (x, · ) == τε T ε D 1∗ FДоказательство. Заменой F на функцию (x, y) 7→ F (εx, y) (которая, очевидно, также удовлетворяет условиям леммы) можно свести дело к случаю, когда ε = 1. Иначе говоря, достаточно проверить, что при любых ϕ ∈∈ C c1 (Rd ;C (Q))nZ ZRdQ〈F (x + z, x), D 1 ϕ(x, z)〉 dx dz =Z ZRdQ〈D 1∗ F (x + z, x), ϕ(x, z)〉 dx dz,95или, что то же самое,Z ZRdQ〈F (x, x + y), D 1 ψ(x, y)〉 dx dy =Z ZRdQ〈D 1∗ F (x, x + y), ψ(x, y)〉 dx dy,где ψ(x, y) = ϕ(x + y, −y).
Поскольку ϕ и ψ принадлежат классу C c1 (Rd ;C (Q))nлишь одновременно, то это, в свою очередь, равносильно тому, чтоZ ZRdQ〈F (x, x + y), D 1 ϕ(x, y)〉 dx dy =Z ZRdQ〈D 1∗ F (x, x + y), ϕ(x, y)〉 dx dy (2.5.5)уже при произвольных ϕ ∈ C c1 (Rd ;C (Q))n .Если бы функция F была гладкой по второму аргументу, то последнееравенство доказывалось бы элементарным интегрированием по частям.Мы найдем последовательность гладких соленоидальных функций, которая сходится в подходящем смысле к F , и тогда соотношение (2.5.5)получится предельным переходом с данной последовательности.Пусть e k (y) = e 2πi 〈y,k〉 , где k ∈ Zd , и пусть FK (x, · ) — частная сумма рядаФурье для функции F (x, · ):F K (x, · ) =XF̂ k (x)e k .|k|ÉKПо предположению, D 2∗ F (x, · ) = 0 на H̃ 1 (Q)n , поэтому для каждого k ∈ Zd〈F̂ k (x), k〉 = (2π)−1ZQ〈F (x, y), De k (y)〉 dy = 0.Отметим еще, что D F̂k (x) представляют собой коэффициенты Фурье функции D 1 F (x, · ).
Интегрирование по частям тогда дает:Z ZRdQ〈F K (x, x + y), D 1 ϕ(x, y)〉 dx dy =Z ZRdQ〈(D 1∗ F )K (x, x + y), ϕ(x, y)〉 dx dy.(2.5.6)D 1∗ F (x, · ).Здесь— частная сумма ряда Фурье дляТеперь покажем, как от (2.5.6) перейти к (2.5.5). Для этого заметим, чтоесли f — функция из L ∞ (Rd ; L̃ 2 (Q)), а f K (x, · ) — частичная сумма рядаФурье для f (x, · ), то f K → f в ∗-слабой топологии на C c (Rd × Q)∗ , когдаK → ∞. Действительно, при любой ψ ∈ C c (Rd × Q) последовательностьфункций x 7→ ( f K (x, · ), ψ(x, · ))Q сходится к функции x 7→ ( f (x, · ), ψ(x, · ))Q , таккак f K (x, · ) сходится к f (x, · ) в L 2 (Q).
Далее, все эти функции равномерноограничены, что видно из оценки(D 1∗ F )K (x, · )|( f K (x, · ), ψ(x, · ))Q | É k f (x, · )k2,Q kψ(x, · )k2,Q É k f kL ∞ (Rd ;L 2 (Q)) kψk∞,Rd ×Q ,а их носители содержатся внутри некоторого компактного множества.В итоге ( f K , ψ)Rd ×Q → ( f , ψ)Rd ×Q согласно теореме Лебега. Вместе с темфункция (x, y) 7→ f (x, x + y) также принадлежит L ∞ (Rd ; L̃ 2 (Q)), так как благодаря периодичностиZQ2| f (x, x + y)| dy =Z| f (x, y)|2 dy,Q96а потомуZ ZRdQf K (x, x + y)ψ(x, y) dx dy →Z ZRdf (x, x + y)ψ(x, y) dx dy.QПрименяя это утверждение к FK и (D 1∗ F )K в (2.5.6), приходим к (2.5.5).äПреобразуем первое слагаемое в правой части (2.5.4).
По определениюфункции U имеем:(τε T ε A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )D 1 u ε+ )Rd ×Q == (τε T ε A(I + D 2 N )D 1 u 0 , (T ε − I )D 1 u ε+ )Rd ×Q .Предположим сначала, что u 0 , u ε+ принадлежат C c∞ (Rd )n . Тогда, посколькуD 2∗ A(x, · )(I + D 2 N (x, · ))D 1 u 0 (x) = 0 на H̃ 1 (Q)n для всех фиксированных xиз Rd (см. (2.2.1)), можно воспользоваться леммой 2.5.1, и, следовательно,(τε T ε A(I + D 2 N )D 1 u 0 , (T ε − I )D 1 u ε+ )Rd ×Q == (τε T ε D 1∗ A(I + D 2 N )D 1 u 0 , (T ε − I )u ε+ )Rd ×Q(2.5.7)при любых u 0 , u ε+ ∈ C c∞ (Rd )n . Более того, так как форма(u 0 , u ε+ ) 7→ (τε T ε A(I + D 2 N )D 1 u 0 , (T ε − I )D 1 u ε+ )Rd ×Qнепрерывна на H 1 (Rd )n × H 1 (Rd )n (см.
леммы 2.2.1, 2.3.3), а форма(u 0 , u ε+ ) 7→ (τε T ε D 1∗ A(I + D 2 N )D 1 u 0 , (T ε − I )u ε+ )Rd ×Qнепрерывна на H 2 (Rd )n ×L 2 (Rd )n (см. леммы 2.2.1, 2.3.3), то равенство (2.5.7)распространяется на все u 0 ∈ H 2 (Rd )n и u ε+ ∈ H 1 (Rd )n . Вспоминая вновьопределение U , находим, что(τε T ε A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )D 1 u ε+ )Rd ×Q == (τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )u ε+ )Rd ×Q .(2.5.8)Если теперь учесть (2.5.8), то (2.5.4) примет вид(A0 u 0 , u ε+ )Rd − (Aε (S ε u 0 + εUε ), u ε+ )Rd == (τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )u ε+ )Rd ×Q −− (τε [A, T ε ](D 1 u 0 + D 2U ), D 1 u ε+ )Rd ×Q −(2.5.9)− ε(τε A T ε D 1U , D 1 u ε+ )Rd ×Q .Подставляя (2.5.9) в (2.5.1), окончательно получаем:((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f , g )Rd == (τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )u ε+ )Rd ×Q −− (τε [A, T ε ](D 1 u 0 + D 2U ), D 1 u ε+ )Rd ×Q −(2.5.10)− ε(τε A T ε D 1U , D 1 u ε+ )Rd ×Q −− (Aε (I − S ε )u 0 , u ε+ )Rd + εµ(Uε , u ε+ )Rd .Это и есть искомое «резольвентное» тождество.Сейчас мы можем приступить к доказательствам основных результатов.972.5.2 Доказательство теоремы 2.4.1Оценим слагаемые из правой части (2.5.10).
В силу лемм 2.3.3 и 2.3.5,|(τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )u ε+ )Rd ×Q | ÉÉ kτε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U )k2,Rd ×Q k(T ε − I )u ε+ k2,Rd ×Q ∁¡¢∁ ε kDu 0 k1,2,Rd + kD 1 D 2U k2,Rd ×Q + kD 2U k2,Rd ×Q kDu ε+ k2,Rd .(2.5.11)Используя соотношение (2.3.19) и лемму 2.3.3, видим также, что|(τε [A, T ε ](D 1 u 0 + D 2U ), D 1 u ε+ )Rd ×Q | ÉÉ εr Q kD 1 AkM kτε T ε (D 1 u 0 + D 2U )k2,Rd ×Q kD 1 u ε+ k2,Rd ×Q ∁¡¢∁ ε kDu 0 k2,Rd + kD 2U k2,Rd ×Q kDu ε+ k2,Rd(2.5.12)(напомним: r Q = 1/2 diam Q) иε|(τε A T ε D 1U , D 1 u ε+ )Rd ×Q | É εkAkM kτε T ε D 1U k2,Rd ×Q kD 1 u ε+ k2,Rd ×Q ∁∁ εkD 1U k2,Rd ×Q kDu ε+ k2,Rd .(2.5.13)Далее, из оценки (2.1.4) и леммы 2.3.6 вытекает, что|(Aε (I − S ε )u 0 , u ε+ )Rd | ∁ k(I − S ε )u 0 k1,2,Rd ku ε+ k1,2,Rd ∁∁ εkDu 0 k1,2,Rd ku ε+ k1,2,Rd .Наконец, согласно лемме 2.3.4,ε|(Uε , u ε+ )Rd | É εkUε k2,Rd ku ε+ k2,Rd ∁ εkU k2,Rd ×Q ku ε+ k2,Rd .Таким образом,|((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f , g )Rd | ∁¢¡∁ ε kDu 0 k1,2,Rd + kD 1 D 2U k2,Rd ×Q + kU k1,2,Rd ×Q ku ε+ k1,2,Rd .(2.5.14)Пусть g ∈ L 2 (Rd )n .
Тогда из (2.5.14) вместе с (2.2.13), (2.3.2), (2.3.11) и (2.1.7+ )получаем оценку|((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f , g )Rd | ∁ εk f k2,Rd kg k2,Rd ,которая доказывает (2.4.1). С другой стороны, полагая g = D ∗ h , где h ∈∈ L 2 (Rd )d ×n , и используя (2.2.13), (2.3.2) и (2.1.7+ ), получаем оценку|((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f , D ∗ h)Rd | ∁ εk f k2,Rd khk2,Rd ,которая доказывает (2.4.2).Замечание 2.5.2. Принимая во внимание замечания 2.1.1, 2.2.6, 2.3.1, 2.3.13,а также их аналоги для сопряженных операторов, можно понять, чтоконстанты в (2.4.1) и (2.4.2) линейны по kD 1 AkM .982.5.3 Доказательство следствия 2.4.2Так как при r ∈ (0, 1) пространство H r (Rd )n вкладывается в H 1 (Rd )n , тоиз теоремы 2.4.1 и оценки (2.3.11) сразу же вытекает, чтоkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f )k2,Rd ∁∁ k(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f k1,2,Rd ∁ εk f k2,Rd .Остается заметить, что норма оператора D r,2 Kµε на L 2 имеет порядок ε−r(это легко получается из (2.3.11) с помощью интерполяции).2.5.4 Доказательство теоремы 2.4.3Введем обозначения u 0+ = ((A0µ )+ )−1 g , U + = Kµ+ g и Uε+ = (Kµε )+ g .
Мы начнемс того, что перепишем подходящим образом разность корректоров Cµεи Kµε , исключая из нее слагаемые порядка ε (в оценке (2.4.4) такие слагаемые будут иметь порядок погрешности). Вместе с «резольвентным»тождеством (2.5.10) это даст асимптотическое представление для оператора (Aεµ )−1 −(A0µ )−1 −εCµε (см. (2.5.22) ниже).
Доказательство неравенства (2.4.4)тогда сведется к оценке членов этого представления.Итак, по определению Cµε ,(Cµε f , g )Rd = (Kµε f , g )Rd − (Lµ f , g )Rd − (Mεµ f , g )Rd + ( f , (Kµε )+ g )Rd − ( f , L+µ g )Rd ,и наша ближайшая цель — показать, что− ε(Lµ f , g )Rd − ε(Mεµ f , g )Rd + ε( f , (Kµε )+ g )Rd − ε( f , L+µ g )Rd ≈≈ (τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )(u 0+ + εUε+ ))Rd ×Q −− (τε [A, T ε ](D 1 u 0 + D 2U ), D 1 (u 0+ + εUε+ ))Rd ×Q −(2.5.15)− ε(τε A T ε D 1U , D 1 (u 0+ + εUε+ ))Rd ×Q .Здесь символ ≈ означает равенство с точностью до членов, которые вконечном счете будут отнесены к погрешности.Рассмотрим форму оператора Lµ .
По лемме 2.3.3,(Lµ f , g )Rd = (τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), τε T εU + )Rd ×Q .Убедимся, что τε T εU + в правой части можно заменить на τε S εU + . Действительно,|(τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), τε T εU + − τε S εU + )Rd ×Q | ÉÉ kτε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U )k2,Rd ×Q kτε T εU + − τε S εU + k2,Rd ×Q ,поэтому из лемм 2.3.3, 2.3.7, а также оценок (2.2.13), (2.3.2) и (2.3.2+ ) следует:|(τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), τε T εU + − τε S εU + )Rd ×Q | ∁ εk f k2,Rd kg k2,Rd .Принимая еще во внимание равенство Uε+ = τε S εU + , находим, что(Lµ f , g )Rd ≈ (τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ),Uε+ )Rd ×Q .(2.5.16)99Проверим теперь соотношение( f , L+µ g )Rd ≈ (τε A T ε D 1U , D 1 (u 0+ + εUε+ ))Rd ×Q .(2.5.17)Для этого сначала применим лемму 2.3.3:( f , L+µ g )Rd = (τε T ε AD 1U , τε T ε (D 1 u 0+ + D 2U + ))Rd ×Q .Затем прокоммутируем T ε и A .
Так как|(τε [A, T ε ]D 1U , τε T ε (D 1 u 0+ + D 2U + ))Rd ×Q | ÉÉ εr Q kD 1 AkM kτε T ε D 1U k2,Rd ×Q kτε T ε (D 1 u 0+ + D 2U + )k2,Rd ×Q(мы учли (2.3.19)), то, согласно лемме 2.3.3 и оценкам (2.3.2) и (2.2.13+ ), (2.3.2+ ),|(τε [A, T ε ]D 1U , τε T ε (D 1 u 0+ + D 2U + ))Rd ×Q | ∁ εk f k2,Rd kg k2,Rd .В результате( f , L+µ g )Rd ≈ (τε A T ε D 1U , τε T ε (D 1 u 0+ + D 2U + ))Rd ×Q .Нужно еще показать, что слагаемое τε T ε (D 1 u 0+ +D 2U + ) (отметим здесь, чтоτε T ε D 1 u 0+ в нём совпадает с T ε D 1 u 0+ ) может быть заменено на D 1 (u 0+ +εUε+ ).Поскольку|(τε A T ε D 1U , T ε D 1 u 0+ − D 1 u 0+ )Rd ×Q | ÉÉ kAkM kτε T ε D 1U k2,Rd ×Q k(T ε − I )D 1 u 0+ k2,Rd ×Q ,то леммы 2.3.3, 2.3.5 и оценки (2.3.2) и (2.2.13+ ) дают:|(τε A T ε D 1U , T ε D 1 u 0+ − D 1 u 0+ )Rd ×Q | ∁ εk f k2,Rd kg k2,Rd .Далее, по определению Uε+ ,εD 1Uε+ = ετε S ε D 1U + + τε S ε D 2U + .Слагаемое, получающееся из ετε S ε D 1U + , легко оценивается сразу, так как|(τε A T ε D 1U , ετε S ε D 1U + )Rd ×Q | ÉÉ εkAkM kτε T ε D 1U k2,Rd ×Q kτε S ε D 1U + k2,Rd ×Q ,а значит,|(τε A T ε D 1U , ετε S ε D 1U + )Rd ×Q | ∁ εk f k2,Rd kg k2,Rd ,см.
леммы 2.3.3, 2.3.4 и оценки (2.3.2) и (2.3.2+ ). Что касается τε S ε D 2U + , то|(τε A T ε D 1U , τε T ε D 2U + − τε S ε D 2U + )Rd ×Q | ÉÉ kAkM kτε T ε D 1U k2,Rd ×Q kτε T ε D 2U + − τε S ε D 2U + k2,Rd ×Q ,откуда, ввиду лемм 2.3.3, 2.3.7 и оценок (2.3.2) и (2.3.2+ ),|(τε A T ε D 1U , τε T ε D 2U + − τε S ε D 2U + )Rd ×Q | ∁ εk f k2,Rd kg k2,Rd .Таким образом, мы пришли к (2.5.17).100Аналогичные рассуждения позволяют заменить τε T ε (D 1 u 0+ + D 2U + ) вформе оператора Mεµ на D 1 (u 0+ + εUε+ ), и тем самым(Mεµ f , g )Rd ≈ ε−1 (τε [A, T ε ](D 1 u 0 + D 2U ), D 1 (u 0+ + εUε+ ))Rd ×Q .(2.5.18)Рассмотрим оставшийся член с корректором (Kµε )+ . Имеем:( f , (Kµε )+ g )Rd = (A0 u 0 ,Uε+ )Rd − µ(u 0 ,Uε+ )Rd(см. определения функций u 0 и Uε+ ).
Последнее слагаемое мало, как видноиз лемм 2.3.6 и 2.3.9+ и оценок (2.2.13) и (2.3.11+ ):|(u 0 ,Uε+ )Rd | É k(S ε − I )u 0 k2,Rd kUε+ k2,Rd + ku 0 k2,Rd kS εUε+ k2,Rd ∁ εk f k2,Rd kg k2,Rd .Следовательно,( f , (Kµε )+ g )Rd ≈ (A0 u 0 ,Uε+ )Rd .Используя еще лемму 2.3.3 и определение эффективных коэффициентов,находим:( f , (Kµε )+ g )Rd ≈ (τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), T εUε+ )Rd ×Q(2.5.19)(Uε+ не зависит от второй переменной, поэтому τε T εUε+ = T εUε+ ).На основании (2.5.16)–(2.5.19) соотношение (2.5.15) сводится к оценке|(τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )u 0+ )Rd ×Q | ∁ ε2 k f k2,Rd kg k2,Rd .(2.5.20)Докажем ее. Из леммы 2.5.1 ясно, что(τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )u 0+ )Rd ×Q == (τε T ε A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )D 1 u 0+ )Rd ×Q(2.5.21)(равенство сначала проверяется для u 0 , u 0+ ∈ C c∞ (Rd )n , а потом распространяется по непрерывности — ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
