Диссертация (1150426), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Наша цель —изучить ее поведение, когда ε → 0.Основные результатыПусть Nξ (x, · ) при x ∈ Rd и ξ ∈ Cd ×n — периодическое векторное решениезадачиZD ∗ A(x, · )(D Nξ (x, · ) + ξ) = 0,QNξ (x, y) dy = 0,на ячейке Q, то есть Nξ (x, · ) принадлежит H̃ 1 (Q)n и в слабом смысле удовлетворяет выписанным равенствам. Из равномерной коэрцитивностиоператора Aε вытекает, что задача однозначно разрешима, и, таким образом, Nξ (x, · ) корректно определено. Как видно, отображение ξ 7→ Nξлинейно по ξ, стало быть сводится к оператору умножения на функцию,которую мы обозначим через N . Легко понять, что N имеет ту же самуюгладкость по первому аргументу, что и A , а потому N ∈ C 0,s (R̄d ; H̃ 1 (Q)).Эффективный оператор A0 отображает H 1 (Rd )n в H −1 (Rd )n по формулеA0 = D ∗ A 0 D,75в которойA 0 (x) =ZQA(x, y)(I + D 2 N (x, y)) dy.Из свойств функций A и N следует, что A 0 ∈ C 0,s (R̄d ).
Выясняется также,что оператор A0 сильно эллиптичен, а значит, m -секториален, причемего сектор может быть выбран равным сектору S.Теорема. Пусть µ ∉ S. Тогда если s = 0, то (Aε − µ)−1 при ε → 0 сходитсяпо операторной норме в L 2 к (A0 − µ)−1 . Если же s ∈ (0, 1], то для всех ε ∈ Eи f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f k2,Rd É C εs k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c A , C A и kAkC 0,s .Следующий результат касается приближения резольвенты в классеСоболева H s (Rd )n , поэтому мы будем считать, что s 6= 0. В качестве традиционного корректора выступит оператор Kµε , заданный равенствомKµε f(x) =ZN (x + εz, ε−1 x)D(A0 − µ)−1f (x + εz) dz.QОн непрерывно переводит L 2 (Rd )n в H 1 (Rd )n , если s = 1. Чтобы и при s < 1Kµε был непрерывен в паре пространств L 2 (Rd )n и H s (Rd )n , нужно дополнительно предположить, что дробная производная D 1s,2 = D Rs,2d ⊗ I от функции A по «медленной» переменной равномерно ограничена (об этом условии см.
в § 3.1). Ниже D r,2 = D Rr,2d .Теорема. Пусть s ∈ (0, 1) и D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q) или s = 1. Тогда если µ ∉ S,то для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD s,2 ((Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f − εKµε f )k2,Rd É C εs k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c A , C A , kAkC 0,s , а приs < 1 — еще и через kD 1s,2 AkL ∞ .Отметим, что в корректор Kµε входит быстро осциллирующая функция x 7→ N (x + εz, ε−1 x), так что операторная норма D s,2 Kµε на пространстве L 2 неограниченно растет, когда ε → 0. Однако если s < 1, то благодарямножителю ε слагаемое с корректором всё же оказывается мало; последняя теорема тогда влечет за собой сходимость композиции D s,2 (Aε − µ)−1 .Мы докажем подобный результат для D r,2 (Aε − µ)−1 при любых r ∈ (0, 1) идаже с меньшими требованиями на коэффициенты.Теорема.
Пусть µ ∉ S. Тогда если s = 0 и r ∈ (0, 1), то D r,2 (Aε − µ)−1 приε → 0 сходится по операторной норме в L 2 к D r,2 (A0 −µ)−1 . Если же s ∈ (0, 1]и r ∈ (0, 1), то для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD r,2 ((Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f )k2,Rd É C εs∧(1−r ) k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , r , n , d , µ, c A , C A и kAkC 0,s .76Подчеркнем, что в наших условиях образ корректора Kµε попадает лишьв H s (Rd )n , а значит, использовать этот оператор в приближении для композиции D r,2 (Aε − µ)−1 при r > s заведомо нельзя.Теперь мы уточним аппроксимацию из первой теоремы за счет еще одного корректора. Корректор такого типа уже встречался в первой части,однако сейчас он будет устроен сложнее.Пусть (Aε −µ)+ — сопряженный к Aε −µ оператор.
Для него аналогичнымобразом строятся такие же объекты, как и для Aε − µ, — их мы помечаемсимволом «+». Предположим, что или s = 1/2 и D 11/2,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q), илиs > 1/2. В таком случае, согласно утверждениям о повышении гладкости,(A0 − µ)−1 будет непрерывно отображать L 2 (Rd )n в H 3/2 (Rd )n . Кроме того,будет корректно определен и ограничен дифференциальный оператортретьего порядкаL=D∗µZQ+∗(N ( · , y))D 1∗ A( · , y)(I¶+ D 2 N ( · , y)) dy D,действующий из H 3/2 (Rd )n в H −3/2 (Rd )n .
Отсюда видно, что композицияLµ = (A0 − µ)−1 L(A0 − µ)−1окажется непрерывной в пространстве L 2 (Rd )n . Далее, пустьM ε (x) = ε−1иZQ(I + D 2 N + (x, x/ε + z))∗ ∆εz A(x, x/ε + z)(I + D 2 N (x, x/ε + z)) dzMε = D ∗ M ε D.Зададим с помощью Mε ограниченный в L 2 (Rd )n операторMεµ = (A0 − µ)−1 Mε (A0 − µ)−1 .Тогда искомый корректор будет иметь видCµε = (Kµε − Lµ ) − Mεµ + ((Kµε )+ − L+µ )∗ .Теорема. Пусть s = 1/2 и D 11/2,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q) или s ∈ (1/2, 1]. Тогда еслиµ ∉ S, то для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f − εCµε f k2,Rd É C ε2s/(2−s) k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c A , C A , kAkC 0,s , а еслиs = 1/2, — то еще и через kD 11/2,2 AkL ∞ .Интерполяция дает следующий результат.Следствие. Пусть s ∈ [1/2, 1) и D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q) или s = 1.
Тогда еслиµ ∉ S, а r ∈ (0, s], то для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f )k2,Rd É C εs(2−r )/(2−s) k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c A , C A , kAkC 0,s , а еслиs < 1, — то еще и через kD 1s,2 AkL ∞ .77Мы видим, что в Cµε , по сравнению с таким же корректором из первойчасти, появился новый член Mεµ . Можно показать, что избавиться от него,сохраняя порядок погрешности, вообще говоря, нельзя — см.
п. 2.6.4. Темсамым данный член оказывается своего рода особенностью непериодических задач.С другой стороны, если от Cµε в теореме оставить лишь Mεµ , то погрешность станет порядка ε1∧2s/(2−s) . Выясняется, что аналогичный результатсправедлив для любых s ∈ (0, 1), причем без дополнительных условий надробную производную D 11/2,2 A .
Помимо прочего, это наводит на мысль,что Mεµ при s < 2/3 играет ведущую роль в корректоре Cµε .Теорема. Пусть s ∈ (0, 1). Тогда если µ ∉ S, то для всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1f − (A0 − µ)−1f + εMεµ f k2,Rd É C ε1∧2s/(2−s) k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c A , C A и kAkC 0,s .С помощью интерполяции приходим к еще одному утверждению.Следствие. Пусть s ∈ (0, 1). Тогда если µ ∉ S, а r ∈ (0, 1), то для всех ε ∈ Eи f ∈ L 2 (Rd )nkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f + εMεµ f )k2,Rd É C ε(1−r )(1∧2s/(2−s)) k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c A , C A и kAkC 0,s .Схема доказательстваВ основе доказательства лежит результат для операторов с «липшицевыми» коэффициентами, так что с них и начнем.При s = 1 мы, в сущности, развиваем подход, описанный в главе 1. Напомним, что его главная идея — установить операторное тождество вида(Aε − µ)−1 − (A0 − µ)−1 − εKµε = (Aε − µ)−1 (.
. .)(A0 − µ)−1 .Как и прежде, ключевым моментом является то, что старший вклад отоператора (Aε −µ)−1 сокращается со старшим вкладом от суммы (A0 −µ)−1и εKµε , поэтому оставшиеся в скобках слагаемые оказываются малы. В итоге отсюда сравнительно легко получаются все нужные оценки сразу. Важно отметить, что эти оценки точны по порядку и, вообще говоря, не могутбыть улучшены.Оговоримся, что теорию Флоке–Блоха, на которую мы опирались ранее,в локально периодической постановке использовать уже не так удобно.По этой причине сглаживатель в корректоре Kµε сейчас другой; вместе сним изменились и технические приемы.Левая часть тождества образует «сглаженное» первое приближение, аименно благодаря «липшицевости» коэффициентов образ такого операторного приближения содержится в пространстве H 1 (Rd )n .
Это в конечном счете обеспечивает корректность проводимых вычислений.78Чтобы от «липшицевых» коэффициентов перейти к «гёльдеровым»,мы используем стандартное сглаживание.Зафиксируем неотрицательR∞ную функцию J ∈ C c (BR1 (0)), такую что Rd J (x) dx = 1. Положим J δ (x) == δ−d J (δ−1 x) и A δ (x, y) = Rd J δ (x − x̂) A(x̂, y) d x̂ . Приближения для регуляризованного оператора Aε (δ) = D ∗ A εδ D строятся с помощью эффективногооператора A0 (δ) и корректоров Kµε (δ), Cµε (δ) по уже доказанным утверждениям. Как выясняется далее, резольвенты операторов Aε (δ), A0 (δ) и корректоры Kµε (δ), Cµε (δ) при δ → 0 сходятся в интересующих нас операторныхнормах к резольвентам операторов Aε , A0 и корректорам Kµε , Cµε соответственно, причем скорость сходимости можно оценить через скоростьсходимости A δ к A . Нам остается лишь оптимальным образом выбратьподпоследовательность δ(ε).Подчеркнем, что при s = 1 оценки погрешностей содержат липшицевуполунорму функции A .
Но такая же полунорма для A δ бесконечно растет,а значит, при уменьшении s погрешность неизбежно ухудшается. Так,если s = 0, то приведенное рассуждение позволяет доказать сходимостьоператора (Aε − µ)−1 , но ничего не говорит о ее скорости.79Глава 2Локально периодический операторс «липшицевыми» коэффициентами2.1 Исходный операторПусть функции A i j принадлежат классу C 0,1 (R̄d ; L̃ ∞ (Q))n×n , где Q = Q 1 (0).Тогда A = {A i j }di, j =1 можно представлять себе как равномерно ограниченное отображение A : Rd × Rd → B(Cd ×n ), липшицевое по первому аргументуи периодическое — по второму. Как известно, для произвольной ограниченной функции u : Rd × Rd → L 2 (Q), которая удовлетворяет условиюКаратеодори, отображение τε u : Rd → L 2 (Q), заданное при x ∈ Rd и z ∈ Qравенствомτε u(x, z) = u(x, ε−1 x, z),(2.1.1)оказывается измеримым (пространство L 2 (Q) не играет здесь выделенной роли, но участвует в дальнейших построениях).
Отметим очевидноесвойство τε : если u , v — функции из Rd × Rd в L 2 (Q), тоτε uv = τε u · τε v.(2.1.2)Ниже при различных u пользуемся обозначением u ε = τε u .Отображение A дифференцируемо лишь по одному аргументу, но намвстретятся функции, имеющие производные уже по обеим переменным.Чтобы их различать, условимся обозначать через D 1 дифференцирование по первому аргументу, а через D 2 — по второму, то есть D 1 = −i ∇1и D 2 = −i ∇2 .
Аналогичные обозначения используются и для дифференциr,pr,pr,pr,pрования дробного порядка: D 1 = D Rd ⊗ I и D 2 = I ⊗ D Q . В тех случаях,когда это не может привести к недоразумению, индекс будет опускаться.Рассмотрим оператор Aε : H 1 (Rd )n → H −1 (Rd )n , действующий по формулеAε = D ∗ A ε D.(2.1.3)Ясно, что он ограничен, а его норма не превосходит C ♭ = kAkM (функции A и D 1 A являются мультипликаторами на L 2 (Rd × Q), и величины kAkMи kD 1 AkM имеют соответствующий смысл):kAε uk−1,2,Rd É C ♭ kDuk2,Rd ,u ∈ H 1 (Rd )n .(2.1.4)Мы потребуем, чтобы он был еще и слабо коэрцитивен равномерно попараметру ε ∈ E, где E = (0, ε0 ] с ε0 ∈ (0, 1]. Другими словами, мы предполагаем, что найдутся такие постоянные c A > 0 и C A Ê 0, чтоRe(A ε Du, Du)Rd +C A kuk22,Rd Ê c A kDuk22,Rd ,u ∈ H 1 (Rd )n .(2.1.5)80Тогда при всех ε ∈ E оператор Aε становится m -секториальным, причемотвечающий ему секторS = z ∈ C : |Im z| É c −1A C ♭ (Re z +C A )©ª(2.1.6)не зависит от ε. Тем самым, если ε ∈ E и µ ∉ S, то Aεµ = Aε −µ — изоморфизм,а потому он обратим; более того, при любых f ∈ H −1 (Rd )n выполненоk(Aεµ )−1f k1,2,Rd ∁ k f k−1,2,Rd .(2.1.7)Мы хотим изучить поведение операторов (Aεµ )−1 и D(Aεµ )−1 , когда ε → 0.Замечание 2.1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
