Диссертация (1150426), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Прежде всего отметим неравенство|τ|kuk2, F É kuk11 ,2, F;τ,ε ,u ∈ H̃ 1 ( F)n .(1.5.15)Чтобы его получить, разложим функцию u ∈ H̃ 1 ( F)n в ряд ФурьеXu(x) =û z (x 2 )e −2πi 〈x1 ,z〉 .z∈Zd1Если k ∈ Q∗ , то, очевидно,kD 1 (τ)uk22, F =Xd|2πz − k|2 kû z k22,Rd2 Ê |k|2 kuk22, F,(1.5.16)z∈Zа отсюда и вытекает (1.5.15).Положим u = (Aµ (τ))−1 ( f + D(τ)∗ g ). Мы проверим оценку (1.5.13) сначалапри g = 0, а потом — при f = 0. Итак, поскольку µ ∉ S, тоε2 kuk2, F É dist(µ, S)−1 k f k2, F.(1.5.17)Из неравенств (1.5.12), (1.5.15) тогда следует, что|τ|2 kuk22, F É kD(τ)uk22, F + ε2 kuk22, F ∁∁ |(Aµ (τ)u, u) F| + ε2 kuk22, F É¢¡É k f k2, F + ε2 kuk2, F kuk2, F ∁∁ k f k2, Fkuk2, F,или, после сокращения,|τ|2 kuk2, F ∁ k f k2, F.(1.5.18)50Далее, используя (1.5.12) и (1.5.18), получаем:kD(τ)uk22, F ∁ |(Aµ (τ)u, u) F| + ε2 kuk22, F É¢¡É k f k2, F + ε2 kuk2, F kuk2, F ∁−2∁ |τ| k f(1.5.19)k22, F.Вместе оценки (1.5.18) и (1.5.19) показывают, чтоkuk1,2, F;τ ∁ |τ|−1 k f k2, F.Этим установлено (1.5.13) при g = 0.

Пусть теперь f = 0. Тогда, опять всилу (1.5.12),kD(τ)uk22, F ∁ |(Aµ (τ)u, u) F| + ε2 kuk22, F == |(g , D(τ)u) F| + ε2 kuk22, F ÉÉ kD(τ)uk2, Fkg k2, F + ε2 kuk22, F,откудаkD(τ)uk22, F ∁ kg k22, F + ε2 kuk22, F.В итогеkuk21,2, F;τ ∁ kg k22, F + |τ|2 kuk22, F,и для завершения доказательства неравенства (1.5.13) нужно лишь применить ко второму слагаемому оценку (1.5.19+ ).Перейдем к оценке (1.5.14). Она представляет собой результат о повышении гладкости решений эллиптических уравнений, поэтому мы будемиспользовать технику разностных отношений (определения и необходимые свойства см. в доказательстве леммы 1.2.2).

Положим u = (Aµ (τ))−1f .Так как(h)(h)(h)Aµ (τ)D 2,iu = D 2,if − [D 2,i, Aµ (τ)]u,то(h)(h)(h)D(τ)D 2,iu = D(τ)(Aµ (τ))−1 D 2,if − D(τ)(Aµ (τ))−1 [D 2,i, Aµ (τ)]u.(1.5.20)Первое слагаемое в правой части легко оценивается с помощью (1.5.13+ ),достаточно перейти к сопряженному оператору и учесть, что для произвольного v ∈ H̃ 1 ( F)(−h)kD 2,ivk2, F É kD 2,i vk2, F = ε−1 kD 2,i (τ)vk2, F.Тем самым(h)kD(τ)(Aµ (τ))−1 D 2,if k2, F ∁ ε−1 k f k2, F.(1.5.21)Ниже будет доказано, что коммутатор в другом слагаемом удовлетворяетоценке(h)(1.5.22)k[D 2,i, Aµ (τ)]uk−1,2, F;τ ∁ kuk1,2, F;τ ,u ∈ H̃ 1 ( F)n .Из нее следует, что при любых v ∈ L 2 ( F)d ×n(h)|(D(τ)(Aµ (τ))−1 [D 2,i, Aµ (τ)]u, v) F| ∁ kuk1,2, F;τ k(Aµ (τ)+ )−1 D(τ)∗ vk1,2, F;τ .51Применим к правой части последовательно (1.5.13+ ) и (1.5.13), тогда(h)kD(τ)(Aµ (τ))−1 [D 2,i, Aµ (τ)]uk2, F ∁ kuk1,2, F;τ ∁ |τ|−1 k f k2, F.(1.5.23)Объединяя (1.5.20) и (1.5.21), (1.5.23), находим:(h)kD(τ)D 2,iuk2, F ∁ ε−1 k f k2, F.Так как данная оценка равномерна по h , то функция D(τ)u имеет слабуюпроизводную D 2,i (τ)D(τ)u , причемkD(τ)D 2,i (τ)uk2, F = εkD(τ)D 2,i uk2, F ∁ k f k2, F.Нам осталось только установить (1.5.22).Поскольку T−he 2,i — изометрический изоморфизм, то оценка (1.5.22)равносильна тому, что(h)k[D 2,i, Aµ (τ)]T−he 2,i uk−1,2, F;τ ∁ kuk1,2, F;τ ,u ∈ H̃ 1 ( F)n .(1.5.24)Запишем стоящий слева оператор в виде(h)(h)(h)[D 2,i, Aµ (τ)]T−he 2,i = D(τ)∗ (D 2,iA)D(τ) − ε(D 2,ia 1 )∗ D(τ) +(h)(h)+ εD(τ)∗ (D 2,ia 2 ) + ε2 (D 2,iq).Это выражение имеет ту же структуру, что и сам оператор A(τ).

Кроме того,мультипликаторные нормы коэффициентов в выражении равномерноограничены по h . Действительно, если функция γ ∈ L 1,loc ( F) такова, чтоZ1D 2,i γ ∈ L 1,loc ( F), то(h)D 2,iγ(x) =0Tt he 2,i D 2,i γ(x) dt ,см. (1.2.7). По двойственности это равенство распространяется на распределения γ ∈ C c∞ ( F)∗ :(h)((D 2,iγ)u, v) F =Z10((D 2,i γ)T−t he 2,i u, T−t he 2,i v) Fdt ,u, v ∈ C c∞ ( F).(h)(h)Отсюда становится ясно, что kD 2,iAkM É kD 2,i AkM , kD 2,ia 1 kM É kD 2,i a 1 kM ,(h)(h)kD 2,ia 2 kM É kD 2,i a 2 kM и kD 2,iqkM É kD 2,i qkM . Повторяя рассуждения, которые использовались при доказательстве ограниченности A(τ), приходимк (1.5.24).äРазложим теперь в «прямой интеграл» эффективный оператор:(GHε⊗ I ) A0µ (GHε ⊗ I )−1=ε−2Z⊕Q∗A0µ (τ) dk.(1.5.25)Здесь A0µ (τ) = A0 (τ)−ε2 µ, а A0 (τ) : H̃ 1 ( F)n → H̃ −1 ( F)n определен равенствомA0 (τ) = D(τ)∗ A 0 D(τ) + ε(a 10 )∗ D(τ) + εD(τ)∗ a 20 + ε2 q 0 .(1.5.26)Такие же соображения, как в доказательстве леммы 1.5.1, показывают,что если τ ∈ T, то оператор A0 (τ) коэрцитивен и m -секториален с сектором ε2 S.52Лемма 1.5.3.

При всех τ ∈ T оператор A0 (τ) m -секториален с сектором ε2 S. Кроме того, если u ∈ H̃ 1 ( F)n , тоRe(A0 (τ)u, u) F + ε2 c ♮ kuk22, F Ê c ∗ kD(τ)uk22, F.(1.5.27)Тем самым при µ ∉ S оператор A0µ (τ) обратим и обратный к нему непрерывен. Следующее утверждение является аналогом леммы 1.5.2.Лемма 1.5.4. При всех µ ∉ S, τ ∈ T и f ∈ L 2 ( F)n , g ∈ L 2 ( F)d ×nk(A0µ (τ))−1 ( f + D(τ)∗ g )k1,2, F;τ ∁ |τ|−1 k f k2, F + kg k2, F,kD(τ)D(τ)(A0µ (τ))−1f k2, F ∁ k f k2, F.(1.5.28)(1.5.29)Постоянные в оценках зависят лишь d , n , µ, мультипликаторных нормкоэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.Доказательство. Мы не будем проводить доказательство во всех подробностях, так как оно совершенно аналогично проверке леммы 1.5.2,а ограничимся лишь несколькими пояснениями. Согласно лемме 1.5.3,оператор A0µ (τ) коэрцитивен и, кроме того,ε2 k(A0µ (τ))−1f k2, F É dist(µ, S)−1 k f k2, F.(1.5.30)Тогда, повторяя прежние рассуждения, придем к (1.5.28).

Далее, в неравенстве (1.5.29) сейчас стоит дифференцирование D(τ)D(τ) вместо D(τ)D 2 (τ),как было в лемме 1.5.2, и поэтому нужно дополнительно оценивать композицию D(τ)D 1 (τ) с (A0µ (τ))−1 . Однако коэффициенты оператора A0 (τ)не зависят от «периодической» переменной, так что он коммутирует сD 1 (τ), а значит, искомая оценка для D(τ)D 1 (τ)(A0µ (τ))−1 прямо вытекает изсоответствующего результата для D(τ)(A0µ (τ))−1 D 1 (τ).äЗамечание 1.5.5. Условие τ ∈ T использовалось в доказательстве леммытрижды. Во-первых, мы учитывали его при выводе неравенства (1.5.16).Во-вторых, оно гарантировало коэрцитивность оператора A0 (τ). Наконец, это условие было необходимо нам для того, чтобы сектор для A0 (τ)совпал с ε2 S, и тогда была верна оценка (1.5.30). Однако из доказательства ясно, что если, скажем, для некоторого сужения оператора A0 (τ) всетри перечисленных результата оказываются выполненными при какомлибо τ ∉ T, то для данного сужения утверждение леммы останется в силеи при таком τ.

Это наблюдение нам понадобится в дальнейшем.Оператор GHε ⊗ I унитарно отображает L 2 (Rd )n на прямой интегралпространств L 2 (Q∗ ; L 2 ( F)n ), а потому можно сформулировать аналог теоремы 1.4.1, используя слои Aµ (τ), A0µ (τ) «прямых интегралов» (1.5.3), (1.5.25).Теорема 1.5.6. Пусть µ ∉ S. Тогда при любых τ ∈ T и f ∈ L 2 ( F)nk(Aµ (τ))−1f − (A0µ (τ))−1f k2, F ∁ |τ|−1 k f k2, F,kD 2 (τ)(Aµ (τ))−1f − D 2 (τ)(A0µ (τ))−1f k2, F ∁ k f k2, F.Постоянные в оценках зависят лишь от d , n , µ, мультипликаторныхнорм коэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.53Перейдем к результатам с корректорами.

Пусть P — ортогональныйпроектор в пространстве L 2 ( F)n на L 2 (Rd2 )n как подпространство функций, зависящих только от «непериодической» переменной x 2 :P u(x) =ZQ(1.5.31)u(y 1 , x 2 ) dy 1 .Отметим, что с помощью проектора P неравенство Пуанкаре записывается в видеkP ⊥ uk2, F É π−1 kD 1 (τ)uk2, F,u ∈ L 2 (Rd2 ; H̃ 1 (Q)).(1.5.32)Введем оператор Kµ (τ) : L 2 ( F)n → H̃ 1 ( F)n :Kµ (τ) = (N D(τ) + εM )(A0µ (τ))−1 P .(1.5.33)Сейчас мы убедимся, что он непрерывен.Лемма 1.5.7. При всех µ ∉ S, τ ∈ T и f ∈ L 2 ( F)nkKµ (τ) f k12 ,2, F;τ ∁ k f k2, F,kD 1 Kµ (τ) f k12 ,2, F;τ ∁ k f k2, F.Постоянные в оценках зависят лишь от d , n , µ, мультипликаторныхнорм коэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.Доказательство.

Положим u 0 = (A0µ (τ))−1 P f и U = Kµ (τ) f . Коэффициенты оператора A0 (τ) не зависят от «периодической» переменной, и, кроме того, P и D(τ) перестановочны на периодических пространствах Соболева, поэтому A0 (τ) коммутирует с проектором P . Это означает, чтофункция u 0 не зависит от переменной x 1 . Тогда, в силу мультипликаторных свойств функций N и M (см. п. 1.2.1),иkD 1U k2, F É kD 1 N kM kD(τ)u 0 k2,Rd2 + εkD 1 M kM ku 0 k1,2,Rd2 É¡¢É kD 1 N kM + kD 1 M kM ku 0 k12 ,2, F;τkD 1 D 2 (τ)U k2, F É εkD 1 D 2 N kM kD(τ)u 0 k2,Rd2 + ε2 kD 1 D 2 M kM ku 0 k1,2,Rd2 ++ kD 1 N kM kD(τ)D 2 (τ)u 0 k2,Rd2 + εkD 1 M kM kD 2 (τ)u 0 k1,2,Rd2 É¡¢É kD 1 D 2 N kM + kD 1 D 2 M kM |τ|ku 0 k12 ,2, F;τ +¡¢+ kD 1 N kM + kD 1 M kM kD 2 (τ)u 0 k12 ,2, F;τ ,откуда с помощью леммы 1.5.4 выводится, чтоkD 1U k12 ,2, F;τ ∁ k f k2, F.Согласно определениям функций N и M , среднее значение U по ячейке Qравно нулю, так что L 2 -нормы U и D 2 (τ)U оцениваются по стандартномунеравенству Пуанкаре через L 2 -нормы D 1U и D 1 D 2 (τ)U .ä54Замечание 1.5.8.

Условие τ ∈ T в самом доказательстве никак не использовалось — оно было необходимо лишь для того, чтобы мы моглиприменить лемму 1.5.4. Тем самым если при каком-нибудь τ ∉ T для оператора (A0µ (τ))−1 P будет выполнено утверждение леммы 1.5.4, то сохранитсяи утверждение леммы 1.5.7.Замечание 1.5.9. В отличии от того, что мы видели в леммах 1.5.2, 1.5.4,где D 1 (τ) и D 2 (τ) уменьшали нормы операторов (Aµ (τ))−1 и (A0µ (τ))−1 , грубоговоря, домножая их на |τ|, дифференцирование D 1 не изменяет порядокнормы Kµ (τ).

Характеристики

Список файлов диссертации