Диссертация (1150426), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Причина заключается, конечно же, в том, что корректор Kµεсодержит быстро осциллирующие по первой переменной функции.Заметим, что прямой интеграл операторов P переводит преобразование Гельфанда в преобразование Фурье. Точнее,Z⊕Q∗P dk (G ⊗ I )u(k, x) = (F ⊗ I )u(k, x 2 ).Отсюда заменой переменных получаем:Z⊕Q∗P dk (GHε ⊗ I )u(k, x) = (H1/ε F ⊗ I )u(k, x 2 ).Теперь, вспоминая определение сглаживателя P ε (см. (1.3.1)), убеждаемсяв том, что P есть его слой в разложении в прямой интеграл:εεε−1(GH ⊗ I ) P (GH ⊗ I )=Z⊕Q∗P dk.(1.5.34)Используя это разложение, а также разложение (1.5.25) для эффективногооператора, находим:Z(GHε ⊗ I ) Kµε (GHε ⊗ I )−1 = ε⊕Q∗Kµ (τ) dk.(1.5.35)Таким образом, теорема 1.4.2 может быть записана в следующем виде.Теорема 1.5.10.

Пусть µ ∉ S. Тогда при любых τ ∈ T и f ∈ L 2 ( F)nkD 1 (τ)(Aµ (τ))−1f − D 1 (τ)(A0µ (τ))−1f − D 1 (τ)Kµ (τ) f k2, F ∁ k f k2, F.Постоянная в оценке зависит лишь от d , n , µ, мультипликаторных нормкоэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.Введем операторы S (τ), T (τ) : H̃ 1 ( F)n → H̃ −1 ( F)n :S (τ) = ((k + D 2 (τ))∗ A + εa 1∗ )(k + D 2 (τ)) ++ ε(k + D 2 (τ))∗ a 2 + ε2 q,T (τ) = ((k + D 2 (τ))∗ A + εa 1∗ )D 1(1.5.36)(1.5.37)(ср. с (1.3.4) и (1.3.5)). Ясно, что они ограничены и удовлетворяют оценкамkS (τ)uk−1,2, F;τ ∁ kuk1,2, F;τ ,kT (τ)uk−1,2, F;τ ∁ kuk1,2, F;τ55(см.

доказательство (1.5.11)). Эти оценки могут быть улучшены, если вместо(1.5.7)–(1.5.9) использовать более точные неравенства (1.5.4)–(1.5.6):¢¡¢¡|(S (τ)u, v) F| ∁ εkD 1 (τ)uk2, F + kuk12 ,2, F;τ εkD 1 (τ)vk2, F + kvk12 ,2, F;τ , (1.5.38)¡¢|(T (τ)u, v) F| ∁ kD 1 uk2, F εkD 1 (τ)vk2, F + kvk12 ,2, F;τ .(1.5.39)Точно так же по A(τ)+ строятся операторы S (τ)+ и T (τ)+ , при этом S (τ)+оказывается сопряжен к S (τ). Отметим тождество, связывающее эти операторы с A(τ):A(τ) = D 1∗ AD 1 + S (τ) + T (τ) + (T (τ)+ )∗ .(1.5.40)Нам удобно разбить теорему 1.4.4 на два отдельных утверждения. В первом мы рассмотрим сужение оператора Lµ на ортогональное дополнениек образу проектора P ε . Далее через A0µ (τ)+ , Kµ (τ)+ обозначаются аналоги A0µ (τ), Kµ (τ) для Aµ (τ)+ (мы уже отмечали, что (A0µ )+ и A0µ сопряженыдруг к другу — см.

п. 1.6.3, — поэтому взаимно сопряжены и A0µ (τ)+ и A0µ (τ)).Лемма 1.5.11. При всех µ ∉ S, ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkLµ (I − P ε ) f k2,Rd ∁ εk f k2,Rd .Постоянная в оценке зависит лишь от d , n , µ, мультипликаторных нормкоэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.Доказательство. Сначала мы оценим норму оператора Lµ (k) (см. егоопределение в (1.3.7)) при k ∈ Rd1 . Заметим, что если положить τ = (k, 1), тополучится A0µ (k) = A0µ (τ)P . Тогда при всех f , g ∈ L 2 (Rd2 )n(Lµ (k) f , g )Rd2 = (S (τ)u 0 + T (τ)U ,U + ) F,где u 0 = (A0µ (τ))−1f , U = Kµ (τ) f и U + = Kµ (τ)+ g . Мы хотели бы воспользоваться неравенствами (1.5.38), (1.5.39) и леммами 1.5.4, 1.5.7, чтобы оценитьэту форму. Однако сейчас параметр τ принадлежит множеству Rd1 × {1}, ане T, и если справедливость (1.5.38) и (1.5.39) при τ ∈ Rd1 × R+ не вызываетсомнений (см.

(1.5.4)–(1.5.6)), то в указанных леммах ограничение на τ было по существу. Тем не менее соответствующие утверждения переносятсяи на случай оператора A0µ (τ)P при τ ∈ Rd1 × {1}. Чтобы в этом убедится,достаточно показать, что для него выполнены соотношенияRe(A0 (τ)u, u) F + c ♮ kuk22, F Ê c ∗ kD(τ)uk22, F,u ∈ H 1 (Rd2 )n ,иk(A0µ (τ))−1f k2, F É dist(µ, S)−1 k f k2, F,f ∈ L 2 (Rd2 )n .(см. замечания 1.5.5 и 1.5.8; добавим лишь, что при u ∈ H 1 (Rd2 )n неравенство (1.5.16) переходит в тождественное равенство). Но эти соотношенияпрямо следуют из леммы 1.3.1 для оператора A0µ (k). В итоге¢¡¢¡|(Lµ (k) f , g )Rd2 | ∁ ku 0 k12 ,2, F;τ + kD 1U k2, F |τ|kD 1U + k2, F + kU + k12 ,2, F;τ ,56откуда|(Lµ (k) f , g )Rd2 | ∁ |τ|−1 k f k2,Rd2 kg k2,Rd2 .Перейдем теперь к оператору Lµ . Пусть f , g ∈ C c∞ (Rd )n , а fˆ = (F ⊗ I ) f , ĝ == (F ⊗ I )g .

Тогдаε|(Lµ (I − P ) f , g )Rd | É∁ZRd1 \ε−1 Q∗Z|(Lµ (k) fˆ(k, · ), ĝ (k, · ))Rd2 | dk ∁|k|−1 k fˆ(k, · )k2,Rd2 kĝ (k, · )k2,Rd2 dk ÉRd1 \ε−1 Q∗É επ−1 k f k2,Rd kg k2,Rd .Отсюда и вытекает нужное утверждение.äРазумеется, такая же оценка справедлива и для L+µ (I − P ε ), и поэтому втеореме 1.4.4 вместо Lµ и L+µ достаточно взять Lµ P ε и L+µ P ε .Введем оператор Lµ (τ) : L 2 ( F)n → L 2 ( F)n формулой¡¢Lµ (τ) = (Kµ (τ)+ )∗ S (τ)(A0µ (τ))−1 + T (τ)Kµ (τ) .(1.5.41)Используя (1.5.34), несложно понять, чтоεεε−1(GH ⊗ I ) Lµ P (GH ⊗ I )=εZ⊕Q∗Lµ (τ)P dk.(1.5.42)Оператор Lµ (τ)+ , построенный для Aµ (τ)+ по аналогии с Lµ (τ) для Aµ (τ),связан с L+µ P ε похожим соотношением. ПоложимCˆµ (τ) = (Kµ (τ) − Lµ (τ))P + P (Kµ (τ)+ − Lµ (τ)+ )∗ .Теперь теорема 1.4.4 сводится к проверке следующего результата.Теорема 1.5.12.

Пусть µ ∉ S. Тогда при любых τ ∈ T и f ∈ L 2 ( F)nk(Aµ (τ))−1f − (A0µ (τ))−1f − Cˆµ (τ) f k2, F ∁ k f k2, F.Постоянная в оценке зависит лишь от d , n , µ, мультипликаторных нормкоэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.1.5.2 «Резольвентное» тождествоПри доказательстве теорем ключевую роль будет играть тождество,связывающее операторы (Aµ (τ))−1 , (A0µ (τ))−1 и Kµ (τ).

Такое соотношениедовольно естественно интерпретировать как обобщенное резольвентноетождество.Пусть f ∈ L 2 ( F)n , а g ∈ H̃ −1 ( F)n . Всюду далее u 0 = (A0µ (τ))−1f , U = Kµ (τ) f ,и u + = (Aµ (τ)+ )−1 g . Так как оператор A0 (τ) коммутирует с P , то((Aµ (τ))−1 P f − (A0µ (τ))−1 P f − Kµ (τ) f , g ) F == (A0µ (τ)P u 0 , u + ) F − (Aµ (τ)(P u 0 +U ), u + ) F.(1.5.43)57Согласно определениям эффективных коэффициентов,A 0 P = P (A + AD 1 N )P ,a 10 P = P (a 1 + (D 1 N )∗ a 1 )P ,a 20 P = P (a 2 + AD 1 M )P ,q 0 P = P (q + a 1∗ D 1 M )P ,откуда получаем, чтоТаким образом,¡¢A0µ (τ)P = P Aµ (τ) + T (τ)(N D(τ) + εM ) P .(A0µ (τ)P u 0 , u + ) F − (Aµ (τ)P u 0 , P u + ) F = (T (τ)U , P u + ) F.(1.5.44)С другой стороны, как видно из тождества (1.5.40),PA(τ) = P (S (τ) + T (τ))(мы учли, что T (τ)+ P = 0), так что(Aµ (τ)U , P u + ) F = (S (τ)U , P u + ) F + (T (τ)U , P u + ) F(1.5.45)(напомним, что PU = 0).

Второй член в правой части (1.5.45) совпадает справой частью (1.5.44), и тем самым мы можем переписать (1.5.43) в виде((Aµ (τ))−1 P f − (A0µ (τ))−1 P f − Kµ (τ) f , g ) F == −(Aµ (τ)(P u 0 +U ), P ⊥ u + ) F − (S (τ)U , P u + ) F.(1.5.46)Далее, из определений функций N и M (см. (1.2.1) и (1.2.2)) следует, чтоD 1∗ AD 1U + (T (τ)+ )∗ P u 0 = 0,поэтому, вновь используя тождество (1.5.40) и принимая во внимание, чтоT (τ)P = 0, находим:P ⊥ Aµ (τ)(P u 0 +U ) = P ⊥ S (τ)(P u 0 +U ) + P ⊥ T (τ)U + P ⊥ ((T (τ)+ )∗ − ε2 µ)U .Проектор P ⊥ в последнем слагаемом можно опустить, так как T (τ)+ P = 0и PU = 0, а потому(Aµ (τ)(P u 0 +U ), P ⊥ u + ) F == (S (τ)(P u 0 +U ) + T (τ)U , P ⊥ u + ) F + ((T (τ)+ )∗U − ε2 µU , u + ) F.(1.5.47)Подставляя (1.5.47) в (1.5.46) и вспоминая еще, что операторы S (τ) и S (τ)+взаимно сопряжены, окончательно получаем:((Aµ (τ))−1 P f − (A0µ (τ))−1 P f − Kµ (τ) f , g ) F == −(S (τ)P u 0 + T (τ)U , P ⊥ u + ) F − (U , S (τ)+ u + + T (τ)+ u + − ε2 µ̄u + ) F.(1.5.48)Это соотношение и есть искомое «резольвентное» тождество.Сейчас всё готово для доказательства теорем 1.5.6, 1.5.10 и 1.5.12.581.5.3 Доказательство теоремы 1.5.6Распишем разность резольвент операторов A(τ) и A0 (τ):(Aµ (τ))−1 − (A0µ (τ))−1 = (Aµ (τ))−1 P − (A0µ (τ))−1 P − Kµ (τ) ++ (Aµ (τ))−1 P ⊥ − (A0µ (τ))−1 P ⊥ + Kµ (τ).(1.5.49)Слагаемые из последней строки сразу могут быть отнесены к погрешности.

В самом деле, переходя к сопряженному оператору и учитываянеравенство Пуанкаре (1.5.32) и лемму 1.5.2+ , видим, чтоk(Aµ (τ))−1 P ⊥ f k12 ,2, F;τ ∁ k f k2, F.Такая же оценка верна и для (A0µ (τ))−1 P ⊥ f (необходимо только использовать лемму 1.5.4+ ). Кроме того, в силу леммы 1.5.7,kKµ (τ) f k12 ,2, F;τ ∁ k f k2, F.В итоге дело сводится к доказательству оценкиk(Aµ (τ))−1 P f − (A0µ (τ))−1 P f − Kµ (τ) f k12 ,2, F;τ ∁ k f k2, F.Сначала мы установим, чтоk(Aµ (τ))−1 P f − (A0µ (τ))−1 P f − Kµ (τ) f k2, F ∁ |τ|−1 k f k2, F.(1.5.50)Для этого воспользуемся тождеством (1.5.48) при f , g ∈ L 2 ( F)n и оценимкаждое слагаемое в его правой части с помощью (1.5.38), (1.5.39) и (1.5.38+ ),(1.5.39+ ):и|(S (τ)P u 0 + T (τ)U , P ⊥ u + ) F| ∁¡¢¡¢∁ ku 0 k12 ,2, F;τ + kD 1U k2, F kP ⊥ u + k12 ,2, F;τ + |τ|kD 1 (τ)u + k2, F|(U , S (τ)+ u + + T (τ)+ u + − ε2 µ̄u + ) F| ∁¢¡¢¡∁ kU k12 ,2, F;τ + |τ|kD 1U k2, F kD 1 (τ)u + k2, F + ku + k12 ,2, F;τ .(1.5.51)(1.5.52)Применяя к функции U стандартное неравенство Пуанкаре, а к P ⊥ u + —неравенство (1.5.32), получаем:|((Aµ (τ))−1 P f − (A0µ (τ))−1 P f − Kµ (τ) f , g ) F| ∁¢¡¢¡∁ |τ|−1 |τ|ku 0 k12 ,2, F;τ + kD 1U k12 ,2, F;τ kD 1 (τ)u + k12 ,2, F;τ + |τ|ku + k12 ,2, F;τ .(1.5.53)Отсюда и из лемм 1.5.4, 1.5.7 иПроверим теперь, что1.5.2+сразу следует (1.5.50).kD 2 (τ)(Aµ (τ))−1 P f − D 2 (τ)(A0µ (τ))−1 P f − D 2 (τ)Kµ (τ) f k2, F ∁ k f k2, F.(1.5.54)Пусть f ∈ L 2 ( F)n и g = H̃ −1 ( F)n .

Нам, как и ранее, предстоит надлежащимобразом оценить слагаемые из правой части тождества (1.5.48). Однако59приведенных выше рассуждений для этого оказывается уже недостаточно: возникшие в (1.5.53) производные второго порядка от u + не позволяютвзять g = D 2 (τ)∗ h с негладкой h .Чтобы обойти эту трудность, мы поступим следующим образом. По ϕ ∈∈ L 2 (Rd2 ; H̃ 1 (Q)n ) найдем функцию ψ ∈ L 2 (Q; H 1 (Rd2 )n ), которая являетсярешением уравненияD 2 (τ)∗ D 2 (τ)ψ + |τ|2 ψ = ϕ.(1.5.55)Уравнение может быть записано также в виде(l + D 2 (τ))∗ (l + D 2 (τ))ψ = ϕ,(1.5.56)где l — произвольный вектор из Rd1 ⊕ 0 длиной |τ|.

Характеристики

Список файлов диссертации