Диссертация (1150426), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При всех k ∈ Rd1 оператор A0 (k) m -секториален с сектором S. Кроме того, если u ∈ H 1 (Rd2 )n , тоRe(A0 (k)u, u)Rd2 + c ♮ kuk22,Rd2 Ê c ∗ k(k + D 2 )uk22,Rd2 .(1.3.6)Доказательство. Предположим, что существуют такие k0 ∈ Rd1 и u 0 ∈∈ H 1 (Rd2 )n с ku 0 k2,Rd2 = 1, что (A0 (k 0 )u 0 , u 0 )Rd2 ∉ S. Так как множество S замкнуто, а отображение k 7→ (A0 (k)u 0 , u 0 )Rd2 — непрерывно, то образ некоторого открытого шара K при этом отображении также будет отделенот сектора S.
Не уменьшая общности, можно считать, что мнимая часть(A0 (k)u 0 , u 0 )Rd2 имеет один знак при всех k ∈ K — для определенностиIm(A0 (k)u 0 , u 0 )Rd2 Ê 0. Тогда если c S — вершина сектора S, а αS — угол егораствора, то найдется постоянная c K > 0, такая что неравенствоIm e −i αS/2 (A0cS(k)u 0 , u 0 )Rd2 Ê c Kбудет выполнено равномерно по k ∈ K.Положим v̂ 0 (k, x 2 ) = |K|−1/2 1K(k)u 0 (x 2 ) и v 0 = (F ⊗ I )−1 v̂ 0 . Ясно, что v 0 ∈∈ H 1 (Rd )n и kv 0 k2,Rd = 1.
Кроме того,0Z(A0 (k)v̂ 0 (k, · ), v̂ 0 (k, · ))Rd2 dk =Z−1(A0 (k)u 0 , u 0 )Rd2 dk,= |K|( A v 0 , v 0 ) Rd =Rd 1KоткудаIm e −i αS/2 (A0cS v 0 , v 0 )Rd Ê c K.Однако это противоречит тому, что (A0 v 0 , v 0 )Rd ∈ S.Доказательство оценки (1.3.6) вполне аналогично. Если найдутся такие k0 ∈ Rd1 и u 0 ∈ H 1 (Rd2 )n , чтоRe(A0 (k 0 )u 0 , u 0 )Rd2 + c ♮ ku 0 k22,Rd2 − c ∗ k(k + D 2 )u 0 k22,Rd2 < 0,то такое неравенство будет верно и при k из некоторой открытой окрестности K точки k0 .
Пусть v̂ 0 (k, x 2 ) = 1K(k)u 0 (x 2 ) и v 0 = (F ⊗ I )−1 v̂ 0 . Тогдаv 0 ∈ H 1 (Rd )n иRe(A0 v 0 , v 0 )Rd + c ♮ kv 0 k22,Rd − c ∗ kD v 0 k22,Rd =Z¡¢=Re(A0 (k)u 0 , u 0 )Rd2 + c ♮ ku 0 k22,Rd2 − c ∗ k(k + D 2 )u 0 k22,Rd2 dk < 0,Kчто невозможно ввиду (1.2.23).Наконец, непрерывность (которая очевидна из мультипликаторныхсвойств эффективных коэффициентов, см.
п. 1.2.2) и коэрцитивность оператора A0 (k) вместе дают m -секториальность.ä45Обозначим через (Aεµ )+ сопряженный к Aεµ оператор. Для него мы построим эффективный оператор (A0µ )+ , корректор (Kµε )+ , а также семейства A0µ (k)+ , Kµ (k; y 1 )+ . (Заметим, что (A0µ )+ и A0µ оказываются взаимносопряженными друг к другу — см. п.
1.6.3.) Определим еще псевдодифференциальный оператор Lµ по «периодической» переменной x 1 с операторнозначным символом k 7→ Lµ (k) : L 2 (Rd2 )n → L 2 (Rd2 )n , имеющим видLµ (k) =то естьZQ¡¢(Kµ (k; y 1 )+ )∗ S (k; y 1 )(A0µ (k))−1 + T (k; y 1 ) Kµ (k; y 1 ) dy 1 ,(1.3.7)Lµ = (F ⊗ I )∗ Lµ ( · ) (F ⊗ I ).Оператор L+µ строится по (Aεµ )+ аналогичным образом. Тогда корректорCµε : L 2 (Rd )n → L 2 (Rd )n дается формулойCµε = (Kµε − Lµ ) + ((Kµε )+ − L+µ )∗ .(1.3.8)Ниже мы увидим, что он ограничен и при всех f ∈ L 2 (Rd )n справедливаоценкаkCµε f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(1.3.9)Замечание 1.3.2. Как мы уже отмечали, отображение k 7→ A0µ (k) являетсясимволом для A0µ , поэтому оператор Lµ можно также записать в видеLµ = (A0µ )−1 L(A0µ )−1 ,где L — дифференциальный оператор третьего порядка, который непрерывно отображает H 2 (Rd )n в H −1 (Rd )n и H 1 (Rd )n в H −2 (Rd )n .
В частномслучае, когда у Aε нет младших членов, имеем:L=D∗µZQ+∗¶∗N (y 1 , · ) D A(y 1 , · )(I + (D 1 N )(y 1 , · )) dy 1 D.Подобная форма записи использовалась в работе [BSu05].1.4 Основные результатыТеорема 1.4.1. Если µ ∉ S, то при любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f k2,Rd ∁ εk f k2,Rd ,kD 2 (Aεµ )−1f− D 2 (A0µ )−1f k2,Rd∁ εk f k2,Rd .(1.4.1)(1.4.2)Оценки точны по порядку, а постоянные зависят лишь от n , d , µ, мультипликаторных норм коэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.Теорема 1.4.2.
Если µ ∉ S, то при любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD 1 (Aεµ )−1f − D 1 (A0µ )−1f − εD 1 Kµε f k2,Rd ∁ εk f k2,Rd .(1.4.3)Оценка точна по порядку, а постоянная зависит лишь от n , d , µ, мультипликаторных норм коэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.46Следствие 1.4.3. Если µ ∉ S и r ∈ (0, 1), то при любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD 1r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f )k2,Rd ∁ ε1−r k f k2,Rd .(1.4.4)Постоянная в оценке зависит лишь от r , n , d , µ, мультипликаторныхнорм коэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.Теорема 1.4.4. Если µ ∉ S, то при любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f k2,Rd ∁ ε2 k f k2,Rd .(1.4.5)Оценка точна по порядку, а постоянная зависит лишь от n , d , µ, мультипликаторных норм коэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.Следствие 1.4.5.
Если µ ∉ S и r ∈ (0, 1], то при любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f )k2,Rd ∁ ε2−r k f k2,Rd .(1.4.6)Постоянная в оценке зависит лишь от n , d , µ, мультипликаторныхнорм коэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.1.5 Доказательство основных результатовЗдесь будут доказаны результаты, выписанные в предыдущем параграфе.
Сначала мы перейдем от Aε к оператору на фундаментальноммножестве F и сформулируем для него утверждения, которые равносильны доказываемым теоремам. Их мы дальше и станем непосредственнопроверять.1.5.1 Задача на фундаментальном множествеЧтобы свести задачу на фундаментальное множество решетки Zd1 , какобычно, используется преобразование Гельфанда.
Напомним, что преобразование Гельфанда G : L 2 (Rd1 ) → L 2 (Q∗ × Q) задается равенствомG u(k, x 1 ) = (2π)−d1 /2Xu(x 1 + z)e −i 〈x1 +z,k〉z∈Zd1(ряд сходится по норме в L 2 (Q∗ × Q)). Хорошо известно, что оно является изометрическим изоморфизмом пространств L 2 (Rd1 ) и L 2 (Q∗ × Q) и,кроме того, гомеоморфно отображает H 1 (Rd1 ) на L 2 (Q∗ ; H̃ 1 (Q)). По двойственности преобразование Гельфанда распространяется на H −1 (Rd1 ), такчто G : H −1 (Rd1 ) → L 2 (Q∗ ; H̃ −1 (Q)).Пусть τ = (k, ε) ∈ T = Q∗ × E.
Положим D 1 (τ) = D 1 + k , D 2 (τ) = εD 2 и D(τ) == D 1 (τ) + D 2 (τ). На периодических пространствах Соболева нам удобноввести зависящую от параметров τ и θ норму¡¢1/2kuk1,2, F;τ,θ = kD(τ)uk22, F + |θ|2 kuk22, F ,47а также зависящие от τ и θ анизотропные нормы¢1/2¡kuk11 ,2, F;τ,θ = kD 1 (τ)uk22, F + |θ|2 kuk22, F ,¡¢1/2kuk12 ,2, F;τ,θ = kD 2 (τ)uk22, F + |θ|2 kuk22, F .Соответствующие двойственные нормы обозначаются через k · k−1,2, F;τ,θи т. д., например:|( f , u) F|.u∈ H̃ 1 ( F) kuk1,2, F;τ,θk f k−1,2, F;τ,θ = supВ качестве θ , как правило, будет выступать или ε, или τ; во втором случаепод |τ|2 следует понимать величину |k|2 + ε2 . При θ = τ последний индексопускаем.Определим оператор A(τ) : H̃ 1 ( F)n → H̃ −1 ( F)n формулойA(τ) = D(τ)∗ AD(τ) + εa 1∗ D(τ) + εD(τ)∗ a 2 + ε2 q(1.5.1)и положим Aµ (τ) = A(τ) − ε2 µ. Так как преобразование GHε ⊗ I унитарно,то на плотном множестве функций u из (Aεµ )−1 L 2 (Rd )n выполнено(Aεµ u, u)Rd = ((GHε ⊗ I )Aεµ u, (GHε ⊗ I )u)Q∗ × F,а значит, это равенство справедливо и для любых u ∈ H 1 (Rd )n .
Принимаяво внимание, чтоZ(GHε ⊗ I ) D (GHε ⊗ I )−1 = ε−1⊕Q∗D(τ) dk,(1.5.2)а все Zd1 -периодические мультипликаторы коммутируют с G ⊗ I , далеенаходим:Z(Aεµ u, u)Rd = ε−2Q∗(Aµ (τ)ũ(k, · ), ũ(k, · )) Fdk,где ũ = (GHε ⊗ I )u . Поскольку GHε ⊗ I изоморфно отображает H 1 (Rd )n навсё L 2 (Q∗ ; H̃ 1 ( F)n ), то отсюда сразу же вытекает, что ε−2 Aµ (τ) есть слой вразложении Aεµ :(GHε⊗ I ) Aεµ (GHε ⊗ I )−1=ε−2Z⊕Q∗Aµ (τ) dk.(1.5.3)«Прямой интеграл» Q⊕∗ Aµ (τ) dk есть оператор «послойного» умноженияна Aµ (τ); иначе говоря, он переводит функцию ũ из «прямого интеграла банаховых пространств» L 2 (Q∗ ; H̃ 1 ( F)n ) в функцию k 7→ Aµ (τ)ũ(k) из«прямого интеграла банаховых пространств» L 2 (Q∗ ; H̃ −1 ( F)n ).Покажем, что Aµ (τ) m -секториален.
Прежде всего отметим, что из оценок (1.1.5)–(1.1.7) следует, что при любом u ∈ H̃ 1 ( F)nRε2 ka 1 uk22, F ∁ ε2 kD 1 (τ)uk22, F + kuk212 ,2, F;τ,ε ,(1.5.4)ε ka 2 uk22, F ∁ ε2 kD 1 (τ)uk22, F + kuk212 ,2, F;τ,ε ,ε2 |(qu, u) F| ∁ ε2 kD 1 (τ)uk22, F + kuk212 ,2, F;τ,ε .(1.5.5)2(1.5.6)48В частности,ε2 ka 1 uk22, F ∁ kuk21,2, F;τ,ε ,2ε ka 2 uk22, F ∁ kuk21,2, F;τ,ε ,ε2 |(qu, u) F| ∁ kuk21,2, F;τ,ε ,(1.5.7)(1.5.8)(1.5.9)откудаkA(τ)uk−1,2, F;τ,ε ∁ kuk1,2, F;τ,ε ,u ∈ H̃ 1 ( F)n .(1.5.10)В основном нам будет достаточно и более грубого результата:kA(τ)uk−1,2, F;τ ∁ kuk1,2, F;τ ,u ∈ H̃ 1 ( F)n .(1.5.11)В следующей лемме будет доказано, что оператор A(τ) коэрцитивен, ибудет найден отвечающий ему сектор.Лемма 1.5.1.
При всех τ ∈ T оператор A(τ) m -секториален с сектором ε2 S. Кроме того, если u ∈ H̃ 1 ( F)n , тоRe(A(τ)u, u) F + ε2 c ♮ kuk22, F Ê c ∗ kD(τ)uk22, F.(1.5.12)Доказательство. Предположим, что для некоторого значения τ ∈ T,скажем τ0 = (k0 , ε0 ), нашелся элемент u 0 ∈ H̃ 1 ( F)n , такой чтоRe(A(τ0 )u 0 , u 0 ) F + ε20 c ♮ ku 0 k22, F − c ∗ kD(τ0 )u 0 k22, F < 0.Отображениеk 7→ Re(A(k, ε0 )u 0 , u 0 ) F + ε20 c ♮ ku 0 k22, F − c ∗ kD(k, ε0 )u 0 k22, Fпредставляет собой полином, поэтому неравенствоRe(A(k, ε0 )u 0 , u 0 ) F + ε20 c ♮ ku 0 k22, F − c ∗ kD(k, ε0 )u 0 k22, F < 0для него выполнено и при k в некоторой открытой окрестности точки k0 .
Обозначим через K множество тех точек этой окрестности, которые содержатся в Q∗ . Так как K имеет положительную меру, то равенство ṽ 0 (k, x) = 1K(k)u 0 (x) определяет в пространстве L 2 (Q∗ ; H̃ 1 ( F)n ) ненулевую функцию. Пусть v 0 есть прообраз ṽ 0 при отображении GHε0 ⊗ I . Тогдаv 0 ∈ H 1 (Rd )n , а из (1.5.3) вытекает, чтоRe(Aε0 v 0 , v 0 )Rd + c ♮ kv 0 k22,Rd − c ∗ kD v 0 k22,Rd =Z¡¢−2Re(A(k, ε0 )u 0 , u 0 ) F + ε20 c ♮ ku 0 k22, F − c ∗ kD(k, ε0 )u 0 k22, F dk < 0.= ε0KОднако это противоречит (1.1.13).Подобным же образом можно показать, что не существует таких τ ∈ Tи u ∈ H̃ 1 ( F)n с kuk2, F = 1, для которых (A(τ)u, u)F ∉ ε2 S; ср. с проверкойаналогичного результата в лемме 1.3.1.ä49Из леммы следует, что если µ ∉ S, то Aµ (τ) имеет ограниченный обратный. Ясно также, что m -секториален будет, причем с тем же сектором, исопряженный к Aµ (τ) оператор, который мы обозначим через Aµ (τ)+ . Вседальнейшие рассуждения можно параллельно проводить и для Aµ (τ)+ .Мы не станем отдельно формулировать соответствующие результаты,но будем ссылаться на них по номеру аналогичного утверждения дляоператора Aµ (τ), добавляя «+» после номера, например: «лемма 1.5.1+ »,«оценка (1.5.12+ )» и т.
п.Следующее утверждение содержит различные эллиптические оценкидля Aµ (τ).Лемма 1.5.2. При всех µ ∉ S, τ ∈ T и f ∈ L 2 ( F)n , g ∈ L 2 ( F)d ×nk(Aµ (τ))−1 ( f + D(τ)∗ g )k1,2, F;τ ∁ |τ|−1 k f k2, F + kg k2, F,−1kD(τ)D 2 (τ)(Aµ (τ)) f k2, F ∁ k f k2, F.(1.5.13)(1.5.14)Постоянные в оценках зависят лишь от d , n , µ, мультипликаторныхнорм коэффициентов и констант c # , C # , где # ∈ {A, a1 , a2 , q}.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
