Диссертация (1150426), страница 8
Текст из файла (страница 8)
[MV06]). Усреднение такого оператора изучалось в [ZhPas16, § 4].Что касается «сингулярного» члена нулевого порядка, то он появляетсяследующим образом. Пусть функция γ : Rd → Cd1 удовлетворяет тем жеусловиям, что и a2 в операторе Aε . Тогда если q = D 1∗ γ, то ε−1 q ε = D 1∗ γε иесть искомое «сингулярное» слагаемое.Мы заметим, что особенность при q ε может быть и более сильной.В [BSu03, § 6.1] (см. также [Su10, § 13]), например, рассматривался операторс членом нулевого порядка вида ε−2 q ε . Однако преобразование, котороепозволяет справиться с подобной «сингулярностью», уже выводит нас изисходного класса операторов (по краям оператора Aε появляются осциллирующие множители).Закончим этот параграф примерами конкретных операторов из математической физики, к которым будут применимы наши результаты.В первом мы рассмотрим скалярный оператор Шрёдингера с младшимичленами.
Второй будет посвящен матричному оператору теории упругости.1.1.3 Пример: оператор ШрёдингераМы начнем с того, что построим примеры мультипликаторов из пространств M(H 1 ( F), L 2 ( F)) и M(H 1 ( F), H 1 ( F)∗ ), для которых условие сильной подчиненности (1.1.12) выполнялось бы автоматически.Будем считать, что d > 1 и p > d .
Пусть сначала d2 = 0. Тогда множество F ограничено и, как хорошо известно, всякая функция γ ∈ L p ( F)32принадлежит M(H 1 ( F), L 2 ( F)). Более того, для любого δ > 0 найдется постоянная C F(δ) > 0, зависящая от d и p , такая что¡¢kγuk22, F É kγk2p, F δkDuk22, F +C F(δ)kuk22, F ,u ∈ H 1 ( F).(1.1.20)Доказательство данного результата опирается на неравенство Гёльдераи теорему вложения Соболева, притом существенную роль играет компактность соответствующего вложения.Если d2 6= 0, то вложения классов Соболева в пространства Лебега заведомо не будут компактными. Мы всё еще можем доказать оценку, похожую на (1.1.20), но лишь с фиксированным δ.
Чтобы она стала верна и длямалых δ, необходима дополнительная информация о функции γ. Такуюинформацию дает условие регулярности по переменной x 2 .Пусть одновременно γ ∈ L p ( F) и D 2 γ ∈ L p ( F). Тогда γ(x 1 , · ) ∈ Wp1 (Rd2 ) припочти всех x 1 , откуда |γ(x)| ∁ kγ(x 1 , · )k1,p,Rd2 . Это соотношение и позволяет распространить оценку вида (1.1.20) с ограниченного множества Q нанеограниченное множество F. Действительно, если u ∈ H 1 ( F), то согласно (1.1.20)¡¢kγ( · , x 2 )u( · , x 2 )k22,Q É kγ( · , x 2 )k2p,Q δkD 1 u( · , x 2 )k22,Q +C Q (δ)ku( · , x 2 )k22,Qпри почти всех x 2 ∈ Rd2 .
Поскольку |γ(x)| ∁ kγ(x 1 , · )k1,p,Rd2 , тоpppsup kγ( · , x 2 )kp,Q ∁ kD 2 γkp, F + kγkp, F,x2∈Rd2а значит,¢¡¢¡kγuk22, F ∁ kD 2 γk2p, F + kγk2p, F δkD 1 uk22, F +C Q (δ)kuk22, F .(1.1.21)¢¡¢¡|(γu, u) F| ∁ kD 2 γ1/2 k2p, F + kγkp/2, F δkD 1 uk22, F +C Q (δ)kuk22, F .(1.1.22)¡¢|(σu, u)Σ | É kσkp−1,Σ δkDuk22, F +C Σ (δ)kuk22, F ,(1.1.23)Отсюда же легко получается пример мультипликатора между H 1 ( F)и H 1 ( F)∗ . Если γ1/2 ∈ L p ( F) и D 2 γ1/2 ∈ L p ( F) (как и ранее, p > d ), то применяя (1.1.21) к γ1/2 , приходим к оценкеФункция γ тем самым представляет собой регулярное распределение изпространства M(H 1 ( F), H 1 ( F)∗ ).
Укажем еще пример сингулярного.Пусть Σ — (d − 1)-мерная компактная липшицевая поверхность в F.Обозначим через δΣ дельта-функцию, сосредоточенную на этой поверхности. Каждая функция u из H 1 ( F) имеет след на Σ, и можно говоритьо суммируемости δΣ u . Из неравенства Гёльдера и стандартной теоремывложения (теоремы о следах) следует, что если σ ∈ L p−1 (Σ), то при любомδ > 0 существует постоянная C Σ (δ) > 0, зависящая от d , p и Σ, такая чтоu ∈ H 1 ( F).Таким образом, σδΣ — сингулярное распределение из M(H 1 ( F), H 1 ( F)∗ ).Рассмотрим теперь периодический оператор Ĥε видаĤε = (D − A ε )∗ g ε (D − A ε ) + V ε .33Он интерпретируется как (возможно несамосопряженный) оператор Шрёдингера с переменной метрикой, магнитным и электрическим потенциалами. Будем предполагать, что метрика g является функцией из пространства C 0,1 (R̄d2 ; L̃ ∞ (Q))d ×d , а ее вещественная часть равномерно положительно определена.
Пусть магнитный потенциал A принадлежитWp1 (Rd2 ; L̃ p (Q))d . Далее, через Σ обозначим (d − 1)-мерную периодическую(относительно Zd1 ) липшицевую поверхность в Rd , пересечение которой сF компактно. Будем считать, что электрический потенциал V представля1/2ет собой сумму функции Vreg , такой что Vreg∈ Wp1 (Rd2 ; L̃ p (Q)), и распреде1ления Vsing = σδΣ , где σ ∈ W̃p−1(Σ ∩ F). (Заметим, что функция D 2Vreg такжеявляется мультипликатором, так как она содержится в L̃ p/2 ( F).) Легкопонять, что оператор Aε может быть записан в формеD ∗ A ε D + (a 1ε )∗ D + D ∗ a 2ε + q ε ,причем коэффициенты в такой записи удовлетворяют всем необходимымусловиям.Несложно построить аналогичный пример и для случая, когда d == 1. В качестве Σ возьмем дискретное периодическое множество в R ипредположим, что, во-первых, g ∈ L̃ ∞ ( F)d ×d , причем вещественная частьфункции g равномерно положительно определена, во-вторых, A ∈ L̃ 2 ( F)dи, в-третьих, V = Vreg + Vsing , где Vreg ∈ L̃ 1 ( F) , а Vsing = σδΣ с произвольнойпериодической функцией σ на Σ.Заметим, что, в соответствии с п.
1.1.2, магнитный и электрический потенциалы могут включать и «сингулярные», быстро растущие слагаемые.1.1.4 Пример: оператор теории упругостиКак и в предыдущем пункте, сначала мы приведем пример коэффициентов, для которых условия из § 1.1 принимают более простой вид. Из нихединственное условие, которое пока оставалось в стороне, — это условиекоэрцитивности (1.1.4) для матричного оператора.Пусть b(D) — однородный m × n -матричный дифференциальный оператор первого порядка с символомξ 7→ b(ξ) =dXb i ξi ,i =1где bi ∈ Cm×n .
Будем считать, что при некотором c > 0 выполненоb(ξ)∗ b(ξ) Ê c|ξ|2 ,ξ ∈ Rd(1.1.24)(это, конечно же, возможно только при m Ê n ). Предположим также,что C ∈ L̃ ∞ ( F)m×m , а ReC > 0, притом (ReC )−1 ∈ L̃ ∞ ( F). Тогда отображение A , компоненты которого имеют вид A i j = bi∗C b j , удовлетворяет условию (1.1.4) (и даже (1.1.19)). Чтобы в этом убедиться, следует сначала оценить снизу квадратичную форму оператора умножения на ReC ε , далее с34помощью преобразования Фурье перейти к символу оператора b(D), азатем применить (1.1.24):Re(A ε Du, Du)Rd = Re(C ε b(D)u, b(D)u)Rd Ê2Ê k(ReC )−1 k−1M kb(D)uk2,Rd Ê2Ê ck(ReC )−1 k−1M kDuk2,Rd .Отметим, что задачи усреднения для (самосопряженных) операторов,старшая часть которых имеет подобную структуру, изучались в работах М.
Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной в полностью периодическом случае(см., например, [BSu01], [BSu03], [BSu05] и [BSu06]), а также в работе Д. И. Борисова — в локально периодическом случае (см. [Bor08]).Покажем теперь, как свести оператор теории упругости к операторувида b(D)∗C ε b(D). Будем рассматривать многомерный случай d > 1.
Пустьu ∈ H 1 (Rd )d — вектор смещений, а e(u) — тензор деформаций:e(u) = 2−1 (∇u + (∇u)t ).Так как этот тензор симметричен, то его можно представить в виде вектора e ∗ (u) в пространстве Cm , где 2m = d (d + 1). Фиксируем каким-нибудьспособом изоморфизм e(u) 7→ e ∗ (u) между данными пространствами. Введем оператор b(D) так, чтобы выполнялосьb(D)u = −i e ∗ (u).При фиксированном изоморфизме символ ξ 7→ b(ξ) ∈ Rm×d определяетсяоднозначно, притом условие (1.1.24) для него заведомо выполнено.
Примеры вычисленных символов для d = 2 и d = 3 приведены в [BSu01, § 5.2].Пусть σ(u) — тензор напряжений, а σ∗ (u) — соответствующий ему элемент в Cm . Хорошо известный закон Гука о пропорциональности напряжений смещениям тогда может быть записан следующим образом:σ∗ (u) = C ε e ∗ (u).Тензор C ε : Rd → Cm×m , который появляется в этом соотношении, характеризует упругие свойства неоднородной среды. Энергия упругой деформации представляет собой квадратичную формуu 7→ 2−1 (C ε e ∗ (u), e ∗ (u))Rd .Порождаемый формой оператор E ε и есть оператор теории упругости:E ε = 2−1 b(D)∗C ε b(D).Таким образом, E ε сильно коэрцитивен, если вещественная часть функции C ∈ L̃ ∞ ( F)m×m равномерно положительно определена.
Отметим, чтодля изотропной среды последнее условие в точности означает, что и модуль сдвига, и модуль всестороннего сжатия равномерно положительноопределены (см. [BSu01, § 5.2]). Это довольно естественное с физическойточки зрения предположение обеспечивает устойчивость термодинамического равновесия среды, когда на нее не действуют внешние силы(см. [LL03, § 4]). Условие же Лежандра, о котором говорилось в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
