Диссертация (1150426), страница 16
Текст из файла (страница 16)
п. 1.2.1), а сглаживатели коммутируют с дифференцированием:k(N ε D + M ε )D 1 (P ε − S1ε )u 0 k2,Rd ÉÉ 2kN kM kDD 1 u 0 k2,Rd + 2kM kM kD 1 u 0 k12 ,2,Rd ∁ ku 0 k2,2,Rd .(1.6.17)Перейдем к другому слагаемому. Непосредственно проверяется, что P εи S1ε перестановочны, поэтомуP ε − S1ε = P ε (I − S1ε ) + S1ε (P ε − I ).(1.6.18)Тогда из (1.6.13), (1.6.15) и мультипликаторных свойств функций D 1 N , D 1 M(см.
п. 1.2.1) мы находим, чтоk((D 1 N )ε D + (D 1 M )ε )(P ε − S1ε )u 0 k2,Rd É¡¢É kD 1 N kM k(S1ε − I )Du 0 k2,Rd + k(P ε − I )Du 0 k2,Rd +¢¡+ kD 1 M kM k(S1ε − I )u 0 k12 ,2,Rd + k(P ε − I )u 0 k12 ,2,Rd ,откуда, ввиду (1.6.12) и (1.6.14),k((D 1 N )ε D + (D 1 M )ε )(P ε − S1ε )u 0 k2,Rd ∁ εku 0 k2,2,Rd .(1.6.19)Теперь (1.6.16), (1.6.17), (1.6.19) вместе с (1.2.24) дают (1.6.10).Оценка (1.6.11) доказывается похожим образом. В силу лемм 1.6.3 и 1.6.4и мультипликаторных свойств функций N и M ,k(N ε D + M ε )(P ε − S1ε )u 0 k2,Rd ∁ εku 0 k2,2,Rd(ср. с (1.6.19)).
Остается только сослаться на (1.2.24).В заключение отметим, что возможность перехода от P ε к S ε в оценке (1.4.3) была указана в работе [PSu12]. Там изучался полностью периодический оператор вида b(D)∗C ε b(D) с равномерно положительно определенной функцией C (соответственно, было справедливо условие (1.1.19) —см. п.
1.1.4), а вместо соотношения (1.6.18) использовалось некоторое специальное свойство функции N (его обобщением является лемма 1.6.5,приведенная ниже). Выясняется, что для более широкого класса операторов, когда условие (1.1.19) уже может не выполняться, без дополнительных предположений о функциях N и M (таких, например, как в п. 1.6.5)упомянутое свойство становится бесполезным — по этому поводу см. замечание 1.6.6.701.6.5 Об устранении сглаживающего оператораВыше мы уже отмечали, что именно оператор P ε гарантирует включение образа корректора Kµε в пространство H 1 (Rd )n , так что избавитьсяот сглаживателя, вообще говоря, нельзя.
Однако в некоторых случаяхбез него всё же удается обойтись. Подобная ситуация имеет место, когда, например, N ∈ M(L 2 ( F)) и M ∈ M(H 1 ( F), L 2 ( F)) (ввиду периодичностифункций N и M , данные условия равносильны включениям в M(L 2 (Rd ))и M(H 1 (Rd ), L 2 (Rd )) соответственно). Чтобы в этом убедиться, нужно проверить, что при произвольных f ∈ L 2 (Rd )nkD 1 (N ε D + M ε )(P ε − I )u 0 k2,Rd ∁ k f k2,Rd(1.6.20)k(N ε D + M ε )(P ε − I )u 0 k2,Rd ∁ εk f k2,Rd(1.6.21)(ср. с (1.6.10)) и(ср. с (1.6.11)); здесь, как и в предыдущем пункте, u 0 = (A0µ )−1f .Начнем с более простой оценки (1.6.21). Так какk(N ε D + M ε )(P ε − I )u 0 k2,Rd É kN kM k(P ε − I )Du 0 k2,Rd + kM kM k(P ε − I )u 0 k1,2,Rd ,то, согласно лемме 1.6.3 и неравенству (1.2.24),k(N ε D + M ε )(P ε − I )u 0 k2,Rd ∁ εku 0 k2,2,Rd ∁ εk f k2,Rd .Перейдем к (1.6.20).
Имеем:D 1 (N ε D + M ε )(P ε − I )u 0 = (N ε D + M ε )D 1 (P ε − I )u 0 ++ ε−1 ((D 1 N )ε D + (D 1 M )ε )(P ε − I )u 0 .(1.6.22)Первое слагаемое в правой части оценивается сразу с помощью (1.2.24):k(N ε D + M ε )D 1 (P ε − I )u 0 k2,Rd ÉÉ kN kM kDD 1 u 0 k2,Rd + kM kM kD 1 u 0 k1,2,Rd ∁ k f k2,Rd .(1.6.23)Второе слагаемое требует дополнительных соображений, поскольку общих свойств функций D 1 N и D 1 M из п. 1.2.1 сейчас недостаточно. В работе [Su042 ] было обнаружено, что если решение задачи на ячейке является мультипликатором, то его производная по «периодической» переменной — также мультипликатор (см.
[Su042 , предложение 8.2]). Следующееутверждение обобщает тот результат.Лемма 1.6.5. Пусть f ∈ M(H m ( F), L 2 ( F)), где m ∈ N0 , и пусть u( · , x 2 ) ∈∈ H̃01 (Q)n при почти всех x 2 ∈ Rd2 удовлетворяет равенствуD 1∗ A( · , x 2 )D 1 u( · , x 2 ) = D 1∗ f ( · , x 2 )(1.6.24)в смысле функционалов на H̃ 1 (Q)n . Тогда для любых w ∈ C c∞ (Rd )kD 1 u · wk22,Rd ∁ kuD 1 wk22,Rd + kuwk22,Rd + kwk2m,2,Rd .(1.6.25)Тем самым если u ∈ M(H m (Rd ), L 2 (Rd )), то D 1 u ∈ M(H m+1 (Rd ), L 2 (Rd )) иkD 1 u · wk22,Rd ∁ kD 1 wk2m,2,Rd + kwk2m,2,Rd .(1.6.26)71Доказательство. Сначала покажем, что при всех w ∈ C̃ c1 ( F)kD 1 u · wk22, F ∁ kuD 1 wk22, F + kwk2m,2, F.(1.6.27)Введем для краткости обозначения u x2 = u( · , x 2 ), w x2 = w( · , x 2 ) и т. д. Применим обе части равенства (1.6.24) к функции u x2 |w x2 |2 .
Тогда(A x2 D 1 u x2 w x2 , D 1 u x2 w x2 )Q == (A x2 D 1 w x2 · u x2 , D 1 u x2 w x2 )Q + (A x2 D 1 u x2 · w̄ x2 , D 1 w x2 · u x2 )Q ++ ( f x2 w x2 , D 1 u x2 w x2 )Q + ( f x2 w̄ x2 , D 1 w x2 · u x2 )Q .Слагаемое слева оценим снизу при помощи леммы 1.2.1, слагаемые справа — сверху по неравенству Коши. Затем проинтегрируем соотношениепо переменной x 2 и после несложных преобразований получим:kD 1 u · wk22, F ∁ kuD 1 wk22, F + k f wk22, F.Вспоминая, что f является мультипликатором, приходим к (1.6.27).Чтобы отсюда вывести оценку (1.6.25), достаточно воспользоваться подходящим разбиением единицы для Rd (например, такое разбиение единицы для случая m É 1 было построено в доказательстве леммы 1.6.1). äЗамечание 1.6.6.
Если предположить, что функция A удовлетворяетусловию (1.1.19), то член kuwk22,Rd в (1.6.25) можно опустить. Дело в том, чтоон появляется при переносе соответствующего неравенства с F на Rd .Однако условие (1.1.19) позволяет установить нужную оценку сразу дляRd , достаточно только заметить, что равенство функционалов в (1.6.24)остается верным и на классе C c1 (Rd1 )n .Сейчас функции N ∈ M(L 2 ( F)) и M ∈ M(H 1 ( F), L 2 ( F)) являются решениями задач вида (1.6.24) с f ∈ M(L 2 ( F)) для первой и f ∈ M(H 1 ( F), L 2 ( F)) — длявторой (см. (1.2.1) и (1.2.2)), поэтому мы можем применить лемму 1.6.5.
Используя еще масштабное преобразование, находим, что при u ∈ C c∞ (Rd )nk(D 1 N )ε Duk22,Rd ∁ ε2 kD 1 Duk22,Rd + kDuk22,Rd ,k(D 1 M )ε uk22,Rd ∁ ε2 kD 1 uk21,2,Rd + kuk21,2,Rd .Тем самымk((D 1 N )ε D + (D 1 M )ε )(P ε − I )u 0 k2,Rd ∁ εkD 1 u 0 k1,2,Rd + k(P ε − I )u 0 k1,2,Rd .Теперь из леммы 1.6.3 и неравенства (1.2.24) вытекает, чтоk((D 1 N )ε D + (D 1 M )ε )(P ε − I )u 0 k2,Rd ∁ εku 0 k2,2,Rd ∁ εk f k2,Rd .(1.6.28)Соотношение (1.6.22) и оценки (1.6.23) и (1.6.28) влекут за собой (1.6.20).721.6.6 О сходимости в классе Соболева H 1В то время как D 2 (Aεµ )−1 сходится по операторной норме, композицияD 1 (Aεµ )−1 может не иметь даже сильного предела.
Причина заключается втом, что Kµε содержит быстро осциллирующие функции, поэтому слагаемое εD 1 Kµε в (1.4.3) лишь равномерно ограничено по ε, но, вообще говоря,не мало. Сильная (а тогда и равномерная) сходимость оператора D 1 (Aεµ )−1эквивалентна равенству корректора нулю, что, в свою очередь, эквивалентно соотношениям D 1∗ A = 0 и D 1∗ a2 = 0.В самом деле, ввиду теоремы 1.4.2 и результатов из п. 1.6.4, при любыхf ∈ L 2 (Rd )nkD 1 u ε − D 1 u 0 − εD 1Uε k2,Rd ∁ εk f k2,Rd ,(1.6.29)где u ε = (Aεµ )−1f , u 0 = (A0µ )−1f и Uε = (N ε D +M ε )S1ε u 0 .
С другой стороны, еслиD 1 u ε сходится, то обязательно к D 1 u 0 , поскольку, как хорошо известно, Uεимеет равный нулю слабый предел. Тогда, объединяя (1.6.29) с очевиднойоценкойεkD 1Uε k2,Rd É kD 1 u ε − D 1 u 0 − εD 1Uε k2,Rd + kD 1 u ε − D 1 u 0 k2,Rd ,получаем:(1.6.30)lim εkD 1Uε k2,Rd = 0.ε→0Напомним, что A0µ является изоморфизмом H 2 (Rd )n и L 2 (Rd )n , а значит,мы можем выбрать f ∈ L 2 (Rd )n так, чтобы функция u 0 была равна 1 напараллелепипеде P 2r ×R (0) = Q 2r (0) × Q R (0) (при фиксированных r, R > 0)в Rd1 × Rd2 .
Учитывая, что P r ×R (0) + εQ ⊂ P 2r ×R (0) для ε É r , при таких ε ипри x ∈ P r ×R (0) находим:S1ε u 0 (x) =ZQu 0 (x 1 + εz, x 2 ) dz = 1.Отсюда εD 1Uε = (D 1 M )ε на P r ×R (0), а потомуε2 kD 1Uε k22,Rd Ê k(D 1 M )ε k22,P r ×R (0) == εd1 kD 1 M k22,Pε−1 r ×R (0)ÊÊ εd1 ⌊ε−1 r ⌋d1 kD 1 M k22,Q×Q R (0) ÊÊ (r − ε)d1 kD 1 M k22,Q×Q R (0) .Но тогда, согласно (1.6.30), D 1 M = 0 на F, и тем самым M = 0 (см. задачу (1.2.2)). Теперь похожие рассуждения (только с Du 0 = 1 на P 2r ×R (0)) показывают, что и N = 0. Обратное утверждение очевидно из теоремы 1.4.2:если N = 0 и M = 0, то оператор D 1 (Aεµ )−1 равномерно сходится. Существование же нулевых решений задач (1.2.1) и (1.2.2) равносильно выполнениюравенств D 1∗ A = 0 и D 1∗ a2 = 0.Таким образом, для сходимости (сильной или равномерной) оператора D 1 (Aεµ )−1 необходимо и достаточно, чтобы D 1∗ A = 0 и D 1∗ a2 = 0.
Заметим,что в таком случае эффективные коэффициенты получаются простымусреднением коэффициентов исходного оператора по ячейке Q.73Часть IIУСРЕДНЕНИЕЛОКАЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКИХОПЕРАТОРОВ74Краткое содержание второй частиВо второй части мы продолжим изучать задачу усреднения для сильноэллиптических операторов. До сих пор коэффициенты операторов зависели от «медленной» переменной x 2 и «быстрой» переменной ε−1 x 1 . Этипеременные принадлежали взаимно ортогональным пространствам ив данном смысле были разделены.
Сейчас мы отказываемся от подобного разделения и берем x и ε−1 x в качестве «медленной» и «быстрой»переменной соответственно. Получающиеся операторы перестают бытьпериодическими и — при должной регулярности коэффициентов — становятся локально периодическими.Положим Q = [−1/2, 1/2]d . Пусть A = {A i j }di, j =1 , где A i j ∈ C 0,s (R̄d ; L̃ ∞ (Q))n×nс произвольным s ∈ [0, 1]; это условие мы будем подразумевать без какихлибо оговорок.
Отметим, что не исключается ни случай s = 0, когда Aлишь равномерно непрерывна, ни случай s = 1, когда A уже липшицева. Рассмотрим ограниченный оператор Aε , который действует междуH 1 (Rd )n и H −1 (Rd )n и дается выражениемAε = D ∗ A ε D =dXi , j =1D i A εi j D j ,где D = −i ∇, а A ε (x) = A(x, ε−1 x). Предположим, что Aε равномерно коэрцитивен по ε из некоторого интервала E = (0, ε0 ], — иначе говоря, существуют постоянные c A > 0 и C A Ê 0, такие чтоRe(Aε u, u)Rd +C A kuk22,Rd Ê c A kDuk22,Rdпри всех u ∈ H 1 (Rd )n и ε ∈ E. Оператор Aε тогда оказывается m -секториальным, поэтому если µ находится вне соответствующего сектора S, тоопределена и равномерно ограничена резольвента (Aε −µ)−1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
