Диссертация (1150426), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При всех ε > 0 оператор τε T ε изометрично отображаетL̃ 2 (Rd × Q) в L 2 (Rd ; L 2 (Q)).Доказательство. Производя замену переменной, находим, чтоεkτ Tεuk22,Rd ×Q =Z ZRd|u(x, ε−1 x − z)|2 dx dz.QТак как функция u периодична по второму аргументу, правая часть вточности равна kuk22,Rd ×Q .äЛемма 2.3.4. При всех ε > 0 оператор τε S ε непрерывно отображаетL̃ 2 (Rd × Q) в L 2 (Rd ), притом соответствующая норма не превосходит 1.89Доказательство. Из неравенства Коши и леммы 2.3.3 сразу же следует,чтоkτε S ε uk2,Rd É kτε T ε uk2,Rd ×Q = kuk2,Rd ×Q .äКак T ε , так и S ε сходятся к единичному оператору в сильной операторной топологии, но не по норме. Равномерная сходимость всё же имеетместо, если сузить эти операторы на пространства Соболева.Лемма 2.3.5.
При всех ε > 0 и u ∈ C c∞ (Rd × Q)k(T ε − I )uk2,Rd ×Q×Q ∁ εkD 1 uk2,Rd ×Q .(2.3.6)Доказательство. Заметим, чтоu(x + εz, y) − u(x, y) = εiZ10откуда〈D 1 u(x + εt z, y), z〉 dt ,k(T ε − I )u( · , y, z)k2,Rd É εr Q kD 1 u( · , y)k2,Rd ,где r Q = 1/2 diam Q (разумеется, r Q = 1/2d 1/2 ). Возводя данное неравенствов квадрат и интегрируя по y и z , приходим к (2.3.6).äЛемма 2.3.6. При всех ε > 0 и u ∈ C c∞ (Rd × Q)k(S ε − I )uk2,Rd ×Q ∁ εkD 1 uk2,Rd ×Q ,k(S ε − I )uk2,Rd ×Q ∁ ε2 kD 1 D 1 uk2,Rd ×Q .(2.3.7)(2.3.8)Доказательство.
Оценка (2.3.7) прямо вытекает из неравенства Кошии леммы 2.3.5. Чтобы доказать (2.3.8), воспользуемся формулой Тейлора:u(x + εz, y) − u(x, y) = εi 〈D 1 u(x, y), z〉 − ε2Z10(1 − t )〈D 1 D 1 u(x + εt z, y) z, z〉 dt .Первое слагаемое в правой части имеет нулевое среднее значение при почти всех x и y (поскольку центр ячейки Q находится в начале координат),а значит,k(S ε − I )u( · , y)k2,Rd É ε2 r Q2 kD 1 D 1 u( · , y)k2,Rd .Остается возвести полученное неравенство в квадрат и проинтегрироватьпо переменной y .äСледующий результат является комбинацией двух последних лемм.Лемма 2.3.7. При всех ε > 0 и u ∈ C̃ c∞ (Rd × Q)kτε T ε u − τε S ε uk2,Rd ×Q ∁ εkD 1 uk2,Rd ×Q .Доказательство.
Запишем разность τε T ε u и τε S ε u в видеτε T ε u − τε S ε u = τε T ε (I − S ε )u + τε S ε (T ε − I )u.90(Оговоримся, что оператор S ε действует на функции только двух переменных, поэтому, применяя S ε к T ε u , необходимо трактовать новую переменную, которая возникает из-за T ε , как параметр; это равносильноотождествлению S ε T ε с T ε S ε .) Тогда в силу лемм 2.3.3 и 2.3.6kτε T ε (I − S ε )uk2,Rd ×Q ∁ εkD 1 uk2,Rd ×Q ,а согласно леммам 2.3.4 и 2.3.5kτε S ε (T ε − I )uk2,Rd ×Q ∁ εkD 1 uk2,Rd ×Q .Отсюда и вытекает искомая оценка.äЗамечание 2.3.8.
Утверждения лемм 2.3.3–2.3.7 останутся в силе, еслизаменить в них L 2 -нормы на L p -нормы с p ∈ [1, ∞], нужно только вместо неравенства Коши использовать неравенство Гёльдера. В частности,выясняется, что при всех ε > 0 и u ∈ C̃ c∞ (Rd × Q) выполненоkτε T ε u − τε S ε uk1,Rd ×Q ∁ εkD 1 uk1,Rd ×Q .(2.3.9)Данная оценка понадобится нам в п. 2.6.4.2.3.2 КорректорыКорректор Kµε : L 2 (Rd )n → H 1 (Rd )n дается формулойKµε = τε S ε Kµ ,(2.3.10)или, в подробной записи,Kµε f(x) =ZQN (x + εz, ε−1 x)D(A0µ )−1f (x + εz) dz.Он непрерывен благодаря сглаживателю S ε , причемεkD Kµε f k2,Rd + kKµε f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(2.3.11)Действительно, принимая во внимание равенствоεD Kµε = ετε S ε D 1 Kµ + τε S ε D 2 Kµ(2.3.12)и используя лемму 2.3.4, находим, чтоεkD Kµε f k2,Rd + kKµε f k2,Rd ∁ kKµ f k1,2,Rd ×Q ,а тогда (2.3.11) следует из (2.3.2).Хотя L 2 -норма функции Kµε f лишь равномерно ограничена по параметру ε, L 2 -норма S ε Kµε f оказывается мала, когда ε → 0.Лемма 2.3.9.
При всех ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkS ε Kµε f k2,Rd ∁ εk f k2,Rd .(2.3.13)91Доказательство. По определению S ε и Kµε ,SεKµε f(x) =SKµε fKµ f (x + εw + εz, ε−1 x + z) dw dz,ZZT ε Kµ f (x + εw, ε−1 x + z, z) dw dz.Q QилиεZZ(x) =Q QКроме того, так как Kµ f (x, · ) — периодическая функция с нулевым средним, тоZZQ QKµ f (x + εw, ε−1 x + z) dw dz = 0,а значит,SεKµε f(x) =ZZQ Q(T ε − I )Kµ f (x + εw, ε−1 x + z, z) dw dz.Проводя замену переменных x 7→ x + εw и вновь учитывая, что функция Kµ f периодична по второму аргументу, находим:kS ε Kµε f k2,Rd É k(T ε − I )Kµ f k2,Rd ×Q×Q .Нужный результат теперь получается из леммы 2.3.5 и оценки (2.3.2). äЗамечание 2.3.10.
Напомним, что в периодическом случае композициясглаживателя P ε и корректора Kµε была равна нулю (нулю был равенкаждый слой этой композиции в прямом интеграле, см. (1.5.34) и (1.5.35)).Доказанное в лемме 2.3.9 свойство является в некотором роде аналогомтого результата.Чтобы ввести второй корректор, потребуются дополнительные обозначения. Пусть (Aεµ )+ — сопряженный к Aεµ оператор. Мы можем построитьдля него эффективный оператор (A0µ )+ , корректор (Kµε )+ и другие объекты(которые также будут помечены знаком “+”) точно так же, как это былосделано ранее для оператора Aεµ .
(Заметим, что (A0µ )+ и A0µ оказываютсявзаимно сопряженными — см. п. 2.6.2.) Поскольку функции A и A + удовлетворяют одинаковым условиям, то все результаты, которые имеютместо для Aεµ , переносятся и на (Aεµ )+ . Мы будем ссылаться на эти результаты, добавляя “+” после номера соответствующего утверждения для Aεµ ,например: лемма 2.3.9+ , оценка (2.3.11+ ).Зададим Lµ : L 2 (Rd )n → L 2 (Rd )n и Mεµ : L 2 (Rd )n → L 2 (Rd )n выражениямиLµ = (D 1 Kµ+ )∗ A(D 1 (A0µ )−1 + D 2 Kµ )и¢∗¡Mεµ = ε−1 τε T ε (D 1 ((A0µ )+ )−1 + D 2 Kµ+ ) τε [A, T ε ](D 1 (A0µ )−1 + D 2 Kµ ).(2.3.14)(2.3.15)Удобнее работать не напрямую с этими операторами, а с их формами.Если u 0 = (A0µ )−1f , U = Kµ f и u 0+ = ((A0µ )+ )−1 g , U + = Kµ+ g , то, очевидно,(Lµ f , g )Rd = (A(D 1 u 0 + D 2U ), D 1U + )Rd ×Q(2.3.16)92и(Mεµ f , g )Rd = ε−1 (τε [A, T ε ](D 1 u 0 + D 2U ), τε T ε (D 1 u 0+ + D 2U + ))Rd ×Q .(2.3.17)Несложно понять, что Lµ и Mεµ непрерывны.
В самом деле,|(Lµ f , g )Rd | É kAkM kD 1 u 0 + D 2U k2,Rd ×Q kD 1U + k2,Rd ×Q ,и потому, согласно оценкам (2.2.13), (2.3.2) и (2.3.2+ ),kLµ f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(2.3.18)Аналогично, учитывая тождествоτε [A, T ε ] = τε (I − T ε )A · τε T ε(2.3.19)(см. (2.1.2) и (2.3.4)), находим, что|(Mεµ f , g )Rd | É r Q kD 1 AkM kτε T ε (D 1 u 0 +D 2U )k2,Rd ×Q kτε T ε (D 1 u 0+ +D 2U + )k2,Rd ×Q ,откуда, в силу леммы 2.3.3 и оценок (2.2.13), (2.3.2) и (2.2.13+ ), (2.3.2+ ),kMεµ f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(2.3.20)Второй корректор Cµε : L 2 (Rd )n → L 2 (Rd )n определяется равенствомCµε = (Kµε − Lµ ) − Mεµ + ((Kµε )+ − L+µ )∗ .(2.3.21)Его непрерывность вытекает из оценок (2.3.11), (2.3.18), (2.3.20) и (2.3.11+ ),(2.3.18+ ), притомkCµε f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(2.3.22)Замечание 2.3.11.
Оператор Lµ может быть записан в формеLµ = (A0µ )−1 L (A0µ )−1 ,где L : H 2 (Rd )n → H −1 (Rd )n — дифференциальный оператор третьего порядка с ограниченными коэффициентами:L=D∗µZQ+∗N ( · , y)D 1∗ A( · , y)(I¶+ D 2 N ( · , y)) dy D(ср. с замечанием 1.3.2). Аналогичным образом представляется и оператор Mεµ .
Введем функциюM ε (x) = ε−1ZQ(I + D 2 N + (x, ε−1 x + z))∗ ∆εz A(x, ε−1 x + z)(I + D 2 N (x, ε−1 x + z)) dz(она, очевидно, ограничена). ТогдаMεµ = (A0µ )−1 Mε (A0µ )−1 ,где Mε : H 1 (Rd )n → H −1 (Rd )n — дифференциальный оператор второго порядка с ограниченными коэффициентами:Mε = D ∗ M ε D.93Замечание 2.3.12. Напомним, что в периодическом случае корректор Cµεне содержал слагаемое Mεµ (см. (1.3.8)). В п. 2.6.4 мы приведем пример,который показывает, что обойтись без этого слагаемого сейчас, вообщеговоря, нельзя.
Там же мы укажем некоторые частные случаи, когда отMεµ всё же удается избавиться.Замечание 2.3.13. Согласно замечанию 2.3.1, постоянные в оценке (2.3.11)для D 1 Kµε и в оценке (2.3.13) для S ε Kµε зависят от kD 1 AkM линейно. То жесамое можно сказать и о константах в (2.3.18), (2.3.20), а следовательно, ив (2.3.22).2.4 Основные результатыТеорема 2.4.1.
Если µ ∉ S, то при любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f k2,Rd ∁ εk f k2,Rd ,kD(Aεµ )−1f− D(A0µ )−1f− εD Kµε f k2,Rd∁ εk f k2,Rd .(2.4.1)(2.4.2)Оценки точны по порядку, а постоянные зависят лишь от параметров n ,d , µ, величин kAkM и kD 1 AkM и констант c A и C A .Следствие 2.4.2. Если µ ∉ S и r ∈ (0, 1), то при любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f )k2,Rd ∁ ε1−r k f k2,Rd .(2.4.3)Постоянная в оценке зависит лишь от параметров r , n , d , µ, величин kAkMи kD 1 AkM и констант c A и C A .Теорема 2.4.3.
Если µ ∉ S, то при любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f k2,Rd ∁ ε2 k f k2,Rd .(2.4.4)Оценка точна по порядку, а постоянная зависит лишь от параметров n ,d , µ, величин kAkM и kD 1 AkM и констант c A и C A .Следствие 2.4.4. Если µ ∉ S и r ∈ (0, 1], то при любых ε ∈ E и f ∈ L 2 (Rd )nkD r,2 ((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f )k2,Rd ∁ ε2−r k f k2,Rd .(2.4.5)Постоянная в оценке зависит лишь от параметров n , d , µ, величин kAkMи kD 1 AkM и констант c A и C A .2.5 Доказательство основных результатовНаша ближайшая цель — получить аналог «резольвентного» тождестваиз главы 1, которое бы связало операторы (Aεµ )−1 , (A0µ )−1 и Kµε .
При этом мыпродолжим использовать, по существу, те же самые идеи, что и в п. 1.5.2,но технические приемы будут значительно отличаться, что сопряженов первую очередь со сменой сглаживающего оператора. Доказательстватеорем 2.4.1 и 2.4.3 будут строиться уже вокруг полученного тождества.942.5.1 «Резольвентное» тождествоЗафиксируем произвольные функции f ∈ L 2 (Rd )n , g ∈ H −1 (Rd )n и положим u 0 = (A0µ )−1f , U = Kµ f , Uε = Kµε f и u ε+ = ((Aεµ )+ )−1 g . Тогда((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εKµε f , g )Rd = (A0 u 0 , u ε+ )Rd − (Aε (S ε u 0 + εUε ), u ε+ )Rd −− (Aε (I − S ε )u 0 , u ε+ )Rd + εµ(Uε , u ε+ )Rd .(2.5.1)Рассмотрим отдельно два первых слагаемых в правой части.
По определению эффективных коэффициентов (см. формулу (2.2.6)),(A0 u 0 , u ε+ )Rd = (A(D 1 u 0 + D 2U ), D 1 u ε+ )Rd ×Q ,поэтому, применяя лемму 2.3.3, получаем:(A0 u 0 , u ε+ )Rd = (τε T ε A(D 1 u 0 + D 2U ), T ε D 1 u ε+ )Rd ×Q(2.5.2)(мы учли, что u ε+ не зависит от второго аргумента, а значит, τε u ε+ = u ε+ ).Далее, ввиду (2.3.5) и (2.3.12),(Aε (S ε u 0 + εUε ), u ε+ )Rd = (τε A T ε (D 1 u 0 + D 2U ), D 1 u ε+ )Rd ×Q ++ ε(τε A T ε D 1U , D 1 u ε+ )Rd ×Q .(2.5.3)Теперь, коммутируя T ε с A в первом слагаемом справа и комбинируяполучающееся тождество с (2.5.2), находим, что(A0 u 0 , u ε+ )Rd − (Aε (S ε u 0 + εUε ), u ε+ )Rd == (τε T ε A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )D 1 u ε+ )Rd ×Q −− (τε [A, T ε ](D 1 u 0 + D 2U ), D 1 u ε+ )Rd ×Q −(2.5.4)− ε(τε A T ε D 1U , D 1 u ε+ )Rd ×Q .Из приведенных в § 2.1–2.3 фактов уже сейчас понятно, что последниедва члена в правой части (2.5.4) малы при ε → 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
