Диссертация (1150426), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

с выводом (2.5.8)). Очевидно также, что|(τε T ε A(D 1 u 0 + D 2U ) − τε S ε A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )D 1 u 0+ )Rd ×Q | ÉÉ kτε T ε A(D 1 u 0 + D 2U ) − τε S ε A(D 1 u 0 + D 2U )k2,Rd ×Q k(T ε − I )D 1 u 0+ k2,Rd ×Q .Отсюда, согласно леммам 2.3.5, 2.3.7 и оценкам (2.2.13), (2.3.2) и (2.2.13+ ),|(τε T ε A(D 1 u 0 + D 2U ) − τε S ε A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )D 1 u 0+ )Rd ×Q | ∁∁ ε2 k f k2,Rd kg k2,Rd .Теперь достаточно установить, что|(τε S ε A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )D 1 u 0+ )Rd ×Q | ∁ ε2 k f k2,Rd kg k2,Rd .Здесь оцениваемая величина содержит два интегрирования по множеству Q: одно обусловлено скалярным произведением, а второе возникаетиз-за действия сглаживания S ε .

Легко понять, что изменение порядка101интегрирования соответствует перемене ролей операторов T ε и S ε , такчто(τε S ε A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )D 1 u 0+ )Rd ×Q == (τε T ε A(D 1 u 0 + D 2U ), (S ε − I )D 1 u 0+ )Rd ×Q .Применяя снова лемму 2.5.1, получаем:(τε T ε A(D 1 u 0 + D 2U ), (S ε − I )D 1 u 0+ )Rd ×Q == (τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (S ε − I )u 0+ )Rd ×Q .Таким образом,|(τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (S ε − I )u 0+ )Rd ×Q | ÉÉ kτε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U )k2,Rd ×Q k(S ε − I )u 0+ k2,Rd ×Q ,и, в силу лемм 2.3.3, 2.3.6 и оценок (2.2.13), (2.3.2) и (2.2.13+ ),|(τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (S ε − I )u 0+ )Rd ×Q | ∁ ε2 k f k2,Rd kg k2,Rd ,что завершает доказательство неравенства (2.5.20), а вместе с ним — исоотношения (2.5.15).В итоге (2.5.10) и (2.5.15) дают:((Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f , g )Rd ≈≈ (τε T ε D 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U ), (T ε − I )(u ε+ − u 0+ − εUε+ ))Rd ×Q −− (τε [A, T ε ](D 1 u 0 + D 2U ), D 1 (u ε+ − u 0+ − εUε+ ))Rd ×Q −ε+ε+(2.5.22)+− ε(τ A T D 1U , D 1 (u ε − u 0 − εUε ))Rd ×Q −− (Aε (I − S ε )u 0 , u ε+ )Rd + εµ(Uε , u ε+ )Rd .Используя сначала неравенства (2.5.11), (2.5.12) и (2.5.13) с u ε+ − u 0+ − εUε+ вместо u ε+ , а затем оценки (2.2.13), (2.3.2) и (2.4.2+ ), мы заключаем, что нормыоператоров, связанных с первыми тремя формами в правой части, имеютпорядок ε2 .

Последние две формы перепишем так:(Aε (I − S ε )u 0 , u ε+ )Rd = ((I − S ε )u 0 , g + µ̄u ε+ )Rdиε(Uε , u ε+ )Rd = ε(S εUε , u ε+ )Rd + ε(Uε , (I − S ε )u ε+ )Rd .Ввиду леммы 2.3.6 и оценок (2.2.13) и (2.1.7+ ),¡¢|(Aε (I − S ε )u 0 , u ε+ )Rd | É k(I − S ε )u 0 k2,Rd kg k2,Rd + |µ|ku ε+ k2,Rd ∁∁ ε2 k f k2,Rd kg k2,Rd .В то же время, по леммам 2.3.6, 2.3.9 и оценкам (2.3.11) и (2.1.7+ ),ε|(Uε , u ε+ )Rd | É εkS εUε k2,Rd ku ε+ k2,Rd + εkUε k2,Rd k(I − S ε )u ε+ k2,Rd ∁∁ ε2 k f k2,Rd kg k2,Rd .Теорема полностью доказана.Замечание 2.5.3. Имея в виду замечания 2.1.1, 2.2.6, 2.3.1, 2.3.13, а также иханалоги для сопряженных операторов и аккуратно учитывая зависимостьпостоянных от липшицевой полунормы функции A , нетрудно убедиться,что константа в (2.4.4) оказывается квадратичной по kD 1 AkM .1022.5.5 Доказательство следствия 2.4.4Мы знаем из теоремы 2.4.3, чтоk(Aεµ )−1f − (A0µ )−1f − εCµε f k2,Rd ∁ ε2 k f k2,Rd ,(2.5.23)и если еще установить оценкуkD(Aεµ )−1f − D(A0µ )−1f − εD Cµε f k2,Rd ∁ εk f k2,Rd ,(2.5.24)то, интерполируя между (2.5.23) и (2.5.24), придем к (2.4.5).

Отдельные члены из (2.5.24) уже были рассмотрены ранее, см. (2.4.2), и сейчас в проверкенуждается лишь неравенствоkD Cµε f − D Kµε f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .(2.5.25)Напомним, что сопряженный к (A0µ )−1 оператор ограничен, а значит,|( f , Du 0+ )Rd | ∁ k f k2,Rd kg k−1,2,Rd .(2.5.26)Отсюда и из леммы 2.2.1 становится ясно, что Kµ+ непрерывно отображаетH −1 (Rd )n в L 2 (Rd ; H̃ 1 (Q))n :kD 2U + k2,Rd ×Q + kU + k2,Rd ×Q ∁ kg k−1,2,Rd .(2.5.27)Тогда, по лемме 2.3.4, непрерывен и корректор (Kµε )+ как оператор изH −1 (Rd )n в L 2 (Rd ):|( f , (Kµε )+ g )Rd | É k f k2,Rd kU + k2,Rd ×Q ∁ k f k2,Rd kg k−1,2,Rd .Далее,(2.5.28)|(Lµ f , g )Rd | É kD 1∗ A(D 1 u 0 + D 2U )k2,Rd ×Q kU + k2,Rd ×Q ,поэтому, в силу (2.2.13), (2.3.2) и (2.5.27),|(Lµ f , g )Rd | ∁ k f k2,Rd kg k−1,2,Rd .(2.5.29)Аналогично|( f , L+µ g )Rd | É kD 1U k2,Rd ×Q kA + (D 1 u 0+ + D 2U + )k2,Rd ×Q ,откуда, согласно (2.3.2), (2.5.26) и (2.5.27),|( f , L+µ g )Rd | ∁ k f k2,Rd kg k−1,2,Rd .(2.5.30)Наконец,|(Mεµ f , g )Rd | É r Q kD 1 AkM kτε T ε (D 1 u 0 +D 2U )k2,Rd ×Q kτε T ε (D 1 u 0+ +D 2U + )k2,Rd ×Q ,так что из леммы 2.3.3 и оценок (2.2.13), (2.3.2), (2.5.26) и (2.5.27) находим:|(Mεµ f , g )Rd | ∁ k f k2,Rd kg k−1,2,Rd .(2.5.31)Теперь (2.5.25) вытекает из (2.3.21) и (2.5.28)–(2.5.31).1032.6 Комментарии к главе 22.6.1 О спектральном параметреКак и ранее в главе 1, все утверждения — теоремы 2.4.1, 2.4.3 и следствия 2.4.2, 2.4.4 — остаются в силе для любых µ ∉ spec A0 (под spec A0подразумевается спектр A0 как оператора на L 2 (Rd )n ), хотя и при µ ∈ Sможет потребоваться заменить E на, возможно более узкий, интервал Eµ .Предположим, что µ ∈ S.

Сейчас от положения спектрального параметра зависит только, будут ли выполнены неравенства (2.1.7) и (2.2.13).Если µ ∉ spec A0 , то справедливость последнего вытекает из тождестваГильберта; первое же сводится, опять с помощью тождества Гильберта, ктому, что при любых ε ∈ Eµ и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aεµ )−1f k2,Rd ∁ k f k2,Rd .Такую оценку несложно получить, повторив рассуждения из п. 1.6.1 с подходящим тождеством для резольвент. Из них же следует, что в качествеEµ можно взять интервал (0, εµ,ν ∧ε0 ], где εµ,ν — произвольное число, удовлетворяющее соотношениюdist(µ, spec A0 )εµ,ν <C ν |µ − ν|(dist(µ, spec A0 ) + |µ − ν|)с некоторым ν ∉ S (C ν — константа из правой части неравенства (2.4.1),записанного для спектрального параметра ν).2.6.2 О самосопряженностиЛегко понять, что (A0 )+ = (A0 )∗ .

Действительно, ввиду (2.2.1) и (2.2.1+ ),ZQ++A (x, y)(I + D 2 N (x, y)) dy ==ZZQQ(I + D 2 N (x, y))∗ A + (x, y)(I + D 2 N + (x, y)) dy =(I + D 2 N (x, y))∗ A ∗ (x, y) dy,откуда (A + )0 = (A 0 )∗ (см. (2.2.6) и (2.2.6+ )). Тем самым если A + = A , то (A 0 )∗ == A 0 и N + = N , а потому при вещественном µ приближения к резольвентеоператора Aε , выписанные в (2.4.1) и (2.4.3)–(2.4.5), оказываются самосопряженными. Приближение из (2.4.2) также можно сделать самосопряженным, взяв, например, Kµε + (Kµε )∗ (или Cµε , как в следствии 2.4.5; см.

(2.5.24))вместо корректора Kµε — для этого нужно только учесть, что операторD(Kµε )∗ равномерно ограничен на L 2 , см. (2.5.28).2.6.3 О сходимости в классе Соболева H 1В следствии 2.4.2 мы доказали, что при r < 1 композиция D r,2 (Aεµ )−1сходится в равномерной операторной топологии. Однако, из-за быстро104осциллирующих функций в корректоре Kµε , у оператора D(Aεµ )−1 можетне быть даже сильного предела. Покажем, что сильная (а тогда и равномерная) сходимость оператора D(Aεµ )−1 возможна, лишь когда N = 0.Достаточность очевидна из теоремы 2.4.1. Пусть D(Aεµ )−1 имеет сильныйпредел. Хорошо известно, что D(Aεµ )−1 сходится в слабой операторнойтопологии к D(A0µ )−1 , а значит, и в сильной пределом будет D(A0µ )−1 .

Тогда,согласно теореме 2.4.1, при всех f ∈ L 2 (Rd )nεkDUε k2,Rd É kDu ε − Du 0 − εDUε k2,Rd + kDu ε − Du 0 k2,Rd −−−→ 0.ε→0Отсюда и из равенства (2.3.12), леммы 2.3.4 и оценки (2.3.2)limkτε S ε D 2U k2,Rd = 0.ε→0Учитывая еще лемму 2.3.7 и оценку (2.3.2), получаем, чтоlimkτε T ε D 2U k2,Rd ×Q = 0.ε→0Но в силу леммы 2.3.3 норма в левой части не зависит от ε и совпадает снормой функции D 2U , а потому последняя тождественно равна нулю. Таккак A0µ является изоморфизмом между H 2 (Rd )n и L 2 (Rd )n , а f есть произвольный элемент из L 2 (Rd )n , мы делаем вывод, что D 2 N = 0 (см.

(2.3.1)), итем самым N = 0 (ввиду неравенства Пуанкаре).В свою очередь, равенство N = 0 равносильно тому, что D 2∗ A = 0 (поскольку задача (2.2.1) однозначно разрешима — см. лемму 2.1.2). Очевидно,что тогда A 0 (x) совпадает со средним значением отображения A(x, · ) поячейке Q.В заключение отметим, что если интересоваться сходимостью композиции не с полным градиентом, а только с одной (или несколькими) из егокомпонент, то достаточно, например, предположить, что функция A не зависит от соответствующей компоненты «быстрой» переменной. Скажем,композиция i -й компоненты градиента с резольвентой будет равномерносходиться, если A не зависит от i -й компоненты второго аргумента.

Именно так было с дифференцированием по «непериодической» переменнойв главе 1 — см. оценку (1.4.2) из теоремы 1.4.1.2.6.4 О слагаемом Mεµ в корректоре CµεКак мы знаем, оператор Mεµ равномерно ограничен по ε, см. (2.3.20).В некоторых случаях удается показать, что, более того,kMεµ f k2,Rd ∁ εk f k2,Rd ,(2.6.1)и тогда Mεµ может быть исключен из корректора Cµε , поскольку там, гдепоследний используется (именно: в теореме 2.4.3 и следствии 2.4.4), соответствующее слагаемое имеет порядок погрешности.105Оценка (2.6.1) справедлива, например, при A ∈ C 1,1 (R̄d ; L̃ ∞ (Q)). Для тогочтобы в этом убедиться, отметим следующее: если u, v ∈ H̃ 1 (Rd × Q)d ×n , тоu v̄ ∈ W̃11 (Rd × Q) и, согласно (2.3.9),¯ ε¯(τ (I − T ε )A · τε T ε u, τε T ε v)Rd ×Q − (τε εε¯(I − S ε )A · τε T ε u, τε T ε v)Rd ×Q ¯ ÉÉ εr Q kD 1 AkM kτε T ε u v̄ − τ S u v̄k1,Rd ×Q ∁ ε2 kD 1 u v̄k1,Rd ×Q(мы изменили порядок интегрирования во втором слагаемом слева, чтобы перейти от (I − S ε )A к (I − T ε )A ; подобный прием уже применялся вдоказательстве теоремы 2.4.3).

Это означает, что функцию τε (I − T ε )A вMεµ можно заменить на τε (I − S ε )A , допустив ошибку порядка ε. СейчасA ∈ C 1,1 (R̄d ; L̃ ∞ (Q)), поэтому такие же рассуждения, как при выводе (2.3.8),позволяют получить оценкуk(S ε − I )AkM ∁ ε2 kD 1 D 1 AkM ,которая как раз и дает улучшение порядка нормы Mεµ в ε раз.Другой пример, когда выполняется неравенство (2.6.1), уже был рассмотрен в главе 1. Дело в том, что если функция A ε имеет вид A ε (x) == A(x 2 , ε−1 x 1 ), где x = x 1 ⊕ x 2 , то вместо T ε можно взять оператор сдвига поодной лишь переменной x 1 :T1ε u(x, y)(z 1 ) = u(x 1 + εz 1 , x 2 , y);иначе говоря, достаточно проводить сглаживание только по «периодической» переменной (подобное сглаживание появилось в п.

Характеристики

Список файлов диссертации