Диссертация (1150426), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При всех ε ∈ E и δ > 0 справедлива оценкаRe(Aε (δ)Du, Du)Rd +C A kuk22,Rd Ê c A δ kDuk22,Rd ,u ∈ H 1 (Rd )n ,(3.3.8)где c Aδ = c A − kA δ − AkM , так что c Aδ → c A , когда δ → 0.Доказательство. Оценка следует из условия (2.1.5), если учесть, чтоRe(Aε (δ)Du, Du)Rd Ê Re(Aε Du, Du)Rd − kA δ − AkM kDuk22,Rd .Сходимость c Aδ к c A обеспечивает лемма 3.3.4.äЗамечание 3.3.7. Согласно той же лемме 3.3.4, при s > 0 мы можем полностью контролировать величину c Aδ .Таким образом, как только c Aδ > 0, оператор Aε (δ) оказывается m -секториальным с секторомSδ = z ∈ C : |Im z| É c −1A δ C ♭ (Re z +C A ) .©ª(3.3.9)Он имеет ту же самую вершину, что и сектор S для исходного оператора(см.
его определение в (2.1.6)), но больший угол раствора, так что S ⊂ Sδ .Далее, поскольку c Aδ → c A , то Sδ сходится к S в смысле Вайсмана, то естьdist(z, Sδ ) → dist(z, S) для любого фиксированного z ∈ C. Это позволяет приµ ∉ S получить оценку нормы Aεµ (δ)−1 , которая равномерна сразу по двумпараметрам — ε и δ.Лемма 3.3.8. Пусть µ ∉ S. Тогда найдется такое δµ > 0, что µ ∉ Sδ привсех δ É δµ . Более того, если ε ∈ E, δ É δµ и f ∈ H −1 (Rd )n , тоkAεµ (δ)−1f k1,2,Rd ∁ k f k−1,2,Rd .(3.3.10)Доказательство.
Нам известно, что dist(µ, Sδ ) → dist(µ, S), а посколькутакже dist(µ, S) > 0, то для достаточно малых δ выполнено dist(µ, Sδ ) Ê dµ снекоторым dµ > 0 (и тем самым µ ∉ Sδ ). Уменьшая δ еще, добьемся того,чтобы постоянная c A δ была отделена от нуля (может потребоваться лишьпри Re µ < −C A ). Тогда оператор Aε (δ) окажется равномерно ограниченным и коэрцитивным, а расстояние от отвечающего ему сектора до µбудет не меньше положительного числа d µ , откуда и вытекает (3.3.10). äЗамечание 3.3.9. Если s > 0, то можно найти, насколько близки границысекторов Sδ и S (см. замечание 3.3.7), а значит, δµ контролируется явно.Всюду ниже будем считать, что δ ∈ Dµ , где Dµ = (0, δµ ], а величина δµвыбрана так, как указано в лемме 3.3.8.
Это допущение, в частности, гарантирует отделенность постоянной c Aδ от нуля, чем мы будем часто пользоваться. Чтобы избежать лишних оговорок, примем также, что δµ É e −1 .Следующий результат позволит в приближениях перейти от резольвенты исходного оператора Aε к резольвенте регуляризованного оператора Aε (δ).120Лемма 3.3.10. При всех ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈ H −1 (Rd )nkAεµ (δ)−1f − (Aεµ )−1f k1,2,Rd ∁ kA δ − AkM k f k−1,2,Rd .(3.3.11)Доказательство. Положим u ε,δ = Aεµ (δ)−1f и u ε+ = ((Aεµ )+ )−1 g , где f , g ∈∈ H −1 (Rd )n . Поскольку операторы (Aεµ )+ и Aεµ взаимно сопряжены, то¯¯|(Aεµ (δ)−1f − (Aεµ )−1f , g )Rd | = ¯(u ε,δ , (Aεµ )+ u ε+ )Rd − (Aεµ (δ)u ε,δ , u ε+ )Rd ¯ == |((A ε − A εδ )Du ε,δ , Du ε+ )Rd |.Учитывая (3.3.10) и (3.1.1+ ), приходим к (3.3.11).ä3.3.3 Приближение для решения вспомогательной задачиФункция A δ удовлетворяет неравенству вида (2.1.8), но с постоянной c A δвместо c A , а так как эта постоянная положительна при любом δ ∈ Dµ , товспомогательная задача для регуляризованного оператора Aε (δ) имеетединственное решение; обозначим его через Nδ (обозначение Nξ из § 2.2больше использоваться не будет, поэтому опасности смешения нет).Сначала мы установим оценки функции Nδ и ее дробных производных.Лемма 3.3.11.
При любых δ ∈ Dµ выполнено kNδ kM ∁ 1 и kD 1r,2 D 2 Nδ kM ++ kD 1r,2 Nδ kM ∁ kD 1r,2 A δ kM , где r ∈ (0, 1).Доказательство. Соотношения для D 2 Nδ и ∆h D 2 Nδ вида (2.2.2) и (2.2.5)сразу же дают:kD 2 Nδ kM ∁ kA δ kMиkD 1r,2 D 2 Nδ kM ∁ kD 1r,2 A δ kM kI + D 2 Nδ kM .Согласно неравенству Пуанкаре, подобные соотношения верны для Nδи D 1r,2 Nδ .
Осталось только воспользоваться леммой 3.3.1.äСледующее утверждение сводит вопрос о сходимости Nδ к аналогичному вопросу для A δ .Лемма 3.3.12. При всех δ ∈ Dµ выполнено kNδ − N kM ∁ kA δ − AkM и, еслиs > 0, kD 1r,2 (D 2 Nδ − D 2 N )kM + kD 1r,2 (Nδ − N )kM ∁ kD 1r,2 (A δ − A)kM + kA δ − AkM ,где r ∈ (0, s). Последняя из оценок остается верна и с r = s , при условии чтоD 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q).Доказательство. По определению функций N и Nδ ,D 2∗ AD 2 (Nδ − N ) = −D 2∗ (A δ − A)(I + D 2 Nδ ).(3.3.12)Если при фиксированном x ∈ Rd скалярно домножить это равенство наNδ (x, · ) − N (x, · ), затем к левой части применить лемму 2.1.2, а правую —оценить сверху, то получим:kD 2 Nδ − D 2 N kM ∁ kA δ − AkM kI + D 2 Nδ kM .(3.3.13)121Далее, из (3.3.12) с помощью формулы (2.2.4) легко выводится, чтоD 2∗ (Th A · D 2 ∆h (Nδ − N )) = −D 2∗ (∆h A · (D 2 Nδ − D 2 N )) −− D 2∗ (∆h (A δ − A) · (I + D 2 Nδ )) −− D 2∗ (Th (A δ − A) · D 2 ∆h Nδ ).Обращаясь к лемме 2.1.2 и проводя несложные преобразования, находим:kD 1r,2 (D 2 Nδ − D 2 N )kM ∁ kD 1r,2 AkM kD 2 Nδ − D 2 N kM ++ kD 1r,2 (A δ − A)kM kI + D 2 Nδ kM +(3.3.14)+ kA δ − AkM kD 1r,2 D 2 Nδ kM .Благодаря неравенству Пуанкаре, оценки (3.3.13) и (3.3.14) переносятсяна функции Nδ − N и D 1r,2 (Nδ − N ).
Теперь достаточно сослаться на лемму 3.3.1 (при r < s — также на замечание 3.3.2) и лемму 3.3.11.ä3.3.4 Приближение для эффективного коэффициентаОбозначим через A 0δ эффективный коэффициент, отвечающий оператору Aε (δ); иначе говоря, мы полагаем A 0δ = (A δ )0 .Как и прежде, нас интересует вопрос об ограниченности и сходимости.Лемма 3.3.13.
При любых δ ∈ Dµ выполнено kA 0δ kM ∁ 1 и kD r,2 A 0δ kM ∁∁ kD 1r,2 A δ kM , где r ∈ (0, 1).Доказательство. Первое соотношение следует из неравенстваkA 0δ kM É kA δ kM kI + D 2 Nδ kMи лемм 3.3.1 и 3.3.11. Эти же леммы вместе с оценкойkD r,2 A 0δ kM É kD 1r,2 A δ kM kI + D 2 Nδ kM + kA δ kM kD 1r,2 D 2 Nδ kM(ср. с (3.1.9)) дают второе соотношение.äЛемма 3.3.14. При всех δ ∈ Dµ выполнено kA 0δ − A 0 kM ∁ kA δ − AkM и, еслиs > 0, kD 1r,2 (A 0δ − A 0 )kM ∁ kD 1r,2 (A δ − A)kM + kA δ − AkM , где r ∈ (0, s). Последняяиз оценок справедлива и с r = s , при условии что D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q).Доказательство.
Так какA 0δ (x) − A 0 (x) =Z(A δ (x, y) − A(x, y))(I + D 2 Nδ (x, y)) dy +QZ+Qто, очевидно,(3.3.15)A(x, y)(D 2 Nδ (x, y) − D 2 N (x, y)) dy,kA 0δ − AkM É kA δ − AkM kI + D 2 Nδ kM + kAkM kD 2 Nδ − D 2 N kM .Тогда по леммам 3.3.11 и 3.3.12 получаем первую оценку.122Докажем вторую. С этой целью подействуем оператором ∆h на тождество (3.3.15) и воспользуемся формулой (2.2.4):∆h (A 0δ − A 0 )(x) =Z∆h (A δ − A)(x, y)(I + D 2 Nδ (x, y)) dy +QZ+++ZQZQQОтсюда ясно, чтоTh (A δ − A)(x, y)D 2 ∆h Nδ (x, y) dy +∆h A(x, y)(D 2 Nδ (x, y) − D 2 N (x, y)) dy +Th A(x, y)∆h (D 2 Nδ − D 2 N )(x, y) dy.kD 1r,2 (A 0δ − A 0 )kM ∁ kD 1r,2 (A δ − A)kM kI + D 2 Nδ kM ++ kA δ − AkM kD 1r,2 D 2 Nδ kM ++ kD 1r,2 AkM kD 2 Nδ − D 2 N kM ++ kAkM kD 1r,2 (D 2 Nδ − D 2 N )kM ,и остается учесть леммы 3.3.1, 3.3.11 и 3.3.12 (если r < s , то также замечание 3.3.2).ä3.3.5 Приближение для эффективного оператораПусть A0 (δ) — эффективный оператор для Aε (δ).
Его ограниченностьне вызывает сомнений. Кроме того, как мы знаем из § 2.2, он удовлетворяет оценке вида (3.3.8) с теми же самыми константами, что и для Aε (δ), азначит, является m -секториальным. Наконец, в качестве сектора можновыбрать Sδ — сектор оператора Aε (δ) (снова см. § 2.2). Повторяя теперьрассуждения из доказательства леммы 3.3.8, убеждаемся в справедливости следующего утверждения.Лемма 3.3.15. При всех ε ∈ E, δ ∈ Dµ и f ∈ H −1 (Rd )nkA0µ (δ)−1f k1,2,Rd ∁ k f k−1,2,Rd .(3.3.16)Мы уже видели, что при D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q) повышается гладкость решения задачи A0µ u 0 = f .
Разумеется, аналогичный результат имеет местои для решения задачи с оператором A0µ (δ), но здесь важно отследитьзависимость от параметра δ. Ограничимся случаем, когда правая частьпринадлежит L 2 (Rd )n .Лемма 3.3.16. Пусть r ∈ (0, 1). Тогда при всех δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )n¡¢kD r,2 D A0µ (δ)−1f k2,Rd ∁ kD 1r,2 A δ kM + 1 k f k2,Rd .(3.3.17)Доказательство. Положим u 0,δ = A0µ (δ)−1f . Проделывая те же выкладки, что и при доказательстве леммы 3.1.1, получаем:kD r,2 Du 0,δ k2,Rd ∁ kD r,2 A 0δ kM kDu 0,δ k2,Rd + k f k2,Rd .Теперь леммы 3.3.13 и 3.3.15 влекут (3.3.17).ä123Так как функция A 0δ сходится к A 0 (напомним, что в этом состоял результат леммы 3.3.14), то и резольвента оператора A0 может быть приближенарезольвентой A0 (δ) — см.
вывод леммы 3.3.10.Лемма 3.3.17. При всех δ ∈ Dµ и f ∈ H −1 (Rd )nkA0µ (δ)−1f − (A0µ )−1f k1,2,Rd ∁ kA δ − AkM k f k−1,2,Rd .(3.3.18)С помощью данного утверждения мы заменим (A0µ )−1 во всех приближениях на A0µ (δ)−1 . При изучении корректоров пригодится другой результат.Лемма 3.3.18. Пусть s > 0 и r ∈ (0, s). Тогда при всех δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )n¡¢kD r,2 (D A0µ (δ)−1f − D(A0µ )−1f )k2,Rd ∁ kD 1r,2 (A δ − A)kM + kA δ − AkM k f k2,Rd .(3.3.19)Если D 1s,2 A ∈ L̃ ∞ (Rd × Q), то неравенство остается в силе и с r = s .Доказательство. Из тождества (3.1.11) и аналогичного соотношения сфункцией A0µ (δ)∆h u 0,δ находим, чтоA0µ ∆h (u 0,δ − u 0 ) = −D ∗ (A 0δ − A 0 )D∆h u 0,δ ++ D ∗ Th (∆−h (A 0δ − A 0 ) · Du 0,δ ) ++ D ∗ Th (∆−h A 0 · (Du 0,δ − Du 0 )).Оператор, стоящий в левой части равенства, является изоморфизмом, поэтому L 2 -норма функции ∆h D(u 0,δ − u 0 ) может быть оценена сверху черезH −1 -норму правой части.
Тем самымkD r,2 (Du 0,δ − Du 0 )k2,Rd ∁ kA 0δ − A 0 kM kD r,2 Du 0,δ k2,Rd ++ kD 1r,2 (A 0δ − A 0 )kM kDu 0,δ k2,Rd ++ kD r,2 A 0 kM kDu 0,δ − Du 0 k2,Rd(мы учли, что Th изометричен на L 2 ). Для первого множителя в каждомслагаемом необходимо использовать или оценки (3.1.9) (при r = s ) и (3.1.13)(при r < s ), или лемму 3.3.14, для второго — или лемму 3.3.15, или леммы 3.3.1 и 3.3.16 (вместе с замечанием 3.3.2, если r < s ), или лемму 3.3.17. ä3.3.6 Приближения для корректоровПостроение корректоров для Aεµ (δ) начинается со вспомогательногооператора Kµ (δ). Положим Uδ = Kµ (δ) f , где f ∈ L 2 (Rd )n . Очевидно, чтоkD 2Uδ k2,Rd ×Q É kD 2 Nδ kM kDu 0,δ k2,Rd ,а тогда из лемм 3.3.11, 3.3.15 вытекает равномерная ограниченность D 2 Kµ (δ)как оператора из L 2 (Rd )n в L 2 (Rd × Q)n .
Далее, если r ∈ (0, 1), то, согласноформуле (3.1.6),kD 1r,2 D 2Uδ k2,Rd ×Q É kD 1r,2 D 2 Nδ kM kDu 0,δ k2,Rd + kD 2 Nδ kM kD r,2 Du 0,δ k2,Rd ,и, применяя еще леммы 3.3.11, 3.3.15 и 3.3.16, видим, что ограничен и оператор D 1r,2 D 2 Kµ (δ). Отсюда и из неравенства Пуанкаре получаем следующиедве леммы.124Лемма 3.3.19.
При всех δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )nkD 2 Kµ (δ) f k2,Rd ×Q + kKµ (δ) f k2,Rd ×Q ∁ k f k2,Rd .Лемма 3.3.20. Пусть r ∈ (0, 1). Тогда при всех δ ∈ Dµ и f ∈ L 2 (Rd )n¡¢kD 1r,2 D 2 Kµ (δ) f k2,Rd ×Q + kD 1r,2 Kµ (δ) f k2,Rd ×Q ∁ kD 1r,2 A δ kM + 1 k f k2,Rd .Подобным же образом определяется скорость сходимости оператора Kµ (δ) и различных композиций с его участием, нужно лишь записатьразность функций Uδ и U в видеUδ −U = Nδ (D 1 u 0,δ − D 1 u 0 ) + (Nδ − N )D 1 u 0(3.3.20)и дополнительно использовать леммы 3.3.1, 3.3.12, 3.3.17 и 3.3.18, а такжезамечание 3.3.2 (когда порядок дифференцирования меньше s ).Лемма 3.3.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
