Диссертация (1145260), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Степеннойряд∞X³ADn 3aA + a2 Bn=0´n(a − ρs0 )n |α|nсходится по признаку Даламбера при α ∈ (−R; R); следовательно,ряд∞Xn=0eκn (ρs )αn ,κ = 1, 2, 3сходится абсолютно и равномерно по ρs при ρs ∈ [ρs0 ; a] и α ∈ (−R; R).Так какA=то1,ρ2s0B=2,ρ3s0D = a (ln a − 1) ,ρ3s0R= 2a (2a + 3ρs0 ) (a − ρs0 ) (ln a − 1)a > e2 ,(8.391)– 364 –Итак, общее решение (8.381) сходится абсолютно и равномерно по ρsпри ρs ∈ [ρs0 ; a] и α ∈ (−R; R), где величина R определяется равенством (8.391).Подведем итоги выполненного в данной главе исследования.В представленном исследовании рассмотрены задачи с переменной стратификацией без использования магнитострофического приближения и приближения Буссинеска. Показано, что непосредственной причиной конвекции является архимедова сила.
В приложении кгеофизике это означает, что на границе твердого и жидкого ядра образуется при кристаллизации избыток легкой компоненты, всплываниекоторой является основной причиной конвекции в жидком слое. Возмущения, связанные с всплыванием легкого вещества, перемешиваютвещество и создают эффективный механизм турбулентной диффузии.Исследованы волновые движения в неоднородной электропроводной вращающейся жидкости.
Проведена редукция нелинейной векторной системы уравнений в частных производных к скалярному линейному уравнению. Получено аналитическое представление решения задачи о малых возмущениях в идеальной несжимаемой стратифицированной электропроводной вращающейся жидкости. Анализполученного решения позволил установить факт существования установившегося режима колебаний при больших значениях времени, чтослужит подтверждением важной роли стратификации плотности жидкого слоя, определяющей в целом ряде случаев его основную динамику, как важный фактор эволюции исследуемого динамического процесса.Построена математическая модель динамики пространственных крупномасштабных волновых движений в идеальной неоднородной электропроводной вращающейся жидкости.
Получены аналитические решения систем нелинейных уравнений в частных производных, моделирующих геострофическое и квазигеострофическое движения в слое– 365 –идеальной электропроводной неоднородной вращающейся жидкости.Представлены поля магнитогидродинамических величин, возникающих в сферическом жидком слое в результате термодинамическихизменений у внешней границы, анализ структуры которых позволяетсделать вывод о существовании сильных изменений в тонком жидкомслое, примыкающем к границе области.Построена и аналитически реализована модель волновых трехмерных крупномасштабных движений невязкой, несжимаемой стратифицированной идеально проводящей вращающейся жидкости для особого случая геометрии рассматриваемого объема, учитывающего особенность экваториальной зоны сферического слоя.Проведен анализ трехмерной экваториальной динамики идеальной электропроводящей неоднородной вращающейся жидкости.
Основополагающие уравнения вследствие представления магнитного поля и поля скорости в виде суперпозиции невозмущенных полей, соответствующих стационарному состоянию среды, и индуцированныхполей, обусловленных волновым движением, при помощи введениядвух вспомогательных функций приводятся к специальному скалярному уравнению. Исследование этого уравнения позволяет решитьпроблему разрешимости возникающих начально–краевых задач теории волн, распространяющихся в окрестности экваториальной зонысферического слоя электропроводящей вращающейся жидкости с неоднородной плотностью. Построены точные частные решения представленного редуцированного уравнения, описывающие распространениеволн малой амплитуды.Проведенный анализ позволяет сделать вывод о существованиинетривиальных волновых возмущений рассматриваемой среды в зонеэкватора, а именно, волн, распространяющихся к востоку и к западу,причем зональная скорость в волне не удовлетворяет геострофическому соотношению, как это обычно бывает в неэлектропроводной– 366 –жидкости.
Вклад в отклонение от геострофичности скорости вноситналичие магнитного поля, а именно, его меридиональная компонента.Результаты данной главы основаны на публикациях [99, 102–110,112–119, 158, 229, 234, 256, 257].Глава 9Магнитогидродинамические волныво вращающейся жидкости с учетом эффектовдиффузии магнитного поля§ 9.1.Динамика вращающегося слоя электропроводной несжимаемой жидкости с учетом эффектов диффузии магнитного поляЦелью данного исследования является редукция системы уравнений с частными производными, моделирующей возмущение в слоеидеальной электропроводной вращающейся жидкости, ограниченномповерхностями, изменяющимся в пространстве и во времени, с учетоминерционных сил и диффузии магнитного поля.Для полученных в результате редукции уравнений будут построены решения, описывающие распространение волн малой амплитудыв бесконечно протяженном по горизонтали слое и в узком длинномканале.9.1.1.Основные уравнения горизонтальной структуры электропроводной вращающейся жидкостиРассмотрим тонкий вращающийся с угловой скоростью ωω слой электропроводной несжимаемой жидкости, ограниченный снизу подвижным дном, заданным относительно отсчетного уровня z = 0 поверхностью z = −hB (x, y, t), с неизвестной функцией hB (x, y, t), а сверху— известной поверхностью z = −Z(x, y).
Ось вращений жидкостисовпадает с осью z, то есть, ωω = ωk. Основные уравнения магнитнойгидродинамики рассматриваемой задачи в проекциях на координат367– 368 –ные оси имеют вид [6]Основные уравнения магнитной гидродинамики рассматриваемойзадачи в проекциях на координатные оси имеют вид [6]∂vx∂vx∂vx∂vx1 ∂ b2+ vx+ vy+ vz=−p + +∂t∂x∂y∂zρ ∂x2µÃ!1∂bx∂bx∂bx+2ωvy +bx+ by+ bz,(9.1)µρ∂x∂y∂z∂vy∂vy∂vy∂vy1 ∂ b2 + vx+ vy+ vz=−p+−∂t∂x∂y∂zρ ∂y2µÃ!1∂by∂by∂by−2ωvx +bx+ by+ bz,(9.2)µρ∂x∂y∂z∂vz∂vz∂vz∂vz1 ∂ b2 + vx+ vy+ vz=−p+− g+∂t∂x∂y∂zρ ∂y2µÃ!1∂bz∂bz∂bz+bx+ by+ bz,(9.3)µρ∂x∂y∂z∂bx∂bx∂bx∂vx∂vx∂vx∂bx+ vx+ vy+ vz−bx−by−bz= λ∆bx , (9.4)∂t∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂by∂by∂by∂vy∂vy∂vy∂by+ vx+ vy+ vz− bx− by−bz= λ∆by , (9.5)∂t∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂bz∂bz∂bz∂bz∂vz∂vz∂vz+ vx+ vy+ vz− bx− by−bz= λ∆bz , (9.6)∂t∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂vx ∂vy ∂vz++= 0,(9.7)∂x∂y∂z∂bx ∂by ∂bz++= 0,(9.8)∂x∂y∂zгде vx , vy , vz — компоненты скорости жидкости, p — давление, g —ускорение силы тяжести, ρ — плотность, bx , by , bz — компоненты маг1, µ — магнитная проницаемость, σ —нитной индукции поля, λ =σµэлектропроводность среды, ω — угловая скорость вращения слоя.Введем в рассмотрение характерные масштабы изменения переменных в уравнениях (9.1)–(9.8): D — движения в вертикальном направлении (предполагается, что значение D равно средней глубинеслоя жидкости hB (x, y, t) − Z(x, y), L — движения в горизонтальномнаправлении, U — горизонтальной компоненты скорости, W — вертикальной компоненты скорости, B — горизонтальных компонент поля,– 369 –H — вертикальной компоненты поля, T — временной и P — полядавления.Для рассматриваемой задачи естественно предположение, чтоδ=D¿ 1.LКроме того, в уравнениинеразрывности (9.7) первое и второе слаà !U, поэтому порядок третьего слагаемогогаемые имеют порядок OLÃ!à !WUOне больше O.
Следовательно,DLW ≤ O(δU ).Аналогично, оценивая порядки слагаемых уравнения соленоидальности (9.8), получимH ≤ O(δB).Оценивая далее слагаемые в уравнениях (9.1)–(9.6), перейдем в этихуравнениях к безразмерным переменным. В результате получимÃ!U ∂vx U 2∂vx∂vx∂vx1 (1 + δ 2 )B 2 +vx+ vy+ vz=−P+·T ∂tL∂x∂y∂zρL2µÃ!∂bx∂bx∂bxb2 B2∂ p++ 2ωU vy +bx+ by+ bz,(9.9)·∂x2µLµρ∂x∂y∂zÃ!U ∂vy U 2∂vy∂vy∂vy1 (1 + δ 2 )B 2 +vx+ vy+ vz=−P+·T ∂tL∂x∂y∂zρL2µÃ!∂ b2 ∂by∂by∂byB2·p+− 2ωU vx +bx+ by+ bz,(9.10)∂y2µLµρ∂x∂y∂zÃ!δU ∂vz δU 2∂vz∂vz∂vz1 (1 + δ 2 )B 2 +vx+ vy+ vz=−P+·T ∂tL∂x∂y∂zρD2µÃ!b2 δB 2∂bz∂bz∂bz∂ p+−g+bx+ by+ bz,(9.11)·∂z2µLµρ∂x∂y∂zÃ!B ∂bx U B∂bx∂bx∂bx∂vx∂vx∂vx+vx+ vy+ vz− bx− by− bz=T ∂tL∂x∂y∂z∂x∂y∂zλB= 2 ∆bx ,(9.12)LÃ!B ∂by U B∂by∂by∂by∂vy∂vy∂vy+vx+ vy+ vz− bx− by− bz=T ∂tL∂x∂y∂z∂x∂y∂z– 370 –λB∆by ,(9.13)2LÃ!δB ∂bz δU B∂bz∂bz∂vz∂vz∂vz∂bz++ vy+ vz− bx− by− bzvx=T ∂tL∂x∂y∂z∂x∂y∂zδλB(9.14)= 2 ∆bz .L=Здесь и далее безразмерные переменные имеют прежние соответствующие обозначения.В уравнениях (9.9) и (9.10) все слагаемые одного порядка, еслидинамическое, магнитное и кинетическое давления имеют один поряρUB2док: P vv ρU 2 v.
В этом случае уравнения (9.9) и (9.10) безµTизменения используются для дальнейшего исследования.Отношение конвективного члена в уравнениях индукции (9.12)–(9.14) к диффузионному члену, выраженное через характерную скорость жидкости U и характерную длину L, является безразмернымLUпараметром, который называют магнитным числом Рейнольдса.λОно характеризует связь потока плазмы и магнитного поля. В лабораторных условиях обычно Rm ¿ 1, и эта связь является слабой,тогда как в астрофизике, как правило Rm À 1, и эта связь сильная[6].
Уравнение индукции определяет поведение магнитного поля, еслиизвестна скорость, и это поведение существенным образом зависит отвеличины магнитного числа Рейнольдса Rm . В общем случае магнитные силовые линии частично переносятся потоком плазмы и частичнодиффундируют через нее.Далее именно этот общий случай и будем рассматривать.
Такимобразом, примем Rm = 1, будем считать, что диффузионные членыимеют тот же порядок, что и конвективные.Учет диффузионных членов необходим при изучении динамикиволн более локального характера, т.е., когда L много меньше радиусаслоя, а также при очень великих масштабах времени T . Хотелосьбы увидеть влияние диффузии магнитного поля на его генерацию.– 371 –Сможет ли существовать такое поле сколь угодно длительное время,и будет ли оно существовать при отключении затравочного поля.Оставляя в уравнении (9.11) только главные члены, получим∂ b2 p+= −ρg,∂z2µоткуда, интегрируя по z,b2p+= −ρgz + C(x, y, t),2µили, используя граничные условия p(x, y, −hB ) = p0 и b(x, y, −hB ) == b0 , где p0 , b0 — постоянные величины,b2b20p+= p0 +− ρg(hB + z).2µ2µ(9.15)Следствием линейной зависимости от z правой части выражения(9.68) является независимость от z горизонтального градиента гидромагнитного давления:∂ b2∂hBp + = −ρg,∂x2µ∂x∂ b2∂hBp + = −ρg.∂y2µ∂yТогда и горизонтальные компоненты скорости и магнитного поля независят от z, в случае их независимости от z в начальный моментвремени.Предполагая последнее свойство выполненным, из уравнений (9.9)и (9.10)Ã!∂vx∂vx∂vx∂hB1∂bx∂bx+ vx+ vy= 2ωvy + g+bx+ by,∂t∂x∂y∂xµρ∂x∂yÃ!∂vy∂vy∂hB1∂by∂by∂vy+ vx+ vy= 2ωvx + g+bx+ by∂t∂x∂y∂yµρ∂x∂yи из уравнения (9.7), интегрируя по z,Ã!∂vx ∂vyvz (x, y, z, t) = −z++ a(x, y, t).∂x∂yС учетом равенства нулю нормальной компоненты скорости на твердой поверхности z = −Z получаемvz (x, y, −Z, t) = −vx∂Z∂Z− vy,∂x∂y– 372 –следовательно,Ã!∂Z∂Z∂vx ∂vya(x, y, t) = −vx− vy−Z+,∂x∂y∂x∂yпоэтомуÃ!∂vx ∂vy∂Z∂Zvz (x, y, z, t) = −(Z + z)+− vx− vy.∂x∂y∂x∂y(9.16)Аналогично, условие для vz на поверхности z = −hB (x, y, t) имеетвидvz (x, y, −hB (x, y, t), t) = −∂hB∂hB∂hB− vx− vy,∂t∂x∂yоткуда, с учетом равенства (9.16),∂hB∂∂+[(hB − Z)vx ] +[(hB − Z)vy ] = 0.∂t∂x∂yПроинтегрируем, далее, уравнение (9.8) по z:!Ã∂bx ∂by++ ae (x, y, t).bz (x, y, z, t) = −z∂x∂yНа поверхности z = −hB функция bz удовлетворяет условиюbz (x, y, −hB , t) = bz0 (x, y, t),поэтомуÃae (x, y, t) = bz0 (x, y, t) − hB!∂bx ∂by,+∂x∂yследовательно,Ã!∂bx ∂bybz (x, y, z, t) = −(hB + z)++ bz0 (x, y, t).∂x∂yКраевое условие для bz на поверхности z = −Z(x, y) имеет вид(e)bz (x, y, −Z, t) = bz0 (x, y, t).Из равенства (9.70) и последнего соотношения имеемÃ!∂bx ∂by(e)++ bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) = 0.(hB − Z)∂x∂y(9.17)– 373 –Таким образом, вследствие условия δ ¿ 1 получим системуÃ!∂vx∂vx∂vx∂hB1∂bx∂bx+ vx+ vy= 2ωvy + g+bx+ by,∂t∂x∂y∂xµρ∂x∂yÃ!∂vy∂vy∂vy∂hB1∂by∂by+ vx+vy= −2ωvx + g++ bybx,∂t∂x∂y∂yµρ∂x∂y∂∂∂hB+[(hB − Z)vx ] +[(hB − Z)vy ] = 0,∂t∂x∂yÃ!∂bx ∂by(e)(hB − Z)++ bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) = 0,∂x∂y∂bx∂bx∂bx∂vx∂bx1+ vx+ vy− bx− by=∆2 bx ,∂t∂x∂y∂x∂yRm∂by∂yx∂by∂vy∂by1+ vx+ vy− bx− by=∆2 by ,∂t∂x∂y∂x∂yRm(9.18)(9.19)(9.20)(9.21)(9.22)(9.23)в которой, в сравнении с системой (9.1)–(9.8) меньшее число динамических уравнений, искомых функций (за счет исключения vz и bz изуравнений исходной системы) и независимых переменных (так как zне входит больше в явном виде в динамические уравнения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
