Диссертация (1145260), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Любое решение v(x, y, t), b(x, y, t), η(x, y, t) задачи о малых возмущениях в слое идеальной несжимаемой однороднойэлектропроводной вращающейся жидкости с учетом диффузии магнитного поля, удовлетворяющее необходимым условиям гладкости,представимо в виде´³eb(x, y, t) = µρDt Dt2 + α2 b,´1 ³eη = Dt Dt2 + α2 η,g×vxvyÃDt =eηee = Dt η,Dt−α∆µρDt Dt −−DRmÃ!∆−αµρ Dt −Rm(9.112)eeeb= Dt b,ff ηxfyηfDtee bx  ee by!2(9.111)α=D³Dt2(9.113)ffx + D bf+ pfxfy ++ pf2,ff D by(9.114)´+α ×Ã!∆αµρ Dt −R!mÃ∆µρDt Dt −− D2Rmξx + pxξy + py,(9.115)– 397 –³´eeη(x,y, t) = F 2 + (αD2 )2 ξ(x, y, t),(9.116)Ã!³´∆∂∂F = µρ Dt2 + α2 Dt −− D2 Dt ,D = b0x+ b0y ,Rm∂x∂yгде функция ξ(x, y, t) является решением уравнения (9.110).Замечание.

Верно и обратное утверждение: любое решение уравнения (9.110) порождает решение системы (9.80)–(9.84), моделирующей малые возмущения в тонком слое идеальной несжимаемой однородной электропроводной вращающейся жидкости с учетом диффузии магнитного поля, если построенные по формулам (9.111)–(9.116)функции v, b, η удовлетворяют в рассматриваемой области условиямгладкости.9.2.2.Волны в прямолинейном слоеРассмотрим свободные линейные колебания вращающегося слоя электропроводной жидкости. А именно, исследуем распространение волнмалой амплитуды в бесконечно протяженном по горизонтали слое.Пусть H0 = const и ∇Z = const на расстояниях порядка длиныволны. Тогда уравнение (9.110) примет вид³D Dt2 + α2´2Ã Dt!∆D2 −Dt −∆2 ξ+Rmµρ´ ¸´·³³122 222Dξ =D + α F + αD+g(µρ)2 H0 tÃ(e)!³´bn0D2 ∆22 2=−− D Dt + αDt −∆2 P.Dt −(µρ)2 H0Rmµρ(9.117)Уравнение (9.117) имеет решениеξ = Re Aei(kx + ly − σt) ,если выполняется дисперсионное соотношение´2 2α−σ 2(k 2 + l2 ) (b0x k + b0y l)2 −(b0x k + b0y l) σ −+×− iσRmµρ³´³´122× k 2 + l2 +α−σ×g(µρ)2 H0³2– 398 –³× (µρ)2 σ 2 − α2(k 2 + l2 ) −iσ +− (b0x k + b0y l)4 σ 2 +Rm´2 2(k 2 + l2 ) (b0x k + b0y l)2 + α2 (b0x k + b0y l)4  ×+2iµρσ α2 − σ 2 −iσ +RmB×(b0x k + b0y l) =,(9.118)Ai(µρ)2 H0³´гдеbz0 − bn0 = Re Bei(kx + ly − σt) ,(e)³bz0 = −(µρ)2 H0 D Dt2 + α2´2Ã D!D2 ∆Dt −∆2 Pt−Rmµρ(e)В частности, при bz0 = bn0 из (9.118) имеем³σ 2 − α2´2(b0x k + b0y l)2(k 2 + l2 )  2−σ 2 +(k + l2 )−− iσµρRm1−α2 − σ 22g(µρ) H0³³´2(µρ)³σ 2 − α2´22(k 2 + l2 ) −iσ ++Rm´σ 2 − α2 (b0x k + b0y l)4 +(k 2 + l2 ) 22 −iσ ++2iµρσ α − σ(b0x k + b0y l)2  = 0,Rm´³откудаσ1,2,3,4 = ±α,(b0x k + b0y l)2(k 2 + l2 )  2−σ 2 +− iσ(k + l2 )−µρRm2³´1(k 2 + l2 ) 222 (µρ) σ − α+ (b0x k + b0y l)4 +−−iσ +2g(µρ) H0Rm(k 2 + l2 ) +2iµρσ −iσ +(b0x k + b0y l)2  = 0.RmПоследнее уравнение является уравнением четвертой степени относительно σ:2(k 2 + l2 ) 3σ +iσ +Rm2(b0x k + b0y l)2 2(k 2 + l2 )2 2222+σ gH0 (k + l ) − α −−+2µρRm4– 399 –gH0 (k 2 + l2 )2 − 2α2 (k 2 + l2 )2(k 2 + l2 )(b0x k + b0y l)2 +σ i+i+RmµρRm2 22 22224α(k+l)gH(k+l)(bk+bl)(bk+bl)00x0y0x0y = 0.+−+22Rmµρ(µρ)Заметим, что для частоты σ имеются две четко разделяющиесяветви.

Первый тип колебаний — инерционная волна. В ней существенную роль играют инерция и кориолисова сила. Частота инерционныхволн вещественна, эти волны устойчивы. Второй тип колебаний — этоволны, обусловленные совместным действием магнитных сил, гравитационной силы, силы Кориолиса и граничными эффектами. Ихчастота, вообще говоря, — комплексна, а следовательно, эти волнымогут обнаруживать неустойчивость.В частности, при Rm → ∞ получаем дисперсионное уравнение2(b0x k + b0y l)2 2(k 2 + l2 )2 σ + σ gH0 (k + l ) − α −−+2µρRm2224gH(k+l)(bk+bl)(bk+bl)00x0y0x0y = 0,−−µρ(µρ)242222которое имеет решение√1  2 2(b0x k + b0y l)2σ =α +− gH0 (k 2 + l2 ) ± d ,2µρ2где22(b0x k + b0y l)2 d = gH0 (k 2 + l2 ) − α2 −+µρ4gH0 (k 2 + l2 )(b0x k + b0y l)2 4(b0x k + b0y l)4+−.µρ(µρ)2Значение σ 2 могут быть и отрицательными, следовательно, учтенныеграничные эффекты могут способствовать нарушению устойчивости,а следовательно, и росту магнитного поля.

В то же время, управляязначениями затравочного магнитного поля, можно наблюдать установившийся во времени процесс, то есть, индуцированное магнитноеполе сможет существовать сколь угодно длительное время.При b0 = 0σ2 =¯¯i1h 2α − gH0 (k 2 + l2 ) ± ¯¯gH0 (k 2 + l2 ) − α2 ¯¯2qили σ = 0, σ = ± α2 − gH0 (k 2 + l2 ).

Нулевое значение частоты соответствует установившемуся процессу, второе же соотношение можетспособствовать как сохранению установившегося волнового режима:в случае α2 > gH0 (k 2 + l2 ), так и возникновению неустойчивости: вqслучае σ = i gH0 (k 2 + l2 ) − α2 , так и затуханию волнового процесса:qв случае σ = −i gH0 (k 2 + l2 ) − α2 при α2 < gH0 (k 2 + l2 ).§ 9.3.Квазигеострофические движения во вращающемсяслое электропроводной жидкости с учетом диффузии магнитного поляРассмотрим вращающийся слой идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, ограниченной сверху твердой непроницаемойповерхностью z = Z(x, y), снизу — поверхностью z = −hB (x, y, t). Будем использовать прямоугольную декартову систему координат Oxyz.Под объемной силой понимается вектор g, перпендикулярный поверхности z = 0 и направленный в сторону, противоположную вертикальной оси.

Ось вращения жидкости совпадает с осью z, т.е. ω = kω, гдеω — угловая скорость вращения слоя. Будем решать задачу в рамкахнелинейных уравнений длинноволнового приближения, построенногоранее:Ã!∂vx∂vx∂η1∂bx∂bx∂vx+ vx+ vy= 2ωvy + g+bx+ by,∂t∂x∂y∂x µρ∂x∂yÃ!∂vy∂vy∂η1∂by∂by∂vy+ vx+ vy= −2ωvx + g+bx+ by,∂t∂x∂y∂y µρ∂x∂y∂η∂∂+[(H0 + η)vx ] +[(H0 + η)vy ] = 0,∂t ∂x∂yÃ!∂bx ∂by(e)(hB − Z)++ bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) = 0,∂x∂y– 401 –∂bx∂bx∂bx∂vx∂vx∂ 2 bx ∂ 2 bx ,+ vx+ vy− bx− by=λ+∂t∂x∂y∂x∂y∂x2∂y 222∂by∂by∂by∂vy∂vy∂b∂byy+ vx+ vy− bx− by= λ 2 +,2∂t∂x∂y∂x∂y∂x∂y1где λ =— коэффициент магнитной диффузии. Пусть L — линейσµный масштаб, U — масштаб скорости, B — масштаб магнитного поля,T — масштаб времени, N — масштаб ординаты поверхности η(x, y, t).Введем безразмерные переменныеx0 ,t = Lt0 ,y0,t0 ,vx0 ,vx = U vx0 ,vy0 ,b0x ,vy = U vy0 ,b0y ,η0,x = Lx0 ,bx = Bvx0 ,y = Ly 0 ,by = Bb0y ,η = N η0.Тогда исходные уравнения принимают вид (штрихи опущены):Ã!∂vx∂vx∂vyεT+ ε vx+ vy− vy =∂t∂x∂yà !!Ã∂bx∂bxgN ∂η1 B 2,=+ε bx+ byLαU ∂x µρ U∂x∂yÃ!∂vy∂vy∂vyεT+ ε vx+ vy+ vx =∂t∂x∂yà !!Ã∂bygN ∂η1 B 2∂by=++ by,(9.119)ε bxLαU ∂y µρ U∂x∂yÃ!à !à !∂η∂η∂η∂ Z∂ ZεT F+ εF vx+ vy− vx− vy+∂t∂x∂y∂x D∂y DÃ!Ã!Z∂vx ∂vy+ 1 + εF η −= 0,+D∂x∂yÃ!Ã!Z∂bx ∂by1 + εF η −++ b(e)z0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) = 0,D∂x∂yÃ!∂bx∂bx∂bx∂vx∂vxε  ∂ 2 bx ∂ 2 bx εT+ ε vx+ vy− bx− by=+,∂t∂x∂y∂x∂yRm ∂x2∂y 2(9.120)Ã!∂by∂by∂vy∂vyε  ∂ 2 by ∂ 2 by ∂by+ ε vx+ vy− bx− by=+.εT∂t∂x∂y∂x∂yRm ∂x2∂y 2(9.121)Здесь1,εT =TαUε=,Lαα 2 L2F =,gDα = 2ω,Rm =UL,λ– 402 –H = H0 (x, y) + η(x, y, t) = D − Z + η, H0 — невозмущенная глубинажидкости, D — постоянная величина.Далее примемgN= 1.LαU(9.122)LαUB2Тогда N =.

Из проведенного выше анализа следует=gµρU 2= O(1), F = O(1). Кроме того, будем предполагать, чтоZ= εηb ,Db(e)z0 − bz0 = εbh ,(9.123)где ηb , bh имеют порядок единицы. Условие (9.122) означает, что число Россби ε, оставаясь малым, еще настолько велико, что движениесущественно отличается от строго геострофического движения.Числа Россби εT и ε являются мерой отношения локального и адвективного ускорений к ускорению Кориолиса.

Отношение локального ускорения к адвективному определяется параметромεTL=.εUTВ случае, когда этот параметр велик, уравнения по существу линейны, то есть, локальная производная по времени преобладает над нелинейными адвективными членами.

Предположим, что нелинейные члены так же важны, как и локальное ускорение. Иными словами, будемсчитать, чтоεT= 1,εLUимеет тот же порядок, что и временной масштаб локальных изменето есть, будем рассматривать такие случаи, когда время адвекцииний.Используя условия (9.122), (9.123) и применяя к уравнениям (7.303),(7.304) оператор rot, с учетом уравнения (7.305) при εT = ε из системы уравнений (7.303)–(7.308) в первом приближении (ε = 0) получим– 403 –уравненияÃ!Ã!∂∂∂∂ζ∂ζ+ vx+ vy(Ω − F η + ηb ) = M bx+ by;∂t∂x∂y∂x∂y∂η∂η∂by ∂bx, vy = − , Ω = −∆η, ζ =−;vx =∂y∂x∂x∂y∂bx ∂by+= 0;(9.124)∂x∂y∂bx∂bx∂bx∂vx∂vx1  ∂ 2 bx ∂ 2 bx + vx+ vy− bx− by=+,∂t∂x∂y∂x∂yRm ∂x2∂y 2∂by∂by∂by∂vy∂vy1  ∂ 2 by ∂ 2 by + vx+ vy− bx− by=+,∂t∂x∂y∂x∂yRm ∂x2∂y 2B2где M =. В отсутствие магнитного поля такое приближение вµρU 2гидродинамике называют квазигеострофическим [52].В отсутствие магнитного поля такое приближение в гидродинамике называют квазигеострофическим, т.е.

число Россби мало, но оноеще все–таки велико для того, чтобы жидкость двигалась как наборстолбиков.Решение системы нелинейных уравнений (9.124) будем искать ввиде функциональной зависимости компонент магнитного поля отфункции η:bx = f1 (η),by = f2 (η).Тогда уравнения (9.124) в терминах функции η принимают видÃ!∂η ∂∂η ∂∂+−(−∆η − F η + ηb ) =∂t ∂y ∂x ∂x ∂y Ã!2Ã!2 ∂η∂η∂η∂η∂η∂η − f 00 f+= M f200 f1+ f2+ f211∂x∂x ∂y∂x ∂y∂x2222∂ η ∂ η∂ η∂ η− f10 f1+ f2 2  ,(9.125)+f20 f1 2 + f2∂x∂x∂y∂x∂y∂yÃ!2 Ã!2 22∂η∂η1∂η∂η1 0∂η+f10− f1− f2 2 =f100 +f ∆η,∂t∂x∂y∂yRm∂x∂yRm 1(9.126)– 404 –Ã∂ 2η∂ 2η1 00  ∂η+ f1 2 + f2=f∂t∂x∂x∂y Rm 2∂x∂ηf20!2Ã∂η+∂y!2 +1 0f ∆η.Rm 2(9.127)Члены в выражении −∆η − F η + ηb полностью определяются относительным движением.

Характеристики

Список файлов диссертации