Диссертация (1145260), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Искомыепеременные vx , vy , bx , by , hB являются функциями только x, y, t. Висследуемых выражениях функции vz и bz зависят от z линейно. В∂2∂2+. В дальнейшем изложенииполученных уравнениях ∆2 =∂x2 ∂y 2индекс у двумерного оператора Лапласа опускается.К уравнениям (9.18)–(9.23) добавляются граничные условия непротекания через вертикальные границы рассматриваемой области и задание магнитного поля на них:vx cos(n, x) + vy cos(n, y) = 0,bx = b(L)x ,by = b(L)y ,(9.24)(x, y) ∈ L,где n — нормаль к горизонтальному сечению границы области.9.1.2.Малые возмущенияВведем функцию полной глубины H = hB − Z. Пусть толщина жидкого слоя в состоянии покоя равна H0 (x, y).

Представим функцию– 374 –H(x, y, t) в видеH(x, y, t) = H0 (x, y) + η(x, y, t),(9.25)где η(x, y, t) — малое возмущение, характеризуемое неравенствомη ¿ H0 .Для описания распространения малых возмущений применим стандартный в механике сплошных сред метод линеаризации системыдифференциальных уравнений, описывающих поведение среды. Будем искать решение системы (9.18)–(9.23) в видеv = v0 + v0 (x, y, t),b = b0 + b0 (x, y, t),(9.26)предполагая, что малые возмущения горизонтальной скорости v0 , горизонтального магнитного поля b0 распространяются по некоторомустационарному однородному фону, описываемому постоянными величинами v0 , b0 .

Рассмотрим случай v0 = 0.Подставив соответствующие выражения в уравнения (9.18)–(9.23)и сохранив члены только первого порядка малости по v0 , b0 , η, получим систему уравненийÃ!∂bx∂bx∂vx∂η1− αvy = g+b0x+ b0y,∂t∂x µρ∂x∂yÃ!∂vy∂η1∂by∂by+ αvx = g+b0x+ b0y,∂t∂y µρ∂x∂y∂∂∂η+(H0 vx ) + (H0 vy ) = 0,∂t ∂x∂yÃ!∂bx ∂by(e)H0++ bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) = 0,∂x∂y∂vx∂vx1∂bx− b0x− b0y=∆bx ,∂t∂x∂yRm∂vy∂vy1∂by− b0x− b0y=∆by .∂t∂x∂yRm(9.27)(9.28)(9.29)(9.30)(9.31)Здесь α = 2ω.Рассмотрим далее соответствующую систему, представленную в– 375 –виде∂vx∂η1− αvy = g+ Dbx ,∂t∂x µρ∂bx1= Dvx +∆bx ,∂tRmгде∂vy∂η1+ αvx = g+ Dby ,∂t∂y µρ1∂by= Dvy +∆by ,∂tRm(9.32)(9.33)∂∂+ b0y—∂x∂yeдифференциальный оператор.

Введем в рассмотрение функции η(x,y, t),D = b0xbex (x, y, t), bey (x, y, t), определяемые равенствами´1 ³eη(x, y, t) = Dt Dt2 + α2 η(x,y, t),g³´³´(9.34)bx (x, y, t) = µρDt Dt2 + α2 bex (x, y, t),(9.35)by (x, y, t) = µρDt Dt2 + α2 bey (x, y, t),(9.36)∂.∂tЗаметим, что соотношениями (9.34)–(9.36) функции η, bx , by опре-где Dt =деляются неоднозначно: если функция η0 (x, y, t) удовлетворяет соотношению (9.34), то, очевидно, соотношению (9.34) удовлетворяет ифункция видаηe = η0 (x, y, t) + η1 (x, y) + η2 (x, y) cos αt + η3 (x, y) sin αt,(9.37)где ηj (x, y), j = 1, 2, 3, — произвольные функции.Аналогично, в (9.35) и (9.36) функции bex и bey представимы в виде(1)(2)(3)bex = b(0)x (x, y, t) + bx (x, y) + bx (x, y) cos αt + bx (x, y) sin αt, (9.38)(1)(2)(3)bey = b(0)y (x, y, t) + by (x, y) + by (x, y) cos αt + by (x, y) sin αt, (9.39)(j)где b(j)x , by , j = 1, 2, 3 — произвольные функции своих аргументов врассматриваемой области.Подставив функции η, bx , by из (9.34)–(9.36) в соответствующие уравнения получим в матричном видеDt −ααDtvxvy³ = D D2tt+e³´  ηx  +D D 2α2 ttηey´+ α2 D ebxbey.(9.40)– 376 –Интегрирование соотношения (9.40) по t приводит к равенствуvxvy= Dt Dtαex  ηe−α Dtηycos αt+C1 (x, y) − sin αtDt+ DDt α  bx  e +Dtby−αcos αt+ C2 (x, y) e− sin αt,(9.41)где C1 (x, y), C2 (x, y) — произвольные функции.e ee bПодставляя в (9.41) функции η,x , by из соответствующих выраже-ний, получимvxvyDt =Dt−α Dt−α(2)2  ∂bx∂xα−Ã+ C2 (x, y) − α2−α(2)2  ∂by∂y+η0x∂b(3)x ∂yη0y"Ã+ C1 (x, y) − α−α(2)2  ∂by∂x−2(3)∂by ∂ycos αt− sin αt!!∂η2 ∂η3−−∂x∂y+(2)∂b(3)∂η2 ∂η32  ∂bx−α++ x −∂y∂x∂y∂x(3)∂by ∂xsin αtcos αt+ DDt (9.42)Dt−α(0)α  b x .Dtb(0)yРассмотрим вектор C(x, y) = (C2 (x, y), −C1 (x, y), 0) ∈ H2 (Ω),Cj (x, y) ∈ L2 (Ω), j = 1, 2.

Воспользуемся следующей леммой [34].Лемма. Для любого вектора C(x, y) ∈ H2 (Ω) найдутся функцииϕ(x, y), ψ(x, y) ∈ L2 (Ω), такие, что C = (ϕx + ψy , ϕy − ψx , 0), гдеϕx (x, y), ϕy (x, y), ψx (x, y), ψy (x, y) — обобщенные частные производные функций ϕ(x, y) и ψ(x, y).Доказательство леммы приведено в [34]. Используя лемму и полагая в (9.42)³´(2)η2 + b(2)(x, y) =x + byψ(x, y),α2³´(3)η3 + b(3)(x, y) =x + byϕ(x, y),α2получимvxvy= Dt Dt−ααex  ηDtηey+ DDt Dt−αe  bx  e .byDtα(9.43)– 377 –Подставляя vx и vy из соответствующих выражений в исследуемыеeee bуравнения, получим систему уравнений для функций η,x и by :Ã!³´∆ e+αDt −bx = DDt (Dt ηex + αηey ) + D2 Dt Dt bex + αbey ,Rm!ô³´³∆ e22Dt −by = DDt (Dt ηey − αηex ) + D2 Dt Dt bey − αbex ,µρDt Dt + αRm(e)ee³´ ∂b∂bb(x,y,t)−bxyz0z0 (x, y, t)22  =Dt Dt + α+.∂x∂yH0 µρ³µρDt Dt22´eeeeeeee be bПереход от функций η,x , by к функциям η,x , by по формуламeebex = Dt bex ,eηee = Dt η,bey = Dt beyприводит последнюю систему к системе"Ã∆µρ Dt −Rm!³Dt2+α2´#2ee³´− D Dt bex − αD2 bey = D Dt ηeex + αηeey ,(9.44)"õρ Dt −∆Rm!³#´ee³´Dt2 + α2 − D2 Dt bey + αD2 bex = D Dt ηeey − αηeex ,(9.45)³ee(e)e∂ bey  bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t)22  ∂ bx =Dt + α +.∂x∂yH0 µρ´(9.46)Запишем далее уравнения (9.44) и (9.45), опуская знак "двойной"тильды, в видеFbx − αD2 by = D (Dt ηx + αηy ) ,Fby + αD2 bx = D (Dt ηy − αηx )(9.47)с использованием оператораF = µρ³Dt2+α2´!Ã∆− D2 Dt .Dt −Rm(9.48)Введем в рассмотрение функцию ξ(x, y, t), определяемую равенством³´η(x, y, t) = F 2 + (αD2 )2 ξ(x, y, t).(9.49)– 378 –Подставив функцию η из (9.49) в уравнения (9.47), получим в матричном видеF−αDαD2F2bxby³= D F 2 + (αD2 )2´Dtα−α Dtξxξy.(9.50)Интегрирование по t соотношения (9.50) приводит к равенствуbxbyFαD−αD2F= D2Dtα−α Dtξxξy.(9.51)Процедура исключения произвольных функций результата интегрирования рассмотрена выше.Перемножив матрицы в правой части соотношения (9.51), получимbxby2Dt F − α D= D³−α F + D2 Dtилиα F+´´ D Dt 2 22Dt F − α Dξxξy,bxby´³= D Dt2 + α2 ×!Ã³2Ã!∆∆2−DαµρD− Dt µρ Dt −t  ξx R!m .

(9.52)à Rm!Ã×∆∆2 ξy−αµρ Dt −Dt µρ Dt −−DRmRmПодставив выражение (9.52) в уравнение (9.46), получим уравнениедля функции ξ(x, y, t):D³Dt2+α2´2Ã!(e)D2 bz0 − bz0∆Dt −∆2 ξ =.Dt −Rmµρ(µρ)2 H0(9.53)На основании изложенного приходим к следующему выводу.Утверждение. Любое решение v(x, y, t), b(x, y, t), η(x, y, t) задачи о малых возмущениях в слое идеальной несжимаемой однороднойэлектропроводной вращающейся жидкости с учетом диффузии магнитного поля, удовлетворяющее необходимым условиям гладкости,– 379 –представимо в виде³´eb(x, y, t) = µρDt Dt2 + α2 b,´1 ³eη = Dt Dt2 + α2 η,g×Ãvxvy=!eeDt−α bx  ee by(9.55)eeeb= Dt b,eηee = Dt η,(9.54)ff ηxfyDtηfα³(9.56)f+ Dbfx+,ff D by´= D Dt2 + α2 ×Ã!∆∆µρDt Dt −− D2αµρ Dt −R!m!à RmÃ∆∆µρDt Dt −− D2−αµρ Dt −RmRm³(9.57)ξxξy,(9.58)´ee(9.59)η(x,y, t) = F 2 + (αD2 )2 ξ(x, y, t),Ã!´³∆∂∂F = µρ Dt2 + α2 Dt −− D2 Dt ,D = b0x+ b0y ,Rm∂x∂yгде функция ξ(x, y, t) является решением уравнения (9.53).Замечание.

Верно и обратное утверждение: любое решение уравнения (9.53) порождает решение системы (9.27)–(9.31), моделирующеймалые возмущения в тонком слое идеальной несжимаемой однородной электропроводной вращающейся жидкости с учетом диффузиимагнитного поля, если построенные по формулам (9.54)–(9.59) функции v, b, η удовлетворяют в рассматриваемой области условиям гладкости.Из уравнения∂∂∂H+(H0 vx ) + (H0 vy ) = 0∂t∂x∂yследуетvx ∂H0vy ∂H0∂vz1 ∂η++=H0 ∂t ∂H0 ∂x∂H0 ∂y∂zили, проинтегрировав по zÃ!1vz (x, y, z, t) =Dt η + vp · ∇ln H0 z + C0 (x, y, t).H0– 380 –С учетом условияvz (x, y, −Z, t) = −vx∂Z∂Z− vy∂x∂yполучаемÃ!1∂Z∂Zvz (x, y, z, t) =Dt η + vp · ∇ln H0 (z + Z) − vx− vyH0∂x∂yДля удобства дальнейших исследований уравнение (9.53) запишемв видеÃ!∂∂b0x+ b0y×∂x∂y64253∂∂∂∂∂∂∆∆∆ ∆ξ−×  6 + 2α2 4 + α4 2 −− 2α2− α453∂t∂t∂tRm ∂tRm ∂tRm ∂Ã!3∂∂b0x+ b0y(e)42∂∂bz0 − bz0∂x∂y 24−.

(9.60)+ 2α 2 + α ∆2 ξ =µρ∂t4∂t(µρ)2 H09.1.3.Волны в прямолинейном слое и канале переменной глубиныРассмотрим свободные линейные колебания вращающегося слоя электропроводной жидкости. А именно, исследуем распространение волнмалой амплитуды в бесконечно протяженном по горизонтали слое ив узком длинном канале.Направляя ось Oy параллельно b0 , уравнение (9.60) примет вид(e)b20y ∂ 2∂  ∂21 ∂3b(x,y,t)−bz0z0 (x, y, t) Aζ =−−, (9.61)∂y ∂t2 Rm ∂t∂y 2 µρ ∂y 2b0y (µρ)2 H0 (x, y)2∂ 2ξ∂22— дифференциальный оператор, ζ = 2 . Погде A =+α∂t2∂ yлагая в (9.61)ZyAζ = S,y0(e)(bz0 − bz0 )(x, y, t)dy = BH ,b0y (µρ)2 H0 (x, y)относительно функции S(x, y, t) получим уравнениеb20y1Stt =Syy +Syyt + BH (x, y, t),µρRm(9.62)– 381 –Будем искать решение уравнения (9.62) в видеeS(x, y, t) = S(x,y)e−iσt .ef−iσtТогда для функции S(x,y) при BH (x, y, t) = BполучимH (x, y)eуравнениеb20y eiσ ef−σ S =Syy −Syy + BHµρRm2eилиb2iσ b20yiσ2  0yσ++µρ Rm eµρ RmfSeyy +S = −B.H42b0yb40yσσ2+ 2+ 2(µρ)2 Rm(µρ)2 RmПоследнее уравнение запишем в видеSeyy + σ 2 d2 Se = bH ,(9.63)гдеb20yiσ+µρ Rmfd2 = 4,bH = −d2 BH.2b0yσ+ 2(µρ)2 RmОбщее решение соответствующего однородного уравненияSec.h = C1 (x) cos dσy + C2 (x) sin dσy.Частное решение неоднородного уравнения (9.63) содержит произfвольные функции Ck (x, y), k = 1, 2 и находится методом Лагранжавариации произвольных постоянных в видеffSep.nh = C1 (x, y) cos dσy + C2 (x, y) sin dσy,ffгде функции C1 и C2 находятся из системы линейных неоднородныхдифференциальных уравненийf0f0C1y cos dσy + C2y sin dσy = 0,f0−dσ C1ysin dσy +f0dσ C2ycos dσy = bH .(9.64)– 382 –Из системы (9.64) находимf0Cky =гдеW =¯¯¯¯¯¯¯¯Wk,Wk = 1, 2,cos dσysin dσy−dσ sin dσy dσ cos dσy¯¯¯¯¯—¯¯¯определитель Вронского функцийy1 = cos dσy,y1 = sin dσy,W (y1 , y2 ) = dσ cos2 dσy + dσ sin2 dσy = dσ.Далее находимW1 =W2 =¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯0sin dσybH dσ cos dσycos dσy−dσ sin dσy¯¯¯¯¯¯¯¯= −bH sin dσy,¯¯0 ¯¯¯¯bH ¯¯= bH cos dσy.Таким образом,yfC1 (x, y)1 Z=−bH (x, y) sin dσy dy,dσ y0yfC2 (x, y)1 Z=bH (x, y) cos dσy dy.dσ y0В результате решение уравнения (9.63) имеет вид³´³´effS(x,y) = C1 (x) + C1 (x, y) cos dσy + C2 (x) + C2 (x, y) sin dσy.Произвольные функции C1 и C2 определяются из граничного условия.В результате для функции ζ имеем уравнение2∂2+ α2  ζ = S.2∂t(9.65)Общее решение соответствующего однородного уравненияζc.h = (C1 (x, y) + C2 (x, y)t) cos αt + (C3 (x, y) + C4 (x, y)t) sin αt.– 383 –Частное решение неоднородного уравнения (9.65) содержит произfвольные функции Ck (x, y), k = 1, 4 и находится методом Лагранжавариации произвольных постоянных в виде³´³´ffffζp.nh = C1 (x, y, t) + C2 (x, y, t)t cos αt+ C3 (x, y, t) + C4 (x, y, t)t sin αt,f f f fгде функции C1 , C2 , C3 , C4 находятся из системы линейных неодно-родных дифференциальных уравненийf0f0f0f0C1t cos αt + C2t t cos αt + C3t sin αt + C4t t sin αt = 0,f0f0f0−αC1t sin αt + C2 (cos αt − αt sin αt) + α cos αtC3t +f0+C4t t(sin αt + αt cos αt) = 0,22f0f0f0−α2 cos αtC1t − (2α sin αt + α t cos αt)C2t − α sin αtC3t +(9.66)f0+(2α cos αt − α2 t sin αt)C4t = 0,³´233f0f0f0α3 sin αtC1t + −3α cos αt + α t sin αt C2t − α cos αtC3t −³´f0− 3α2 sin αt + α3 t cos αt C4t = S.Из системы (9.66) находимf0Ckt =Wk,Wk = 1, 4,гдеW =¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯cos αtt cos αtsin αtt sin αt−α sin αt cos αt − αt sin αt α cos αt sin αt + αt cos αtδ31δ32δ33δ34δ41δ42δ43δ44y3 = sin αt,y4 = sin αt,определитель Вронского функцийy1 = cos αt,y2 = cos αt,δ31 = −α2 cos αt,δ33 = −α2 sin αt,δ41 = α3 sin αt,δ43 = −α3 cos αt,δ32 = −2α sin αt − α2 t cos αt,δ34 = 2α cos αt − α2 t sin αtδ42 = −3α2 cos αt + α3 t sin αt,δ34 = −3α2 sin αt − α3 t cos αt.¯¯¯¯¯¯¯¯¯—¯¯¯¯¯¯¯– 384 –По формуле Остроградского–ЛиувилляW (y1 , y2 , y3 , y4 ) =¯¯¯W (y1 , y2 , y3 , y4 )¯¯¯Zt−ea1 (t) dtt0,t=t0где a1 (t) — коэффициент при производной 3–го порядка в уравнении(9.65).

В нашем случае a1 (t) = 0. Следовательно,¯¯¯W (y1 , y2 , y3 , y4 ) = W (y1 , y2 , y3 , y4 )¯¯ =¯t=t0¯¯¯¯¯ 1000 ¯¯¯¯¯¯¯¯ 0¯1α0¯¯¯ = −4α4 .¯=¯¯¯ −α200 2α ¯¯¯¯¯¯¯23¯ 0−3α −α 0 ¯¯¯Далее находимW1 =¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯0t cos αtsin αtt sin αt0cos αt − αt sin αtα cos αtsin αt + αt cos αt20−2α sin αt − α cos αt22−α sin αt2α cos αt − α t sin αtS −3α2 cos αt + α3 t sin αt −α3 cos αt −3α2 sin αt − α3 t cos αt¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯== 2α (sin αt − αt cos αt) S,W2 =¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯cos αt0sin αtt sin αt−α sin αt0α cos αtsin αt + αt cos αt−α2 cos αt 0 −α2 sin αtα3 sin αt2α cos αt − α2 t sin αtS −α3 cos αt −3α2 sin αt − α3 t cos αt¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯== 2α2 S cos αt,W3 =¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯cos αtt cos αt0t sin αt−α sin αtcos αt − αt sin αt0sin αt + αt cos αt−α2 cos αt−2α sin αt − α2 cos αt02α cos αt − α2 t sin αtα3 sin αt−3α2 cos αt + α3 t sin αt S −3α2 sin αt − α3 t cos αt= −2α (cos αt + αt sin αt) S,¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=– 385 –W4 =¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯cos αtt cos αtsin αt0−α sin αtcos αt − αt sin αtα cos αt02−α cos αtα3 sin αt2−2α sin αt − α cos αt2−α sin αt 0−3α2 cos αt + α3 t sin αt −α3 cos αt S¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯== 2α2 S sin αt.Таким образом,fC11 Zt= 3 (αt cos αt − sin αt)S dt,2α t0fC21 Zt= − 2 S cos αt dt,2α t0fC31 Zt= 3 (cos αt + αt sin αt)S dt,2α t0fC41 Zt= − 2 S sin αt dt.2α t0В результате решение уравнения (9.65) имеет видζ(x, y, t) = (C1 (x, y) + C2 (x, y)t) cos αt + (C3 (x, y) + C4 (x, y)t) sin αt+³´³´ffff+ C1 (x, y, t) + C2 (x, y, t)t cos αt + C3 (x, y, t) + C4 (x, y, t)t sin αt.Произвольные функции C1 , C2 , C3 , C4 определяются из граничногоусловия.В общем случае из аналитического вида выражения ζ, а следовательно, и функции η следует, что волновые колебания могут обнаруживать неустойчивось при неотрицательных значениях мнимой частичастоты σ.

Характеристики

Список файлов диссертации