Диссертация (1145260), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Пусть масштаб движения в направлении север–юг достаточномал, так, что геометрия движения допускает использование локальной декартовой системы координат, причем сферичность слоя учитывается лишь в изменении параметра Кориолиса с широтой, которыйможет быть записан какf = β0 y ∗ ,(8.224)2ωгде y∗ — размерное расстояние к северу от экватора, β0 = − , r0 —r0радиус жидкого слоя.Действительно, используя разложение в ряд в окрестности широтыπθ0 = :2cos θ0cos θ = cos θ0 − sin θ0 (θ − θ0 ) −(θ − θ0 )2 + · · · ,2с учетом соотношенияy∗ = (θ − θ0 ) r0получим выражениеf = 2ω cos θ = −2ω sin θ02ωy∗ = − y∗ = β0 y∗ .r0r0– 324 –С помощью характерных масштабов введем в рассмотрение безразмерные переменные:x∗ = Lx,y∗ = Ly,z∗ = Dz,t∗ = T t,где в качестве масштаба времени выбрано время адвекции.

Для компонент скорости и магнитного поля имеемDU vz ,LD= Bbz .Lvx∗ = U vx ,vy∗ = U vy ,vz∗ =bx∗ = U bx ,by∗ = U by ,bz∗Выбор масштабов для поля плотности и давления проводится с учетом того, что при малых скоростях горизонтальный градиент давления одинаков по порядку величины с силой Кориолиса, и предположения равенства по порядку величин сил плавучести и вертикальногоградиента давления, что следует из удовлетворения с большой степенью точности крупномасштабных движений приближению гидростатики. Итак, будем считать, что ps (z) и ρs (z) определяют основноесостояние, на фоне которого возникают возмущения, обусловленныедвижением. Поэтому давление p∗ и плотность ρ∗ представим соотношениямиep∗ = ps (z) + p(x,y, z, t),eρ∗ = ρs (z) + ρ(x,y, z, t),в которых pe и ρe — изменяющиеся в пространстве и во времени отклонения от стандартных значений ps (z) и ρs (z).

Определим масштабыe Так как характерное значение силы Кориолисадля величин pe и ρ.представляется выражениемρ∗ vx∗ f = O (ρs β0 LU ) ,а характерная величина горизонтального градиента давления равнаpe, получим представление:L³´pe = O ρs β0 L2 U .– 325 –Следовательно, давление представимо в видеep∗ = ps (z) + ρs (z)β0 L2 U p(x,y, z, t).(8.225)Для вертикального градиента давления pe справедливо соотношениеÃ!ρs β0 L2 U ∂ pepe= O,=O∂z∗DDe имеет такой же порядок величины, тоследовательно, если ρgβ0 L2 ρe = O ρs U.gDТаким образом, плотность может быть представлена следующим образом:β0 L 2 Uρ∗ = ρs (z) 1 +ρ(x, y, z, t) .gD(8.226)Уравнения движения в безразмерных переменных примут видÃ!β L2 U  U ∂vx β0 L 2 U  U 2∂vx∂vx∂vx1 + 0ρ+ 1+ρvx+ vy+ vz=gDT ∂tgDL∂x∂y∂z´∂ ³ 2β0 LU yvy ρ∗∂pB2bx + by 2 + δ 2 bz 2 += −β0 LU−+∂x 2µLρs (z) ∂xρs (z)Ã!∂bx∂bx∂bxB2bx,(8.227)+ by+ bz+µLρs (z)∂x∂y∂zÃ!22βLU∂v∂vy∂vy∂vyUβLUU20y01 +ρ+ 1+ρvx+ vy+ vz=gDT ∂tgDL∂x∂y∂z´β0 LU yvx ρ∗∂pB2∂ ³ 2= −β0 LU−bx + by 2 + δ 2 bz 2 −+∂y 2µLρs (z) ∂yρs (z)Ã!B2∂by∂by∂by+bx+ by+ bz,(8.228)µLρs (z)∂x∂y∂z!22 ÃβLUδUδU∂v∂v∂v∂vzzz z1 + 0ρ +vx+ vy+ vz=gDT ∂tL∂x∂y∂zÃ!1 ∂B2∂bx∂by2 ∂bz=−(ρs (z)p) −bx+ by+ δ bz−ρz (z) ∂zβ0 µL2 U ρs (z)∂z∂z∂zÃ!B 2δ2∂bz∂bz∂bz−ρ +bx+ by+ bz,(8.229)β0 L2 U ρs (z)∂x∂y∂zгде δ =D.L– 326 –UB2одного порядка, откуда масштаб для t∗Параметры , β0 LU,TµLρsопределяется как1T =.(8.230)β0 LВ результате получим уравнение неразрывностиβ0 L2 U dρ β0 L2 U vz dρs (z)+ 1+ρ div v += 0,gD dtgDρs (z) dz(8.231)уравнение соленоидальности магнитного поляdiv b = 0(8.232)и уравнение индукции магнитного поля∂b= hb, ∇i v − hv, ∇i b − b div v.∂t(8.233)При U = 1 см/сек, r0 = 3, 5 · 108 см, 2ω ≈ 1, 4 · 20−4 сек−1 , D = 4 · 106см получаем оценку´³β0 L2 U(8.234)= O 10−7 .gDОставляя только линейные члены в уравнениях (8.227)–(8.229) и (8.231)–(8.233), с учетом соотношения (8.230), оценки (8.234) и представленийv = v0 + v0 (x, y, z, t),b = b0 + b0 (x, y, z, t),и предполагая, что малые возмущения скорости v0 и индукции магнитного поля b0 распространяются по некоторому стационарному однородному фону, описываемому постоянными величинами v0 , b0 (далее v0 = 0), получаем в результате уравнения в приближении экваториальной β–плоскости, в видеÃ!∂vx∂η 1ρs− yvy +− Dbx = 0,∂t∂x µ!Ã∂η 1∂vy+ yvy +− Dby = 0,ρs∂t∂y µ1 ∂ηρ=−,ρs ∂z(8.235)(8.236)(8.237)– 327 –1 ∂∂vx ∂vy(ρs vz ) ++= 0,ρs ∂z∂x∂y∂bx ∂by ∂bz++= 0,∂x∂y∂z∂bρ0s= Dv + b0 vz ,∂tρs(8.238)(8.239)(8.240)1(b0x bx + b0y by ), D = hb0 , ∇i — дифференциальныйµоператор, обозначение для возмущения индукции магнитного полягде η = ρs p +сохранено прежним.Замыкаем систему (8.235)–(8.240) термодинамическим уравнением [69]dραρ0Q,= κ∆ρ −dtcP(8.241)ï!¯1 ∂ρ ¯¯¯ — коκ — коэффициент температуропроводности, α = −ρ ∂T ¯¯pэффициент термического расширения, cP — удельная теплоемкостьпри постоянном давлении, Q — скорость притока тепла от внешнихисточников на единицу массы.

Поскольку из представления (8.226)имеемβ0 L 2 Uρ(x, y, z, t) ,ρ∗ = ρs (z) 1 +gDлинеаризованное уравнение (8.241) приводится к безразмерной форме∂ρg ∂ρs (z) DM∗ gD,+v=z∂t ρs (z) ∂z β0 2 L4β0 2 L3 U ρs (z)M∗ = κ∆ρ∗ −αρ0Q,cPили, вводя обозначенияg ∂ρs (z)g ∂ρs (z)=−,ρs (z) ∂z∗Dρs (z) ∂zN 2D2g ∂ρs (z) D2gD∂ρs (z)S(z) = 2 4 = −=−=Dρs (z) ∂z β0 2 L4β0 Lβ0 2 L2 L2 ρs (z) ∂zà !2RM∗ R1 ∂ρs (z)=−= O(1),M =−,L ρs (z) ∂zLU ρs (z)√gDгде R =— экваториальный радиус деформации Россби, N 2 —β0 LN2 = −– 328 –квадрат частоты Вяйсяля–Брента, к выражению−∂ρ+ S(z)vz = M.∂t(8.242)Считая вертикальный масштаб плотности большим по сравнению свертикальным масштабом вертикального движения, т. е.

учитывая1 ∂ρs (z)малость величины, уравнение (8.238) примет видρs (z) ∂zdiv v = 0.(8.243)Эффект стратификации описывается параметром S, который может!ÃNDLD 2, где LD =. Выбирая в качебыть представлен как S =Lβ0 L vuuNDстве характерного масштаба длины L, равный L = t, получаемβ0S = O(1). Это соотношение вытекает из наблюдений, и не требуетсяаприори [17].В отсутствие диссипации уравнение (8.242) сводится к уравнениюсохранения плотности∂ρ− S(z)vz = 0.∂t(8.244)Исключив функцию ρ из уравнения (8.244) и уравнения (8.237) по t,систему (8.235)–(8.240), (8.243), (8.244) можно представить в форме∂vx∂ ηe1− yvy +−Dbx = 0,∂t∂x µρs∂ ηe1∂vy+ yvx +−Dby = 0,∂t∂y µρs1 ∂ 2 ηevz = −,S(z) ∂t∂z(8.245)(8.246)(8.247)div v = 0,(8.248)div b = 0,∂b= Dv,∂t1(b0x bx + b0y by ) .ηe = p +µρs(8.249)(8.250)(8.251)– 329 –eeeВведем в рассмотрение функции η(x,y, z, t) и b(x,y, z, t), опреде-ляемые равенствами³´2eeeη(x,y, z, t) = − Dt 2 + y 2 η(x,y, z, t),³(8.252)´eb(x, y, z, t) = µρs Dt 2 + y 2 b(x,y, z, t),(8.253)∂e, b = (bx , by ) , b= (bx , by ).

Заметим, что равенства (8.252)∂teи (8.253) определяют функции ηee и bнеоднозначно: если функциягде Dt =η0 (x, y, z, t) удовлетворяет соотношению (8.252), то этому соотношению удовлетворяет и функция видаηee = η0 (x, y, z, t) + [η1 (x, y, z) + η2 (x, y, z)y] cos yt+(8.254)+ [η3 (x, y, z) + η4 (x, y, z)y] sin yt,где ηj (x, y, z), j = 1, 4 — произвольные функции; аналогично, равенeство (8.253) определяет семейство функций bвидаeb= b0 (x, y, z, t) + b(1) (x, y, z) cos yt + b(2) (x, y, z) sin yt,(8.255)где b(j) , j = 1, 2 — произвольные функции своих аргументов в рассматриваемой области.Пусть далее b0x = b0y = 0.

Подставив функции ηe и b из выражений(8.252) и (8.253) в уравнения (8.245) и (8.246), получим в матричномвидеDt −yyDtvxvy³´³2= D +´ 2 2y +4y Dt 2 + y 20ηee³´∂ ηee∂x∂ ηee∂y+ D2 + y2 D +ebxbey.(8.256)Интегрирование соотношения (8.256) по t приводит к равенствуvxvy=Dt−y³2  DtDt y+´2 y ∂ ηee∂x∂ ηee∂y+4y 0ηee+e bx   +D e by – 330 –cos yt+C1 (x, y, z) − sin yt+ C2 (x, y, z) sin yt,cos yt(8.257)где C1 (x, y, z) и C2 (x, y, z) — произвольные функции.

Подставляя функeeee bции η,x и by из представлений (8.254) и (8.255) в равенство (8.257),получимvxvy=Dty−y Dt ³ 2 D+´2 y ∂η0∂x∂η0∂y+ C1 (x, y, z) + 2y 2 (η1 + η2 y) + yb0z +4y (2)0η0D(1)∂bx∂by+∂z∂z+ C2 (x, y, z) + 2y 2 (η3 + η4 y) + yb0z (2)+∂by∂bx−∂z∂zby +(0)  (1)bx (0)cos yt− sin yt +sin ytcos yt.(8.258)Рассмотрим вектор C(x, y, z) = (C2 (x, y, z), −C1 (x, y, z), 0) ∈ H2 (ΩΩ),Cj (x, y, z) ∈ L2 (ΩΩ), j = 1, 2, где H2 (ΩΩ) — подпространство гильбертова пространства вещественных вектор-функций v = (v1 , v2 , v3 ), определенных в ограниченной области Ω ∈ R3 с кусочно-гладкой границей и имеющих компоненты vk , k = 1, 3, принадлежащие гильбертовупространству вещественных функций L2 :H2 (ΩΩ) = {v ∈ L2 : v = (v1 , v2 , 0)} ,т. е.

H2 (ΩΩ) представляет собой совокупность всех векторов v ∈ L2 (ΩΩ),имеющих нулевую третью компоненту.Для дальнейшего исследования оказывается полезной следующаятеорема о представлении векторов подпространства H2 (ΩΩ).Теорема [35]. Для любого вектора C(x, y, z) ∈ H2 (ΩΩ) найдетсяпара функций ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) ∈ L2 (ΩΩ) такая, что C(x, y, z) == (ϕx + ψy , ϕy − ψx , 0) где ϕx , ϕy , ψx , ψy — частные производные функций ϕ(x, y, z) и ψ(x, y, z).– 331 –Используя теорему и полагая в (8.258)∂f1 ∂f2+,∂x∂y∆2 ψ(x, y, z) =∆2 ϕ(x, y, z) =∂f2 ∂f1−,∂x∂yгде´∂ ³ (2)(1)f1 (x, y, z) = −2y (η1 + η2 y) − yb0zb + by ,∂z x´∂ ³ (2)f2 (x, y, z) = −2y 2 (η3 + η4 y) − yb0zby − b(1),x∂z2получаемvxvy=Dt−y³D2Dt y+´2 y ∂ ηee∂x∂ ηee∂y+4y 0ηee+f  bx   .D f by (8.259)Из уравнения (8.250) с учетом выражения (8.259) вытекает равенство³2Dt µρs Dt + y2´− Dt D2−yD= DDt µρs Dt 2 + y 2 −Dt−y´³yD22³y Dt 2Dt +´2 y ∂ ηee∂x∂ ηee∂y+ 4y f  bx  f  =2Dt Dby0.(8.260)eeη Вводя вместо функции ηee функцию ξ по формуле ηee = f 2 ξ, где³´³f = Dt 2 µρs Dt 2 + y 2 − D2´2+ y2D4есть дифференциальный оператор, и интегрируя соотношение (8.260),для горизонтальных компонент поля получим выражение в матричном видеf bx  f by=h2´y−y Dt ³ D 2t+−D2iyDh−yD2Dt2Dt µρs Dt + y×D ³´2 y ³2´i ×Dt µρs Dt 2 + y 2 − D2∂ξf 0 ∂x + 4y  .(8.261)∂ξ fξ 2fy0 ξ + f∂y– 332 –Произвольные функции результата интегрирования можно исключить используемым выше методом.Вектор b является решение системы (8.245)–(8.250), поэтому подстановка выражений (8.247), (8.259) и (8.261) в уравнение (8.248) приводит к уравнению для функции ξ(x, y, z, t):³´³´A1 ∆2 ξ + B1 − A02y ξx + A01y + B2 ξy +·+0B2y+1S Dt³2Dt + y´ ³2 22f fz0+∂f 2 ∂z´¸(8.262)ξ = 0,∂2∂2где ∆2 = 2 + y — оператор Лапласа,∂x∂x³´³´³´³´³´A1 = Dt 2 + y 2 Dt f 2 + Dt Dt 2 + y 2 (Dh1 ) − y Dt 2 + y 2 (Dh2 ) ,´³A2 = y Dt 2 + y 2 f 2 + Dt Dt 2 + y 2 (Dh2 ) + y Dt 2 + y 2 (Dh1 ) ,´³´h ³iB1 = 2y Dt 2 + y 2 f fy0 + 4y 2 f 2 + Dt D 2 Dt 2 + y 2 h4 + 4yh2 +´h ³i+yD 2 Dt 2 + y 2 h3 + 4yh1 ,h ³´³i´B2 = 2Dt Dt 2 + y 2 f fy0 + 4yDt f 2 + Dt D 2 Dt 2 + y 2 h3 + 4yh1 −i´h ³−yD 2 Dt 2 + y 2 h4 + 4yh2 ,h4 = F2 fy0 ,h1 = F1 f,´³F1 = Dt 2 f1 − y 2 D2 D,³´h3 = F1 fy0 ,h2 = F2 f,³´F2 = yDt f1 + D2 D,f = Dt 2 + f12 + y 2 D4f1 = µρs Dt 2 + y 2 − D2 ,суть дифференциальные операторы.

Характеристики

Список файлов диссертации