Диссертация (1145260), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

е. приσ2 <1.µρs c2 S (k 2 + l2 )Поэтому общее решение уравнения (8.132) представимо в видеff ee 1; η) Φ(η)=F(α, −α,C1 + C2гдеfF1 (η)Z=Zfe−F1 (η)f2 ee 1; η)F(α, −α,dη ,Z dηη−1dη == ln η,η(η − 1)ηи, следовательно, в видеff ee 1; η) C1 + C2Φ(η)=F(α, −α,Zdη.f2 ee 1; η)ηF(α, −α,(8.134)– 289 –Далее, выполним более детальный анализ представления (8.134). Изf e e eсвойств гипергеометрической функции F(α, β, γ, η) [13, 46] получим,чтоf0f eΦ (η) = −αe F(α + 1, −αe + 1, 2, η) C1 + C2Zdη+f2 eeη F (α, −α, 1; η)f ee 1; η)F(α, −α,f e+ C2− 2αe 2 F(α + 1, −αe + 1, 2, η) .ηИз первого равенства условий (8.129) получаем также, чтоC1 = −C2Zf ee 1, η)dηF(α, −α,−+f2 ee 1; η)ηηF2 (α, −α,f e+ 2αe 2 F(α + 1, −αe + ¯¯¯1, 2, η) ¯¯¯¯.z=0Третье из условий (8.129) при больших z выполняется вследствиепредставления Φ0 (z) в виде произведения ограниченной функции ифункции ρ0s (z), которая в условиях рассматриваемой задачи при больших z равна нулю.Выполнение второго из условий (8.129) приведет к дисперсионному соотношению между параметрами, определяющими динамикурассматриваемого процесса.Рассмотрим в качестве примера конкретный случай:³22´σ k + l + kβ= 1.σF 2 SОтсюда можно определитьσ=−kβ.k 2 + l2 − F 2 S(8.135)При F S = 0 частота σ совпадает с частотой волн Россби в однородной жидкости при наличии твердой горизонтальной границы.Теперь уравнение (8.132) допускает интегрирование в классе элементарных функций.

Так как оно имеет частное решениеfΦ0 = η − 1,– 290 –общее решениеfΦ(η)= (η − 1) C1 + C2Zdη2η(η − 1)может быть представлено в видеÃÃfΦ(η)= (η − 1) C1 + C2!!1ln η −− ln(η − 1)η−1.(8.136)fИз выражения для производной функции Φ(η)по переменной zÃf0ΦzC2η= η C1 + C2 ln−η−1η!0и условия Φ0 (0) = 0 получим, чтоC2 ρs (0)γρ0s (0)γ C1 + C2 ln−= 0,ρs (0)γ − 1 ρ2 (0)γоткудаρs (0)γ1 C1 = −C2 ln−.ρs (0)γ − 1 ρs (0)γµσ 2В последнем равенстве γ = 2 2.

Таким образом, функцияC (k + l2 ) Sρs (z) [ρs (0)γ − 1] γ [ρs (z) − ρs (0)] − 1 +.Φ(z) = C2 [ρs (z)γ − 1] lnρs (0) [ρs (z)γ − 1]γρs (0) [ρs (z)γ − 1]Можно показать, что условие Φ0 (z) → 0 при z → −∞ равносильноравенствуρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0) lim C2 ρ0s (z)γ ln+= 0.z→−∞ρs (0) [ρs (z)γ − 1]γρs (0)ρs (z)Последнее справедливо, так какlim ρ0 (z)z→−∞ s= 0.Условие Φ(z) → 0 при z → −∞ равносильно равенствуρs (z) [ρs (0)γ − 1] γ [ρs (z) − ρs (0)] − 1 += 0,lim C2 [ρs (z)γ − 1] lnz→−∞ρs (0) [ρs (z)γ − 1]γρs (0) [ρs (z)γ − 1]из которогоlnρs (−∞) [ρs (0)γ − 1] 1 − γ [ρs (−∞) − ρs (0)]=,ρs (0) [ρs (−∞)γ − 1]γρs (0) [ρs (−∞)γ − 1]– 291 –и, следовательно,³´k 2 + l2 2 F 2 S2;σ Àµили, с учетом равенства (8.135),k2F 2SÀ.(8.137)µβ 2(k 2 + l2 ) (k 2 + l2 − F 2 S)2Из неравенства (8.137) следует, что k и l удовлетворяют соотношениюβ 2µ  2622442 24 2k + 3l − 2F S k + 3l − 4l F S + F S − 2 k +F S³´2³22+l l −F S´2¿ 0,(8.138)а из соотношения (8.138) при k 2 = ke получаем, чтоke 3 + a1 ke 2 + a2 ke + a3 ¿ 0,³´2β 2µ22 2l−FS.,a=l3F 2SУравнение ke 3 + a1 ke 2 + a2 ke + a3 = 0 дает зависимость k от l.a1 = 3l2 − 2F 2 S, 3l4 − 4l2 F 2 S + F 4 S 2 −Основные магнитогидродинамические характеристики представляются следующими соотношениями:ρ(z)[ρ(0)γ−1]γ[ρ(z)−ρ(0)]−1ssss×v0 = kC2 [ρs (z)γ − 1] ln+ρs (0) [ρs (z)γ − 1]γρs (0) [ρs (z)γ − 1]× sin (kx + ly − σt) ,ρs (z) [ρs (0)γ − 1] γ [ρs (z) − ρs (0)] − 1 u0 = −lC2 [ρs (z)γ − 1] ln+×ρs (0) [ρs (z)γ − 1]γρs (0) [ρs (z)γ − 1]× sin (kx + ly − σt) ,bx0lCρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0) = − C2 γρ0s (z) ln+×σρs (0) [ρs (z)γ − 1]γρs (0)ρs (z)× cos (kx + ly − σt) ,kCρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0) ×by0 =C2 γρ0s (z) ln+σρs (0) [ρs (z)γ − 1]γρs (0)ρs (z)× cos (kx + ly − σt) ,bz0 = C,ρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0) ρ0 = −C2 γρ0s (z) ln+×ρs (0) [ρs (z)γ − 1]γρs (0)ρs (z)× cos (kx + ly − σt) ,– 292 –ρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0) p0 = C2 [ρs (z)γ − 1] ln+×ρs (0) [ρs (z)γ − 1]γρs (0)ρs (z)× cos (kx + ly − σt) ,ρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0) w1 = −C2 γσρ0s (z) ln+×ρs (0) [ρs (z)γ − 1]γρs (0)ρs (z)× cos (kx + ly − σt) .Вывод: Анализ последних равенств позволяет сделать выводо справедливости гипотезы С.И.

Брагинского о существовании сильных изменений в тонком жидком сферическом слое, примыкающемк границе. Это вытекает из анализа поведения функции Φ(z). Вчастности, для экспоненциальной стратификации при увеличенииглубины слоя происходит резкое уменьшение величины Φ(z), затемΦ(z) меняет знак и при дальнейшем изменении глубины начинаетплавно возрастать, затем еще более плавно стремиться к нулю.§ 8.3.Динамика вращающегося сферического слоя идеальной несжимаемой электропроводной жидкостиВ данном параграфе проводится исследование динамики магнитного поля вследствие трехмерного крупномасштабного движения невязкой, несжимаемой, неоднородной идеально проводящей вращающейсяжидкости, сосредоточенной в сферическом слое.

Предлагаемая математическая модель исследуемого физического процесса представляетсобой замкнутую систему уравнений в частных производных, состоящую из уравнений гидродинамики с учетом вращения, силы Лоренца и соответствующих уравнений магнитной динамики с необходимыми граничными условиями. Производится анализ математическоймодели, пригодной для расчета трехмерных движений с большим временным масштабом и пространственным горизонтальным масштабом,сравнимым с радиусом слоя. Основная идея анализа состоит в постро-– 293 –ении схемы последовательных приближений, в которой геострофическое приближение является первым шагом.

Указанный метод анализа позволяет, не ограничиваясь эвристическими рассуждениями,вывести общие геострофические уравнения, описывающие движениякак однородной, так и неоднородной электропроводной вращающейся жидкости. Получено аналитическое решение системы нелинейныхуравнений в частных производных, моделирующей геострофическоедвижение в сферическом слое идеальной электропроводной неоднородной вращающейся жидкости. Анализ структуры представленныхполей магнитогидродинамических величин позволяет сделать выводо существовании сильных изменений в тонком слое, примыкающем квнешней границе.Целью данного параграфа является исследование волновых трехмерных крупномасштабных движений невязкой, несжимаемой неоднородной идеально проводящей вращающейся жидкости, сосредоточенной в сферической области. Представленные исследования могутбыть использованы в астрофизике и геофизике, в частности, при изучении процессов, происходящих в жидком ядре Земли и недрах звезд.Результаты исследования не ограничиваются только приложением к геофизике, они могут быть также полезны при рассмотрениипроцесса самовозбуждения магнитогидродинамического динамо в относительно больших массах жидкого металла и в технических устройствах, например, в технологических процессах, использующих напорные камеры реактора на быстрых нейтронах, домны, реакторы дляпроизводства титана и другие.В задачах о генерации магнитных полей часто возникают вопросыо том, какого вида должно быть движение, и при каких условиях магнитные поля могут существовать на достаточно больших интервалахвремени, т.е.

нас интересует характер рассматриваемых процессов.Для космических объектов время затухания магнитного поля очень– 294 –велико. Если принять, что жидкое ядро Земли состоит из расплавленного железа, то время затухания магнитного поля по одним оценкамсоставляет 15 000 лет [56], а по другим — 105 лет. Время затуханиямагнитного поля в солнечных пятнах — не менее 300 лет, а магнитногополя Солнца — 1010 лет [56].В рассматриваемых исследованиях под большим значением времени подразумевается время, значительно меньшее времени затуханиямагнитного поля, но вместе с тем достаточно большое для того, чтобынесколько поколений могли заметить это затухание.Приведенные выше оценки, конечно, очень условны. Возможно насамом деле они имеют еще более высокие порядки, поскольку, покана протяжении существования человека затухание магнитного поляявно не проявлялось, хотя, наблюдалось уменьшение его интенсивности до некоторого значения, но затем непременно следовало его увеличение.

Поэтому, если утверждение о затухании магнитного поляприменительно к земным условием и является возможным, то скореевсего порядок рассматриваемого времени намного больше приведенных выше из известных источников, либо все-таки интересующие наспроцессы представляют установившиеся колебания.В предыдущих параграфах изучалась роль стратификации в основной динамике изучаемых магнитогидродинамических процессов.Анализ полученного решения позволил установить факт существования установившегося режима колебаний при больших значенияхвремени, что служит подтверждением важной роли стратификацииплотности жидкого слоя, определяющей в целом ряде случаев его основную динамику.В динамику магнитного поля существенный вклад вносит движение представленной жидкости непосредственно в тонком, примыкающем к границе, слое.

Ранее был проведен анализ и сделан вывод отом, что для возмущений магнитогидродинамических полей с относи-– 295 –тельно малым горизонтальным масштабом, значительно меньшим радиуса слоя, развивающихся вблизи некоторой точки со сферическимикоординатами (θ0 , ϕ0 ). Особый интерес представляют глобальные возмущения магнитогидродинамических величин с наибольшей длинойволны, возможной в сферическом слое, с учетом термодинамическихизменений у границы, чему и посвящены исследования, представленные в данном исследовании.Итак, будем изучать волновые движения у внешней границы тонкого сферического слоя неоднородной жидкости.8.3.1.Основные уравнения крупномасштабных геострофических движений электропроводной жидкостиДвижение невязкой идеально проводящей несжимаемой неоднородной жидкости в системе, вращающейся с угловой скоростью ωω, в магнитной гидродинамике в переменных Эйлера описывается системойуравнений [6]dρ+ ρ div v = 0,dt∂v∇p1+ (v · ∇) v = −− 2 ω × v − gz +rot b × b,∂tρµρ∂b= rot (v × b) ,div b = 0,∂tгде b — вектор магнитной индукции, v — скорость жидкости в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ω , p — давление, ρ —плотность, g — величина ускорения силы тяжести.

Предполагается,что магнитная проницаемость µ постоянна.Важное свойство уравнения магнитной индукции заключается втом, что в случае бесконечно проводящей жидкости поток поля b через любую материальную поверхность в жидкости сохраняется. Этоозначает, что поле b изменяется так, как в случае, если бы магнитныесиловые линии этого поля были "вморожены" в движущееся вещество.

В телах космических размеров течение силовых линий оказы-– 296 –вается очень медленным и можно считать, что силовые линии практически "вморожены" в вещество [56].Таким образом, будем полагать, что жидкость обладает очень хорошей электропроводностью, так что магнитное число РейнольдсавеликоLUÀ 1,λeгде L, U — характерные размер и скорость, λe — коэффициент магнитRm =ной диффузии. Случай Rm À 1 реализуется в жидком ядре Земли,часто встречается в астрофизике и в некоторых технологических процессах.Если считать плотность переменной, тогда кроме уравнения движения, уравнения неразрывности и уравнений Максвелла необходимопривлекать уравнение баланса внутренней энергии [70, 84, 158]Ã !dEd 1ρ= −pρ+ k∆T + χ + ρQ + λe (rot b)2 .dtdt ρ(8.139)В силу того, что рассматриваемая жидкость идеально проводящая,последнее слагаемое в правой части уравнения (8.139) будет отсутствовать (λe = 0). В уравнении (8.139) E — внутренняя энергия единицы массы, T — температура, k — коэффициент теплопроводности,Q — скорость притока тепла от внешних источников на единицу массы, χ — приток тепла, обусловленный вязкой диссипацией.

Характеристики

Список файлов диссертации