Диссертация (1145260), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

В данном случае он равен нулю. Следовательно,¯¯¯W (y1 , y2 , y3 , y4 ) = W (y1 , y2 , y3 , y4 )¯¯ =¯t=t0¯¯¯¯¯ 1000 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 01α0¯¯¯ = −4α4 .¯=¯¯¯ −α200 2α ¯¯¯¯¯¯¯23¯ 0−3α −α 0 ¯¯¯Таким образом,fC11 Zt= 3 (αt cos αt − sin αt)S dt,2α t0fC21 Zt= − 2 S cos αt dt,2α t0fC31 Zt= 3 (cos αt + αt sin αt)S dt,2α t0fC41 Zt= − 2 S sin αt dt.2α t0В результате решение уравнения (7.275) имеет видζ(x, y, t) = (C1 (x, y) + C2 (x, y)t) cos αt + (C3 (x, y) + C4 (x, y)t) sin αt +³´³´ffff+ C1 (x, y, t) + C2 (x, y, t)t cos αt + C3 (x, y, t) + C4 (x, y, t)t sin αt.Произвольные функции C1 , C2 , C3 , C4 могут быть определены изграничных условий непротекания через вертикальные границы рассматриваемой области и заданных значений магнитного поля на них.§ 7.12.Волны в канале переменной глубиныРассмотрим свободные линейные колебания вращающегося слояэлектропроводной жидкости.

А именно, исследуем распространениеволн малой амплитуды в узком длинном канале.(e)Пусть H0 = const и bz0 − bz0 = Re Bei(kx + ly − σt) . Тогда уравнение (7.265) имеет решениеζ = Re Aei(kx + ly − σt) ,– 241 –если выполняется дисперсионное соотношение³σ 2 − α2´2´(b0x k + b0y l)2  ³ 2σ 2 −k + l2 (b0x k + b0y l) =µρB=.(7.277)Ai(µρ)2 H0(e)В частности, при bz0 = bz0 из уравнения (7.277) имеем³σ 2 − α2´2(b0x k + b0y l)2 σ 2 −= 0,µρоткуда получаем, чтоσ = ±α,σ=±b0x k + b0y l.√µρПусть, далее, H0 = H0 (y), bz0 − bz0 = B(y)ei(kx − σt) .

Искомое(e)решение уравнения (7.265) находим в видеζ = Re A(y)ei(kx−σt) .Относительно A(y) получаем уравнениеÃ∂Ã!ibk+bx00y´2³∂ ∂yσ 2 +ib0x k + b0yσ 2 − α2∂y µρ=−!2  00(A− k 2 A) =B(y).µρH0 (y)b30y (σ 2 − α2 )2(7.278)Если ось Oy совпадает с направлением вектора b0 , то из уравнения(7.278) вытекаетA(5)µρσ 2k 2 µρσ 2 0B(y)2  (3)+−k A −A =− 2,22b0yb0y(σ − α2 )2 µρb30y H0 (y)где верхний индекс в скобках обозначает соответствующий порядокпроизводной.

После интегрирования получимA(y) = C1 + C2 ea2 y + C3 ea3 y + C4 ea4 y + C5 ea5 y +a2 ya3 ya4 ya5 yggggg+C+C+C+C,1 (y) + C2 (y)e3 (y)e4 (y)e5 (y)e– 242 –гдеaj =vuuu µρσ 2t−±ub20y+ k2 ±vuu2u µρσtb20y−2k2+4k 2 µρσ 2,b0yj = 2, 5.gКоэффициенты Cj (y) можно найти методом Лагранжа вариации про-извольных постоянных.Выбирая направление оси Ox параллельно направлению вектораb0 , получим, что функция A(y) должна быть решением уравненияA00 − k 2 A =B(y).2b20x22ikb0x (σ 2 − α2 )  k − σ  (µρ)2 H0 (y)µρ(7.279)Следовательно, она может быть представлена в виде выраженияkygg −kyA(y) = C1 eky + C2 e−ky + C,1 (y)e + C2 e(7.280)где, согласно методу Лагранжа,Z B(y)1C 1 (y) =e−ky dy,2bH0 (y)2ik 2 (σ 2 − α2 )2  0x k 2 − σ 2  (µρ)2µρZ B(y)1C 2 (y) = −eky dy,2bH0 (y)2ik 2 (σ 2 − α2 )2  0x k 2 − σ 2  (µρ)2µρа произвольные постоянные C1 и C2 определяются из граничных условий на стенках канала y = ±b.С помощью соотношений (7.262)–(7.264) граничное условие (7.221)примет вид³³Dt2 Dt2 F 2 + (αD2 )2 + D2 (Dt2 + α2 ) µρ(Dt2 − α2 ) − D2´´×³× (ξx cos(n, x) + ζy cos(n, y)) = αDt Dt2 F 2 + (αD2 )2 + D2 (Dt2 + α2 )×³× 2µρDt2 − D2´´(ξx cos(n, y) − ξy cos(n, x)) ,(x, y) ∈ L.(7.281)Пусть s — орт касательной, направленной в сторону обхода контура против часовой стрелки, n — орт внешней нормали.

Тогда имеют– 243 –место соотношенияdydx,cos(n, y) = − cos θ = − ,dsdscos(s, x) = − cos(n, y),cos(s, y) = cos(n, x),cos(n, x) = sin θ =где θ — угол наклона касательной к оси x.В этом случае∂∂∂= − cos(n, y) +cos(n, x),∂s∂x∂yи краевое условие (7.281) принимает вид³´2 ³´ ∂ξDt2 Dt2 + α2 µρDt2 − D2=∂n³´2 ∂ξ= −αµρDt3 Dt2 + α2,(x, y) ∈ L,(7.282)∂sили, в терминах функции ζ,´ ∂ζ´2 ³³´ ∂ζ³Dt Dt2 + α2 µρDt2 − D2= −αµρDt2 Dt2 + α2.∂n∂sПри движении в канале, ограниченном стенками y = ±b, должны выполняться условия (7.282), которые в терминах функции A(y) имеютвидαµρσkA = 0,y = ±b.(7.283)b20x k 2 − µρσ 2Подстановка выражения (7.280) в граничные условия (7.283) привоA0 −дит к линейному неоднородному уравнению относительно C1 и C2 :Ã!Ã!αµρσkαµρσk−kyky− C2 ek+ 2 2=C1 ek− 2 2b0x k − µρσ 2b0x k − µρσ 2!Ã!Ãαµρσkαµρσkf −kyf ky+ C2 ek+ 2 2−= −C1 ek− 2 2b0x k − µρσ 2b0x κ − µρσ 2f0 kyf0 −ky−Ce −Ce,y = ±b,(7.284)1откудаC1 =где∆1 =2∆1,∆C2 =∆2,∆¯¯fff0f0kb−kbkb−kb¯ Cν+ − C¯1+ e ν− + C2+ e1+ e − C2+ e¯¯fff0f0−kbkb−kb−kb¯ Cν− + C−C¯1− e2− e ν+ − C1− e2− e¯¯−e ν+ ¯¯¯¯,−ekb ν+ ¯¯−kb– 244 –∆2 =¯¯¯¯¯¯¯¯−kb−eν+−ekb ν+fkbC1+ e ν−f−kbCν+2+ ef0f0kb−kb+−C1+ e − C2+ efff0f0−kbkb−kb−kbCν− + C−C1− e2− e ν+ − C1− e2− e¯¯¯¯−kb¯ ekb ν¯ν¯− e+ ¯¯¯,∆=¯¯kb¯ e−kb ν¯¯− e ν+ ¯¯¯¯¯¯,¯¯¯fffff0ff0fгде Cj+ = Cj (b), Cj− = Cj (−b), Cj+ = Cj (b), Cj− = Cj (−b),αµρσkγ= 2 2, ν± = γ ± k.

Определитель равенb0x k − µρσ 2³´∆ = 2 γ 2 − k 2 sh 2kb.Единственное решение системы (7.264) существует только при³´∆ = 2 γ 2 − k 2 sh 2kb 6= 0,илиγ 2 − k 2 6= 0,илиилиÃαµρσkb20x k 2 − µρσ 2!2− k 2 6= 0,!ÃÃ!αµρσkαµρσk−k+ k 6= 0,2222b0x k − µρσb0x k 2 − µρσ 2преобразуя это неравенство, получим∓µρkσ 2 + αµρkσ ± b20x k 3 6= 0,откудаb20x k 26= 0.∓σ + ασ ±∓µρПоследнее неравенство является дисперсионным соотношением и от2носительно σ(α, b0x , µ, ρ, k) имеет решения±α ±σ 6=vuutα22b20x k 2+4µρ.(7.285)В случае bz0 = b(e)z0 уравнение (7.279) однородное и, следовательно,нетривиальные решения для C1 , C2 , входящих в выражение (7.280),– 245 –существуют только при ∆ = 0.

В результате получаем дисперсионноесоотношение±α ±vuutα2σ=При H0 = H0 (x), bz0 −+4b20x k 2µρ2(e)bz0.µ¶= Re B(x)ei(ly − σt) решение урав-нения (7.265) находим в виде³´ζ = Re A(x)ei(kx−σt) .Тогда для определения функции A(x) получим уравнениеÃ∂Ã!+ b0yb0x³´∂ 2∂x22 2σ −αib0x+ ilb0y σ +∂xµρ=−!2 00 (A− l2 A) =B(x).(µρ)2 H0 (x)(7.286)При этом, если ось Ox совпадает с направлением вектора b0 , уравнение для A(x) принимает видl2 µρσ 2 01µρσ 22  (3)(5)−lA−A=−A +b20xb20xµρb30x H0 (x)и его общее решение выражается формулой³´³´a2 xa3 xgggA(x) = C1 + C+ C3 + C+1 (x) + C2 + C2 (x) e3 (x) e³´³´a4 xa5 xgg,+ C5 + C+ C4 + C5 (x) e4 (x) eгдеaj =vuuu µρσ 2u±t− 2b0x+ l2 ±vuuu µρσ 2tb20x−2l2 +4l2 µρσ 2,b0xj = 2, 5.gФункции Cj находятся методом Лагранжа вариации произвольныхпостоянных, а величины Cj , как и раньше, — из граничных условийна вертикальной границе области.– 246 –µПри H0 = H0 (x, y), bz0 −¶= Re B(x, y)e−iσt решение урав-(e)bz0нения (7.265) находим в вид嵶ζ = Re A(x, y)e−iσt ,где функция A(x, y) удовлетворяет уравнениюÃ∂∂Ã!+bb0y0x³´2∂∂ ∂x∂yσ 2 +σ 2 − α2b0x+ b0y∂x∂y µρ!2 ∆ A 2=B(x, y).(7.287)(µρ)2 H0 (x, y)Здесь ∆2 — двумерный оператор Лапласа.

При этом, если Oy совпа=−дает с направлением вектора b0 , последнее уравнение трансформируется в уравнение∂3σ 2 µρ ∂B(x, y)∆2 A + 2∆2 A = −.33∂yb0y ∂yµρb0y (σ 2 − α2 )2 H0 (x, y)(7.288)Если положить в (7.288)fA=∂∆2 A,∂yfполучим относительно Aуравнение∂2 fB(x, y)σ 2 µρ fA(x,y)=−A(x,y)+.∂y 2b20yb30y µρ (σ 2 − α2 )2 H0 (x, y)µ¶µ(7.289)¶fgily , H (x, y) = Re Hily уравнениеПри B(x, y) = Re B(x)e00 (x)e(7.289) имеет общее решениеσ √σ √µρy + C2 (x) sinµρy −b0yb0yfB(x),−fb0y σ 2 (µρ)2 (σ 2 − α2 )2 H0 (x)где C1 (x) и C2 (x) — произвольные функции. В результате относительfA(x,y) = C1 (x) cosно функции A(x, y) получим уравнение Пуассонаσ √b0y σ √C1 sin∆2 A(x, y) = √µρy − C2 cosµρy  −σ µρb0yb0yfB(x)y−,fb0y σ 2 (µρ)2 (σ 2 − α2 )2 H0 (x)(7.290)– 247 –решение которого может быть построено для случая канала, например, методом теории функций комплексного переменного с использованием конформного отображения полосы на полуплоскость.

Приэтом решение указанного уравнения представляется интегралом Пуассона. В частности, при C1 = C2 = 0 решение уравнения (7.290) вполосе следует искать в виде A(x, y) = γ(x)y, тогдаZ Zγ(x) = −fB(x)dx dx + C0 x + C1 .f222 22H(x)b0y σ (σ − α ) (µρ)Итак, отметим, что основным результатом проведенного исследования является редукция исходной нелинейной векторной системойуравнений в частных производных к краевой задаче для скалярного уравнения и утверждение об аналитическом представлении решения задачи о малых возмущениях в слое идеальной несжимаемой однородной электропроводной вращающейся жидкости. Это позволяетдля некоторых случаев функциональной зависимости невозмущеннойглубины слоя и разности значений магнитного поля на границах слояпостроить в явном виде решения, описывающие волны малой амплитуды в бесконечно протяженном по горизонтали слое и в узком длинном канале.§ 7.13.Распространение волн в цилиндрическом кольцевомслоеВ данном исследовании проводится построение решения краевойзадачи, описывающей волны малой амплитуды в цилиндрическом кольцевом слое переменной глубины.

Точно так же как модель плоского слоя имеет свои ограничения в качестве геострофической модели,модель цилиндрического кольца недостаточно адекватно отображаетнекоторые особенности сферической геометрии. Но анализ модели сболее простой задачей, в частности, в цилиндрической конфигурации,– 248 –которая решается несравненно проще, чем в сферической модели, полезен для уяснения математической процедуры без излишних вычислительных трудностей. Более того, эта задача интересна тем, что онаразрешима в явном виде и в рассматриваемой трехмерной постановкеявляется по своей сути двумерной, так как ее решение не зависит отвертикальной координаты.Итак, будем рассматривать области кругового типа, поэтому введем полярные координатыx = r cos ϕ,y = r sin ϕ.∂ϕsin ϕ=−,∂xr∂r= sin ϕ,∂yТак как∂r= cos ϕ,∂x∂ϕ cos ϕ=,∂yrто∂∂sin ϕ ∂= cos ϕ −,∂x∂rr ∂ϕ∂∂cos ϕ ∂= sin ϕ +.∂y∂rr ∂ϕУравнение (7.265) в полярных координатах имеет видb20ϕ∂2sin 2ϕ ∂cos2 ϕ ∂∂ 2Ssin2 ϕ=−++∂t2µρ∂r2r2 ∂ϕr ∂rcos2 ϕ ∂ 2sin 2ϕ ∂ 2 ++S + BH (r, ϕ, t).r2 ∂ϕ2r ∂ϕ∂r(7.291)Граничное условие (7.282) для функции S в полярных координатахвыглядит следующим образом:Dt (Dt2 +α2 )2 (µρDt2 −D2 )∂S αµρ 2 2∂S+Dt (Dt +α2 )2= 0, r = rj , j = 1, 2.∂rr∂ϕПри bz0 − bz0 = B(r, ϕ) eiσt будем искать периодические по ϕ и t(e)волновые решения вид൶S(r, ϕ, t) = Re R(r)ei(kϕ + σt) ,– 249 –где k — целое неотрицательное число.

Для функции R = R(r) получаем задачу на собственные значения:σ 2 µρ 22 002022 r R + r(ik ctg ϕ + ctg ϕ)R + 22 r − ik ctg ϕ − k ctg ϕ R +b0ϕ sin ϕµρBH(7.292)+ 2 e−ikϕ r2 = 0,b0ϕ222σµρ2ikkctgϕ2 R0 +R000 + r(ik ctg ϕ) +  22 r − 2 ctg ϕ −2rb0ϕ rb0ϕ sin ϕ2ikσkαµρ+ctg ϕR00 + 2R = 0,r = rj , j = 1, 2.rb0ϕ sin2 ϕРешение соответствующего однородного уравнения имеет вид [46]:v1 − ik ctg ϕ − ctg2 ϕ uu σ 2 µρu2C1 (ϕ)Jν tR=r2 r +2b0ϕ sin ϕ+vuu σ 2 µρutC2 (ϕ)Nν 2 r  .2b0ϕ sin ϕ(7.293)В выражении (7.293) ϕ — параметр; Jν и Nν — соответственно функции Бесселя и Неймана порядка ν и C1 (ϕ), C2 (ϕ) — произвольныефункции,ν=1q 4ctg ϕ + ik ctg3 ϕ + 3k 2 ctg2 ϕ + 2ik ctg ϕ + 1.2Частное решение уравнения (7.292) найдем методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.ПустьRp.nh1 − ik ctg ϕ − ctg2 ϕ √σµρfC2=rr +1 (ϕ)Jνb0ϕ sin ϕ√σµρf+Cr ,2 (ϕ)Nνb0ϕ sin ϕf0 f0функции C1 , C2 — находятся из алгебраической системы:√√σµρσµρ00ffCr + Cr = 0,1r Jν2r Nνb0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕ– 250 –1f0 C1r − ik ctg ϕ −r21 − ik ctg ϕ  √σµρ2Jν r +b0ϕ sin ϕ1 − ik ctg ϕ √√σ µρ 0  σ µρ 2++rJνr b0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕ +1f0 C2r − ik ctg ϕ −r2(7.294)1 − ik ctg ϕ  √µρσ2Nν r +b0ϕ sin ϕ1 − ik ctg ϕ √√σ µρ 0  σ µρ µρBH i(kϕ + σt) 22 =−+rNνr er ,b0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕ b20ϕв видеf0Ckr =∆k,∆k = 1, 2,где ¯√√¯µρσµρσ¯r Jνr ¯¯Iν¯=b0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕ∆=¯¯¯δ21δ22¯ 1 − ik ctg ϕ √√√σ µρ   σ µρ  0  σ µρ 2Iνr Jνr −=rb0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕ√√µρσµρσ− Jν r Iν0 r  ,b0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕ¯ ¯√¯¯µρσ¯¯√¯ 0r ¯¯Jνµρσ¯f¯ = −J b0ϕ sin ϕ∆1 = ¯¯r BH,ν¯¯¯b0ϕ sin ϕ(1)f¯ B¯δ22¯¯H¯¯√¯¯µρσ¯¯√¯¯ J r0σµρ¯¯ νf¯ =J b0ϕ sin ϕr B∆2 = ¯¯H,ν¯¯¯bsinϕ(2)0ϕf ¯¯δ22B¯H ¯1 + ik ctg ϕ  √σµρ1 − ik ctg ϕ −2δ21 =rIν r +2b0ϕ sin ϕ1 − ik ctg ϕ  √σµρ2+rIν0 r ,b0ϕ sin ϕ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯– 251 –1 + ik ctg ϕ  √σµρ1 − ik ctg ϕ −2δ22 =Jν rr +2b0ϕ sin ϕ1 − ik ctg ϕ  √σµρ2+rJν0 r ,b0ϕ sin ϕµρBH − i kϕ 2(1)(2)fδ22 = δ22 ,δ21 = δ21 ,Be r .H =−b20ϕТаким образом,√µρσfr BH b0ϕ sin(ϕ) ik ctg ϕ − 1Zr Nνbsinϕ0ϕf2Crdz,√1 = −σµρlr1√µρσfr BH b0ϕ sin(ϕ) ik ctg ϕ − 1Zr Jνbsinϕ0ϕf2Crdz,(7.295)√2 =σµρlr1  √√√√σσσµρµρσµρµρl = Jν rNν0 r−Nν rJν0 r .b0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕИтак, решение уравнения (7.292) имеет вид1 − ik ctg ϕ2R=r×vuu σ 2 µρut× C1 (ϕ)Jν 2 r2b0ϕ sin ϕ+vuu σ 2 µρutC2 (ϕ)Nν 2 r  +2b0ϕ sin ϕ1 − ik ctg ϕ √√σµρσµρffC2+rr + Cr ,1 (r1 )Jν2 (r1 )Nνb0ϕ sin ϕb0ϕ sin ϕffгде C1 и C2 вычисляются по формулам (7.295), а C1 и C2 — из гранич-ных условий на вертикальных поверхностях цилиндрического слоя.§ 7.14.Квазигеострофические движения во вращающемсяслое электропроводной жидкостиРассмотрим вращающийся слой идеальной электропроводной несжимаемой жидкости, ограниченной сверху твердой непроницаемойповерхностью z = −Z(x, y), снизу — поверхностью z = −hB (x, y, t).– 252 –Будем использовать прямоугольную декартову систему координат Oxyz.Под объемной силой понимается вектор g, перпендикулярный поверхности z = 0 и направленный в сторону, противоположную вертикальной оси.

Характеристики

Список файлов диссертации