Диссертация (1145260), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Альфвена, связь между электромагнитными и гидродинамическими явлениями возрастает с увеличением линейного масштаба явления. Для крупномасштабных явлений эта связь может быть достаточно сильной. В частности, это относится, например, к недрам звезд– 220 –и жидкому ядру Земли [6].Вопросам о крупномасштабных движениях электропроводной жидкости посвящены работы [181, 182, 282, 283], в которых рассматривалась модель, построенная в приближении быстрого вращения.
В рамках этой теории в уравнении движения пренебрегается силой инерции. В результате отфильтровываются инерциальные, альфвеновскиеволны и волны Россби. Кроме того, в пределе быстрого вращенияскорость v находится неоднозначно, а с точностью до слагаемого,представляющего собой геострофическую скорость. Последнее обстоятельство обусловлено тем, что геострофическая скорость не удовлетворяет магнитострофическому уравнению.
Для преодоления указанных трудностей привлекаются вязкие силы и пренебрегается вязкостью, когда это допустимо.В работах [190, 191] исследовалась задача о крупномасштабныхдвижениях электропроводной жидкости в слое между плоскостямиz = 0, z = d в магнитострофическом приближении с учетом вязкихсил.В данном исследовании предполагается, что границы слоя не являются постоянными, а представляют собой поверхности, изменяющиеся в пространстве и во времени; кроме того, в уравнении движенияучитываются инерционные силы.Итак, рассмотрим слой жидкости, ограниченный снизу подвижным дном, заданным относительно отсчетного уровня z = 0 поверхностью z = −hB (x, y, t) с неизвестной функцией hB (x, y, t), а сверху —известной поверхностью z = −Z(x, y).
Ось вращения жидкости совпадает с осью z, т. е. ω = ω k.– 221 –Хотя глубина жидкости hB −Z изменяется в пространстве и во времени, предположим, что характерное значение глубины равно средней глубине слоя D. Предположим, что D равно характерному вертикальному масштабу движения. Кроме того, постулируем существование характерного масштаба движения, который обозначим через L.Основное условие, характеризующее теорию мелкой воды, состоитв том, что [62]:δ=7.9.1.D¿ 1.L(7.199)Основные уравнения движения "мелкой воды" для электропроводной вращающейся жидкостиПредставим основные уравнения магнитной гидродинамики в проекциях на координатные оси:∂vx∂vx∂vx∂vx1 ∂ b2 + vx+ vy+ vz=−p++∂t∂x∂y∂zρ ∂x2µÃ!∂bx∂bx∂bx1bx+ by+ bz,+2ωvy +µρ∂x∂y∂z∂vy∂vy∂vy∂vy1 ∂ b2 + vx+ vy+ vz=−p+−∂t∂x∂y∂zρ ∂y2µÃ!∂by∂by∂by1− 2ωvx +bx+ by+ bz,µρ∂x∂y∂z∂vz∂vz∂vz1 ∂ b2 ∂vz+ vx+ vy+ vz=−p+−g +∂t∂x∂y∂zρ ∂z2µÃ!∂bz∂bz∂bz1+bx+ by+ bz,µρ∂x∂y∂z∂bx∂bx∂bx∂vx∂bx+ vx+ vy+ vz− bx−∂t∂x∂y∂z∂x∂vx∂vx− by− bz= 0,∂y∂z∂by∂by∂by∂vy∂by+ vx+ vy+ vz− bx−∂t∂x∂y∂z∂x∂vy∂vy− by− bz= 0,∂y∂z∂bz∂bz∂bz∂bz∂vz+ vx+ vy+ vz− bx−∂t∂x∂y∂z∂x(7.200)(7.201)(7.202)(7.203)(7.204)– 222 –∂vz∂vz− bz= 0,∂y∂z∂vy ∂vz++= 0,∂y∂z∂by ∂bz++= 0.∂y∂z(7.205)− by∂vx∂x∂bx∂x(7.206)(7.207)Перейдем к оценке порядков величин в выписанных уравнениях.
ПустьU — характерный масштаб горизонтальной скорости, W — масштабвертикальной скорости, B — масштаб величин bx , by , H — масштаб bz ,T — характерный временной масштаб, P — масштаб поля давления.Обратимся сначала к уравнениям неразрывности и соленоидальности магнитного поля. Так как каждыйиз первых двух членов вà !Uуравнении (7.206) имеет порядок O, то величина порядка треLÃ!à !WUтьего члена Oне может быть больше, чем O, отсюдаDLW ≤ O(δU ).Аналогично, оценивая порядки слагаемых уравнения (7.207), получаемH ≤ O(δB).Оценивая далее слагаемые в уравнениях (7.200) – (7.205), перейдем вэтих уравнениях к безразмерным переменным. В результате получимуравненияÃ!∂vx∂vx∂vx1 (1 + δ 2 )B 2 U ∂vx U 2+vx+ vy+ vz=−P+×T ∂tL∂x∂y∂zρL2µÃ!b2 B2∂bx∂bx∂bx∂ p++ f uvy +bx+ by+ bz, (7.208)×∂x2µLµρ∂x∂y∂zÃ!U ∂vy U 2∂vy∂vy∂vy1 (1 + δ 2 )B 2 +vx+ vy+ vz=−P+×T ∂tL∂x∂y∂zρL2µÃ!b2 B2∂by∂by∂by∂ p+− f uvx +bx+ by+ bz,(7.209)×∂y2µLµρ∂x∂y∂zÃ!δU ∂vz δU 2∂vz∂vz∂vz1 (1 + δ 2 )B 2 +vx+ vy+ vz=−P+×T ∂tL∂x∂y∂zρD2µ– 223 –Ã!∂ b2 δB 2∂bz∂bz∂bz×p+−g+bx+ by+ bz,(7.210)∂z2µLµρ∂x∂y∂zÃ!B ∂bx U B∂bx∂bx∂bx∂vx∂vx∂vx+vx+ vy+ vz− bx−by−bz= 0,T ∂t L∂x∂y∂z∂x∂y∂zÃ!B ∂by U B∂by∂by∂by∂vy∂vy∂vy+vx+vy+vz− bx− by− bz= 0,T ∂t L∂x∂y∂z∂x∂y∂zÃ!δB ∂bz δU B∂bz∂bz∂bz∂vz∂vz∂vz++vy+vz−bx−by−bzvx= 0.T ∂tL∂x∂y∂z∂x∂y∂zЗдесь и далее штрихи у безразмерных переменных опущены.Предположим, что динамическое, кинетическое и магнитное давB2ρUv ρU 2 v.
В этом случаеления имеют один порядок: P vµTв уравнениях (7.208) и (7.209) все слагаемые одного порядка. Поэтому уравнения (7.200) и (7.201) без изменения применимы к описаниюрассматриваемого движения.Предполагая, что гидродинамическое и магнитное давления имеютB2один порядок: P v, из уравнений (7.208) и (7.209) следует, чтоµмасштаб давления равен наибольшему из совокупности параметровL, U , f L, иначе ускорение потока будет нулевым.TСохраняя в уравнении (7.210) только главные члены, получаем∂ b2 p+= −ρg,∂z2µкоторое после интегрирования дает зависимостьb2p+= −ρgz + C(x, y, t).2µДалее используя граничные условия p(x, y, −hB ) = p0 и b(x, y, −hB ) == b0 , где p0 и b0 — постоянные величины, получим соотношениеb2b20p+= p0 +− ρg(z + hB ).(7.211)2µ2µСледствием линейной зависимости от z правой части выражения(7.211) является независимость от z горизонтального градиента гидромагнитного давления:b2∂hB∂ p + = −ρg,∂x2µ∂x∂ b2∂hBp + = −ρg.∂y2µ∂y– 224 –Тогда и горизонтальные компоненты скорости и магнитного поля независят от z в случае их независимости от z в начальный моментвремени.Полагая последнее свойство выполненным, уравнения (7.208) и (7.209)приводим к видуÃ!∂vx∂vx∂vx∂hB1∂bx∂bx+ vx+ vy= 2ωvy + g+bx+ by,∂t∂x∂y∂xµρ∂x∂yÃ!∂vy∂vy∂by∂by∂vy∂hB1+ vx+ vy= 2ωvx + g+bx+ by.∂t∂x∂y∂yµρ∂x∂yУсловие независимости vx и vy от z позволяет проинтегрировать уравнение (7.206) по z:Ã!∂vx ∂vyvz (x, y, z, t) = −z++ a(x, y, t),∂x∂yгде a(x, y, t) — произвольная функция указанных переменных.
Используя условие отсутствия нормальной компоненты скорости на твердой поверхности z = −Z, получимvz (x, y, −Z, t) = −vx∂Z∂Z− vy,∂x∂yследовательно,!Ã∂Z∂Z∂Z ∂vya(x, y, t) = −vx,− vy− hB+∂x∂y∂x∂yпоэтому!Ã∂Z∂vx ∂vy∂Z− vxvz (x, y, z, t) = −(Z − z)+− vy.∂x∂y∂x∂y(7.212)Аналогичное условие на поверхности z = −hB (x, y, t) имеет видvz = −∂hB∂hB∂hB− vx− vy,∂t∂x∂yz = −hB (x, y, t),откуда с учетом равенства (7.212) получим∂hB∂∂+[(hB − Z)vx ] +[(hB − Z)vy ] = 0.∂t∂x∂yИнтегрируя далее уравнение (7.207) по z, получаемÃ!∂bx ∂by++ ae (x, y, t),bz (x, y, z, t) = −z∂x∂y– 225 –где ae (x, y, t) — произвольная функция указанных переменных.
На поверхности z = −hB функция bz удовлетворяет условиюbz (x, y, −hB , t) = bz0 (x, y, t),поэтомуÃae (x, y, t) = bz0 (x, y, t) − hB!∂bx ∂by+,∂x∂yследовательно,Ã!∂bx ∂bybz (x, y, z, t) = −(hB + z)++ bz0 (x, y, t).(7.213)∂x∂yКраевое условие для bz на поверхности z = −Z(x, y) запишется ввиде(e)bz (x, y, −Z, t) = bz0 (x, y, t).Из равенства (7.213) и последнего соотношения имеемÃ!∂bx ∂by(e)(hB − Z)++ bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) = 0.∂x∂yТаким образом, вследствие условия δ ¿ 1 получим следующуюсистему:∂vx∂vx∂vx∂hB+ vx+ vy= 2ωvy + g+∂t∂x∂y∂xÃ!1∂bx∂bx+bx+ by,µρ∂x∂y∂vy∂vy∂vy∂hB+ vx+vy= −2ωvx + g+∂t∂x∂y∂yÃ!∂bx∂by1+by+ by,µρ∂x∂y∂∂∂hB+[(hB − Z)vx ] +[(hB − Z)vy ] = 0,∂t∂x∂yÃ!∂bx ∂by(e)(hB − Z)++ bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) = 0,∂x∂y∂bx∂bx∂vx∂bx∂bx+ vx+ vy− bx− by= 0,∂t∂x∂y∂x∂y∂by∂by∂vy∂vy∂by+ vx+ vy− bx− by= 0,∂t∂x∂y∂x∂y∂bz∂bz∂bz∂bz∂vz+ vx+ vy+ vz− bx−∂t∂x∂y∂z∂x(7.214)(7.215)(7.216)(7.217)(7.218)(7.219)– 226 –− by∂vz∂vz− bz= 0.∂y∂y(7.220)Итак, вследствие условия δ ¿ 1 уменьшилось число динамическихуравнений, число искомых функций (за счет исключения vz и bz изуравнений исходной системы) и число независимых переменных (таккак z не входит больше в явном виде в динамические уравнения).Искомые переменные vx , vy , bx , by , hB являются функциями толькоx, y и t.Из выражений (7.212) и (7.213) следует, что z-компоненты скоростиvz и магнитного поля bz линейные по z функции.Граничными условиями к полученным уравнениям (7.214)–(7.220) являются условия непротекания через вертикальные поверхности границы рассматриваемой области и задание магнитного поляна них:vx cos(n, x) + vy cos(n, y) = 0,bx = b(L)x ,by = b(L)y ,(x, y) ∈ L,(7.221)(7.222)где n — нормаль к горизонтальному сечению границы области.7.9.2.Малые возмущенияВведем функцию полной глубины H = hB − Z.
Пусть толщинажидкого слоя в состоянии покоя равна H0 (x, y). Представим функциюH(x, y, t) в видеH(x, y, t) = H0 (x, y) + η(x, y, t),(7.223)где η(x, y, t) — малое возмущение, характеризуемое неравенствомη ¿ H0 .Для описания распространения малых возмущений применим стандартный в механике сплошных сред метод линеаризации системы– 227 –дифференциальных уравнений, описывающих поведение среды.
Будем искать решение системы (7.214)–(7.219):v = v0 + v0 (x, y, t),b = b0 + b0 (x, y, t),(7.224)предполагая, что малые возмущения горизонтальной скорости v0 и горизонтального магнитного поля b0 распространяются по некоторомустационарному однородному фону, описываемому постоянными величинами v0 , b0 . Положим далее, что v0 = 0.Подставив (7.223) и (7.224) в уравнения (7.214)–(7.219) и сохранивчлены только первого порядка малости по v0 , b0 и η, получим новуюсистему уравнений:Ã!∂bx∂bx∂vx∂η1b0x,(7.225)− αvy = g++ b0y∂t∂x µρ∂x∂yÃ!∂vy∂by∂by∂η1+ αvx = g+b0x+ b0y,(7.226)∂t∂y µρ∂x∂y∂η∂∂+(H0 vx ) + (H0 vy ) = 0,(7.227)∂t ∂x∂yÃ!∂bx ∂bx(e)H0++ bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) = 0,(7.228)∂x∂y∂bx∂vx∂vx− b0x− b0y= 0,(7.229)∂t∂x∂y∂by∂vy∂vy− b0x− b0y= 0,(7.230)∂t∂x∂yгде α = 2ω. Пусть u = vx H0 , v = vy H0 . Тогда система (7.225)–(7.227)запишется следующим образом:Ã!∂η H0∂bx∂bx∂u− αv = gH0+b0x+ b0y,(7.231)∂t∂x µρ∂x∂yÃ!∂η H0∂by∂by∂v+ αu = gH0+b0x+ b0y,(7.232)∂t∂y µρ∂x∂y∂η ∂u ∂v++= 0.∂t ∂x ∂yСкладывая результаты дифференцирования уравнения (7.231) по x,а уравнения (7.232) — по y, получимÃ!Ã!"Ã!Ã!#∂ ∂u ∂v∂u ∂v∂∂η∂∂η++α−=gH0+H0+∂t ∂x ∂y∂y ∂y∂x∂x∂y∂y– 228 –Ã!Ã!b0x ∂∂bxb0y ∂∂bx+H0+H0+µρ ∂x∂xµρ ∂x∂yÃ!Ã!b0x ∂∂byb0y ∂∂by+H0+H0.µρ ∂y∂xµρ ∂y∂yАналогично, дифференцируя уравнение (7.231) по y, а уравнение (7.232) —по x и вычитая второй результат из первого, получимÃ!Ã!"Ã!Ã∂u ∂v∂∂η∂η∂ ∂u ∂v∂−−α+=gH0−H0∂t ∂y ∂x∂x ∂y∂y∂x∂x∂yÃ!Ã!b0x ∂∂bxb0y ∂∂bx+H0+H0−µρ ∂y∂xµρ ∂y∂yÃ!Ã!∂byb0y ∂∂byb0x ∂H0−H0.−µρ ∂x∂xµρ ∂x∂yИсключая выражение!#+∂u ∂v−, находим∂y ∂xÃ!∂ ∂ 21 ∂H0∂H02+αη+g∇·(H∇η)+Db+Dby +0x∂t ∂t2µρ ∂x∂tÃ!#"∂bx ∂byD(H0 , η)α ∂H0+ H0 D+= gα+Dbx −∂x∂yD(x, y)µρ ∂y!#Ã∂H0∂bx ∂by,(7.233)−Dby + H0 D−∂x∂y∂xгде дифференциальный оператор D имеет видD = b0x∂∂+ b0y .∂x∂yУравнение (7.233) есть уравнение для η и горизонтальных компонентмагнитного поля.
Горизонтальная дивергенция может быть исключена с помощью соотношения (7.228).Рассмотрим систему (7.225)–(7.230), представленную в виде∂η1∂vx− αvy = g+ Dbx ,∂t∂x µρ∂vy∂η1+ αvx = g+ Dby ,∂t∂y µρ∂bx= Dvx ,∂t∂by= Dvy .∂t(7.234)(7.235)(7.236)(7.237)– 229 –eВведем в рассмотрение функции η(x,y, t), bex (x, y, t), bey (x, y, t), опре-деляемые равенствами´1 ³ 22 eη(x, y, t) = Dt Dt + α η(x, y, t),g(7.238)bx (x, y, t) = µρDt Dt2 + α2 bex (x, y, t),(7.239)³´³´by (x, y, t) = µρDt Dt2 + α2 bey (x, y, t),(7.240)∂.∂tЗаметим, что соотношениями (7.238)–(7.240) функции η, bx , by опре-где Dt =деляются неоднозначно: если функция η0 (x, y, t) удовлетворяет соотношению (7.238), то, очевидно, соотношению (7.238) удовлетворяет илюбая функция видаηe = η0 (x, y, t) + η1 (x, y) + η2 (x, y) cos αt + η3 (x, y) sin αt,(7.241)где ηj (x, y), j = 1, 2, 3 — произвольные функции.Аналогично, функции bex и bey представимы в виде(1)bex = b(0)x (x, y, t) + bx (x, y) +(3)+ b(2)x (x, y) cos αt + bx (x, y) sin αt,(7.242)(1)bey = b(0)y (x, y, t) + by (x, y) +(3)+ b(2)y (x, y) cos αt + by (x, y) sin αt,(7.243)(j)где b(j)x , by , j = 1, 2, 3 — произвольные функции своих аргументов врассматриваемой области.Подставив функции η, bx , by из (7.238)–(7.240) в уравнения (7.234),(7.235), получим в матричном видеDt −ααDtvxvy³³= Dt Dt2 + α2´+ Dt Dt2 + α2 D ebxbeyex ´ η+ηey.(7.244)– 230 –Интегрирование соотношения (7.244) по t приводит к равенствуvxvy= Dt Dtαcos αt+ C1 (x, y) e−α ηx eDtηy− sin αt+ DDt Dt −αα+ C2 (x, y) e bx e +Dtbysin αtcos αt,(7.245)где C1 (x, y), C2 (x, y) — произвольные функции.e ee bПодставляя в (7.245) функции η,x , by из (7.241)–(7.243), получим:vxvyDt =Dt −ααDtη0xη0y"³+ C1 (x, y) − α(3)−α2 D b(2)x − by"Ã+ C2 (x, y) − α2ôi 2cos αt− sin αt+!³´∂η2 ∂η3(3)+− α2 D b(2)+byx∂y∂x+DDt Dt −ααDt!∂η2 ∂η3−−∂x∂y#sin αtcos αt+b(0)xb(0)y.(7.246)Рассмотрим вектор C(x, y) = (C2 (x, y), −C1 (x, y), 0) ∈ H2 (Ω),Cj (x, y) ∈ L2 (Ω), j = 1, 2, где H2 (Ω) — подпространство гильбертова пространства L2 (Ω) вещественных вектор-функций v = (v1 , v2 , v3 ),определенных в ограниченной области Ω ∈ R3 с кусочно-гладкой границей и имеющих компоненты vk (k = 1, 3), принадлежащие гильбертову пространству вещественных функций L2 :H2 (Ω) = {v ∈ L2 : v = (v1 , v2 , 0)} ,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
