Диссертация (1145260), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Дляэтих целей в настоящее время используются сейсмические и гравитационные методы. Мало используются магнитные методы, тогда, какпринято, именно они могут быть особенно эффективны при изучениивнутреннего строения Земли. Непосредственно проникнуть в земныенедра трудно, в связи с чем большое значение приобретают теоретические исследования.Ф.-Х. Буссе в своей работе "О проблемах теории динамо планет"отметил, что ни один лабораторный эксперимент не воспроизводитвозбуждение планетных магнитных полей движениями электропроводящей жидкости, которые поддерживались бы естественными дляэтих объектов силами.
Лабораторное динамо Лоуэса и Уилкинсона[244, 245] было важным шагом в приближенной реализации существующих теоретических моделей типа динамо Герценберга [219]. Ноэти эксперименты мало что дают для проверки моделей динамо, связанных с геофизическими приложениями. Из-за громадных размеровкосмических проводников и большой продолжительности явлений малые механические силы магнитного происхождения могут внести значительные изменения в движение самих проводников. По этим двумпричинам выводы, сделанные из обычных лабораторных экспериментов, подлежат проверке их применимости при перенесении на космические объекты. Во многих случаях сами наблюдения за космическими явлениями заменяют лабораторные эксперименты. Однакоинтерпретация космических наблюдений без предварительного математического анализа недостаточно надежна. Таким образом, наряду снеобходимостью разработки физических, геофизических, численныхметодов возникает необходимость проведения аналитических иссле-– 173 –дований с использованием математического аппарата.В 1934 г.
Каулинг [56] доказал теорему, согласно которой невозможно аксиально-симметричное стационарное динамо с магнитнымисиловыми линиями, лежащими в меридиональных плоскостях, и показал, что в стационарном динамо магнитные силовые линии обязательно должны образовывать трехмерную конфигурацию. Таким образом, исследование гидромагнитного динамо требует решения трехмерных задач. Это обстоятельство и составляет основную трудностьв проблеме гидромагнитного динамо.Системы дифференциальных уравнений в частных производных,описывающие рассматриваемые в данной главе физические явления,нелинейны, неавтономны и имеют большую размерность. Только длячастных случаев систем возможно построение аналитических, в томчисле точных решений.
В общем случае исходная система аппроксимируется более простой системой, удовлетворительно описывающейсвойства решений исходной системы.В этой главе производится попытка построения таких аналитических решений ряда задач, связанных с движениями идеальной электропроводной вращающейся жидкости.Поскольку электропроводящие ядра планет и, в частности, ядроЗемли изучены далеко не полностью, развитие теории динамо планет может привести к появлению новых теорий при интерпретациирезультатов магнитных измерений, в частности данных о геомагнитных вековых вариациях.Если электропроводная жидкая среда находится в магнитном поле,то при ее гидродинамических движениях в ней возникают электрические токи.
Эти токи изменяют магнитное поле. Но на токи в магнитном поле действуют силы, способные изменить характер движения среды. Следовательно, гидродинамическое движение и электромагнитые явления взаимосвязаны. Эта связь описывается совместной– 174 –системой уравнений поля и уравнений движения жидкости.Система уравнений для описания движения идеальной электропроводящей несжимаемой вращающейся с угловой скоростью ωω жидкости в магнитной гидродинамике в переменных Эйлера имеет вид[70, 162]:∂B— закон Фарадея,∂trot B = µj— закон Ампера,(7.1)rot E = −(7.2)div B = 0— закон Био–Савара–Лапласа,(7.3)div j = 0— первый закон Кирхгофа,(7.4)j = σ (E + v × B) — закон Ома без учета эффекта Холла,(7.5)где B и E — векторы магнитной индукции и напряженности электрического поля, j — плотность электрического тока.
Предполагается,что магнитная проницаемость µ и электропроводность σ — константы.К уравнениям электромагнитного поля (7.1)–(7.5) необходимо добавитьгидродинамическоеуравнение,описывающеедвижениежидкости (уравнение Эйлера) и уравнение неразрывности, котороев случае несжимаемой жидкости запишется в видеdiv v = 0.Уравнение Эйлера имеет вид [65]∂v∇prot B × B+ (v · ∇) v = −− 2 ω × v − ∇W +,∂tρ4πρµ(7.6)где v — скорость жидкости в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ω , p — давление, W — гравитационный потенциал,в который включена центробежная сила, ρ — плотность.Наиболее существенно рассмотрение полей B и v. Распределениеэтих величин определяет все остальные параметры, так как j определяется через B по закону Ампера, и после этого E определяется по– 175 –закону Ома.
Поэтому целесообразно исключить переменные j и E изуравнений и все внимание сконцентрировать на определении B и v.Применим оператор rot к обеим частям уравнения (7.2):rot (rot B) = µ rot j.Используя уравнение (7.1) и (7.5), получимrot (rot B) = µrot (σ (E + [v, B])) = µσ rot E + µσ rot [v, B] =!Ã∂B+ rot [v, B] .= µσ −∂tУчитывая (7.3), получимrot (rot B) = ∇ divB − ∆B = −∆B.В результате получаем уравнение индукции∂B1= rot [v, B] +∆ B,∂tµσ(7.7)1, обратная произведению электрической провоµσдимости σ и магнитной проницаемости µ, называется коэффициентомгде величина λ =магнитной диффузии [65].Уравнения (7.6) и (7.7) содержат только векторы v и B и являютсяосновными уравнениями магнитной гидродинамики [65].Важным свойством уравнения (7.7) является его инвариантностьпо отношению к переходу к вращающейся системе координат. Этообъясняется тем, что в магнито-гидродинамическом приближении поле B обладает указанной инвариантностью.
Другое важное свойствоуравнения (7.7) заключается в том, что при λ → 0 (бесконечно проводящая жидкость) сохраняется поток поля B через любую материальную поверхность в жидкости. Это означает, что поле B изменяетсятак, как в случае, если бы магнитные силовые линии этого поля были"вморожены"в движущееся вещество. В телах космических размеров– 176 –течение силовых линий оказывается очень медленным и можно считать, что силовые линии практически "вморожены" в вещество [6].Таким образом, будем полагать, что жидкость обладает очень хорошей электропроводностью, так что магнитное число Рейнольдса велико:Rm =LUÀ 1,λ1— коэффициентσµÀ 1 реализуется, например, в(L, U — характерные размер и скорость; λ =магнитной диффузии).
Случай Rmжидком ядре Земли. При Rm À 1 уравнение (7.7) принимает вид∂B= rot (v × B) .(7.8)∂t§ 7.2.Одномерное течение между параллельными стенкамиПроведем анализ модели для более простой задачи в плоско-параллельной конфигурации. Математическая процедура интегрированиясистемы дифференциальных уравнений рассматриваемой задачи используется при исследовании более сложных задач этой главы.Рассмотрим одномерное установившееся течение идеальной несжимаемой электропроводной вращающейся жидкости между двумя параллельными неограниченными пластинами, обладающими изолирующими свойствами.Выберем декартову систему координат специальным образом: направление оси Ox возьмем совпадающим с направлением движенияжидкости, ось Oz направим перпендикулярно к поверхности пластини ось Oy выберем так, чтобы система координат Oxyz была правой.
Положение начала координат в серединной между пластинамиплоскости можно выбрать произвольно. В сферической геометрии этаплоскость совпадает с экваториальной плоскостью. В выбранной системе координат z = ±1 — уравнения пластин и vy = vz = 0.– 177 –Пусть параллельно оси Oz приложено внешнее однородное магнитное поле B, постоянное по величине и его индукция по величинеравна B0 .В рассматриваемом случае одномерного стационарного течения всепеременные задачи не зависят от координаты y и времени t, поэтомус учетом свойств поля B, уравнения неразрывности, движения, магнитной индукции и соленоидальности магнитного поля в выбраннойсистеме координат будут выглядеть следующим образом:∂vx= 0,∂xÃ!∂ B2 1∂Bx∂Bx−p++Bx+ Bz= 0,∂x2µµ∂x∂zÃ!1∂By∂ByBx+ Bz+ ρωvx = 0,µ∂x∂zÃ!∂Bz∂BzB2 1∂ p++Bx+ Bz= 0,−ρg −∂z2µµ∂x∂z∂vx∂BxBz− vx= 0,∂z∂x∂By= 0,vx∂x∂Bzvx= 0,∂x∂Bx ∂Bz+= 0.∂x∂zИз уравнений (7.9), (7.14) и (7.15) следует, чтоvx = vx (z),By = By (z),(7.9)(7.10)(7.11)(7.12)(7.13)(7.14)(7.15)(7.16)Bz = Bz (z),поэтому система уравнений (7.9)–(7.16) принимает видÃ!B2 1∂ ∂Bx∂Bxp++−Bx+ Bz= 0,∂x2µµ∂x∂z1 ∂ByBz+ ρωvx = 0,µ ∂z ∂ B 2 1 ∂Bz−ρg −p++ Bz= 0,∂z2µµ∂z∂vx∂BxBz− vx= 0,∂z∂x(7.17)(7.18)(7.19)(7.20)– 178 –∂Bx ∂Bz+= 0.∂x∂z(7.21)Ниже изложена процедура интегрирования этой системы.Продифференцируем уравнение (7.19) по переменной x:∂2 B2 p+= 0.∂x∂z2µСледовательно,B2= a(x) + b(z).(7.22)2µПодставляя представление (7.22) в уравнение (7.19), получимp+1 ∂Bz−ρg − b0 (z) + Bz= 0,µ∂zили³´0Bz 2 = 2ρgµ + 2µb0 (z),откуда, интегрируя по z, получимBz 2 = 2ρgµz + 2µb(z) + C0 ,тогдаqBz = 2ρgµz + 2µb(z) + C0 .Исключая из уравнений (7.20) и (7.21) величинуBzdvxdBz+ vx= 0.dzdzРазделяя переменные, получим уравнение1 dBz1 dvx+=0vx dzBz dzи его общий интегралvx Bz = C,C = const.Уравнение (7.18) запишем в виде∂By ρωµvx+= 0,∂zBz(7.23)∂Bx, получим∂x– 179 –откуда, интегрируя по z,ZzBy (z) = −−1ρωµCdz.2ρgµz + 2µb(z) + C0Из уравнения (7.21) имеем∂Bx∂Bz=−,∂x∂zпоэтому, с учетом (7.23),ρgµ + µb0 (z)x + d(z).Bx (x, z) = − q2ρgµz + 2µb(z) + C0И, в заключение, давление p определяется соотношением (7.22).Рассмотрим далее соответствующие граничные условия.
Кинематическое условие на поверхности пластин выполняется тождественно.Так как магнитное поле задано на обеих пластинах нормально к ихповерхности, тоBz = bz0 ,By = 0,Bx = 0приz = ±1.(7.24)Если в качестве характерной скорости взять скорость течения жидкости в серединной плоскости z = 0, то к граничным условиям (7.24)добавляется условиеvx = uприz = 0.(7.25)Необходимо, кроме того, присоединить динамическое условие на поверхностях пластин и условие ограниченности магнитного поля приz → ∞.Условия (7.24) позволяют сделать вывод, что в выражении (7.23)функция b(z) имеет видbz0 2 C0b(z) =−− ρg Φ(z),2µ2µгде Φ(z) — нечетная функция: Φ(−z) = −Φ(z). Тогда, согласно (7.23),rBz (z) = bz0 2 + 2ρgµ (z − Φ(z)).– 180 –Из условия (7.25) получаем C = ubz0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
