Диссертация (1145260), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

(6.45)ρ0ρ0– 164 –Рассмотрим далее экспоненциально стратифицированную жидкость,плотность которой в стационарном состоянии имеет вид ρ0 == ρ0 (z) = Ae−2βz , где A и β — положительные постоянные. Практическая важность этого распределения плотности обусловлена тем,что экспоненциальное распределение является часто встречающимсяраспределением Больцмана частиц в поле силы тяжести [34]. Предполагается также, что скорость звука в рассматриваемой жидкостиявляется величиной постоянной.

В работе [22] отмечалось, что такоепредположение допустимо для некоторого вида стратифицированныхсред.При принятых предположениях частота Вяйсяля–Брента ω0 оказывается постоянной и равнойρ0g2Aβ g 2 gω02 = −g  0 + 2  = −g −+ 2 = 2βg − 2 = const > 0.ρ0 cAccПри ω02 = const и c2 = const уравнение (6.45) примет вид 1 ∂ 4v∂2 α2  2= 2 ∆3 v − β + 2 v + ω02 ∆2 v + α2 vzz − α2 β 2 v.

(6.46)24c ∂t∂tcЗаметим, что при c → +∞, что соответствует переходу к несжимаемой жидкости, уравнение (6.46) переходит в уравнение, полученноеС.А. Габовым [34], описывающее динамику этой жидкости, и называемое уравнением гравитационно-гироскопических волн.Уравнение (6.46) можно назвать уравнением гравитационно-гироскопических волн в сжимаемой жидкости, т.

е. уравнением, описывающим динамику вращающейся экспоненциально-стратифицированной сжимаемой жидкости.§ 6.3.Волны, вызванные колебаниями плоской стенкиРассмотрим задачу об излучении волн во вращающуюся сжимаемую жидкость плоской стенкой, совершающей, начиная с начальногомомента времени, гармонические колебания частоты ω.– 165 –Рассмотрим волновые движения малой амплитуды сжимаемой стратифицированной вращающейся жидкости в полупространстве R3+ =no= x = (x, y, z) ∈ R3 : z > 0 , ограниченном горизонтальной стенкойnoΓ = x = (x, y, z) ∈ R3 : z = 0 .Математическая постановка данной задачи представляет собой следующую начально-краевую задачу для уравнения (6.46): 1 ∂ 4vα2  ∂2 2= 2 ∆3 v − β + 2 v +c2 ∂t4∂tc+ ω02 ∆2 v + α2 vzz − α2 β 2 v,(6.47)∂kv(x, 0) = 0, k = 0, 3,∂t¯ k¯(6.48)¯¯v(x, t)¯¯¯=Γ¯¯v(x, t)¯¯¯= θ(t) sin ωt,(6.49)z=0где θ(t) — функция Хевисайда и ω ≥ 0.Из геометрических и физических соображений следует, что решение поставленной задачи зависит лишь от одной пространственнойкоординаты z, т.

е. имеет вид v = v(z, t).В связи с этим, уравнение (6.47) принимает вид 1 ∂ 4v∂2 α2  β 2 +=v−v + α2 vzz − α2 β 2 v.zz2422c ∂t∂tc(6.50)Применим к уравнению (6.50) преобразование Лапласа по времени+∞Zf (p) =f (t)e−pt dt,Re p ≥ c,F (t) = f (n) (t),0F (p) = pn f (p) − pn−1 f (0) − pn−2 f 0 (0) − · · · − f (n−1) (0),гдеZ1 a+i∞f (p)e−pt dpf (t) =2πi a−i∞есть формула Римана–Меллини. С учетом начальных условий (6.48)получим1 4α2 22 2pv=pv−pβ+v + α2 v zz − α2 β 2 v,zz22cc– 166 –откудаv zzp4α2 222 2p + α − v 2 + p β + 2 + α2 β 2  = 0,cchiследовательно,´´³p2 ³ 2222 2p+α+βp+αc2v zz − v= 0,p2 + α2илиp2 2v zz − v β + 2 = 0,c(6.51)где v(z, t) — преобразование Лапласа функции v(z, t).

В силу граничного условия (6.49) ограниченным на бесконечности решением уравнения (6.51) является функцияv(z, p) =ωp2 + ω 2zq 2− p + β 2 c2.e c(6.52)Преобразуем выражение для v(z, p):³22 2´− zc√22 2p +β cω p +β c e=v(z, p) =p2 + ω 2p2 + β 2 c2√³´z/c −ξ p2 +β 2 c222 2Zω p +β c 1e√ 2=−dξ  =2222222p +ωp +β cp +β c0√ z/c−ξ p2 +β 2 c22 22 Zωβ c −ω  e1 +√ 2= 2−ωdξ.p + ω2p2 + ω 2 0p + β 2 c2Применяя к функции v(z, p) обратное преобразование Лапласа, используя таблицы [13] и учитывая формулыZtf (t) =f1 (τ )f2 (t − τ )dτ,0µθ(t − b)J0 a√¶t2−b2f (p) = f1 (p)f2 (p),√ 21p + a2 ,−b≈√ 2ep + a2где f1 (p) — преобразование Лапласа функции f1 (t), f2 (p) — преобразование Лапласа функции f2 (t), J0 (ξ) — функция Бесселя нулевого– 167 –порядка и θ(t) — функция Хевисайда [13], получим явное решениезадачи (6.47)–(6.49):z/cZv(z, t) = sin ωt − ω³2 2− β c −ω2µθ(t − ξ)J0 βc0z/cZ´ Ztsin [ω(t − τ )]0¶qt2µθ(τ − ξ)J0 βcq−ξ2dξ−¶τ2−ξ2dξ dτ.

(6.53)0Рассмотрим поведение решения v(z, t) при больших значениях времени t, т. е. при t → ∞. Вычислим пределы интегралов, стоящих вправой части выражения (6.53):z/cZZtlimt→∞sin [ω(t − τ )]0µθ(t − ξ)J0 βc¶qτ2−−ξ2ξ2dξ =0z/cZZ∞sin [ω(t − τ )]J0 βcdξ=0µ¶qτ2dτ,(6.54)ξz/cZθ(t − ξ)J0 βclimt→∞µ¶qt2−ξ2dξ = 0.0Используя таблицы [13], содержащие формулы преобразования Фу³ √´рье функции θ(x − a)J0 b x2 − a2 , получимZ∞µsin [ω(t − τ )]J0 βcsin ωtq2 2=ξβ c −ω1¶qτ2−ξ2dτ =q−ξ β 2 c2 − ω 2 , при βc > ω,e2µ q−qω 2 − β 2 c222 2¶(6.55)cos ξ ω − β c − ωt , при βc < ω.Подставив представление (6.55) в интеграл (6.54) и выполнив интегрирование по переменной ξ, получим при t → ∞ асимптотическоерешение задачи (6.47)–(6.49):v(z, t) = zq 2 2− β c − ω2, βc > ω,sin (ωt) e cÃ!qz 2sin ωt −ω − β 2 c2 , βc < ω.c(6.56)– 168 –Из выражения (6.56) следует, что в случае волн при βc < ω гармонические колебания плоской горизонтальной стенки излучают в сжимаемую стратифицированную вращающуюся жидкость вертикальнораспространяющуюся нестационарную волну, которая при t → ∞имеетплоской бегущей волны, имеющей волновое число√ 2 вид22ω −β c.

В случае βc > ω стенка излучает в жидкости стоячиеcколебания частоты ω, экспоненциально убывающие по мере удаленияот колеблющейся стенки.В рассмотренной Габовым задаче [35] для случая однородной жидкости при t → ∞ существует режим установившихся колебаний с предельной амплитудой, описывающей установившуюся плоскую волну.Проведенные исследования показывают, что наличие стратификацииспособствует аннулированию установившегося режима при большихзначениях времени t.§ 6.4.Волны, вызванные колебаниями вертикальной стенкиРассмотрим задачу об излучении волн во вращающуюся сжимаемую жидкость вертикальной стенкой, совершающей, начиная с начального момента времени, гармонические колебания частоты ω.Итак, рассмотрим волновые движения малой амплитуды несжимаемой стратифицированной вращающейся жидкости, которая занимаnoет полупространство R3+ = x ∈ R3 : x > 0 , ограниченное вертикальnoной стенкой Γ = x ∈ R3 : x = 0 .

Математическая постановка данной задачи представляет следующую начально-краевую задачу дляуравнения (6.42):∂2 α2 1 ∂ 4 uee= 2 ∆3 u − 2 ue + ω02 ∆2 ue + α2 ue zz −24c ∂t∂tc´ρ0 ³− 0 ue ttz + α2 ue z ,ρ0(6.57)– 169 –∂keu(x,0) = 0, k = 0, 3,∂t¯ k¯¯¯¯¯¯eeu(x, t) = u(x, t)¯ = θ(t)e−iωt .¯¯¯¯Γ(6.58)(6.59)x=0Из геометрических и физических соображений следует, что решение поставленной задачи зависит лишь от одной пространственнойeпеременной x, т. е.

имеет вид ue = u(x,t). В связи с этим уравнение(6.57) имеет вид1 ∂ 4 ue∂2 α2 e= 2 uxx − 2 ue + ω02 ue xx .24c ∂t∂tc(6.60)Применим к уравнению (6.60) преобразование Лапласа по времени.С учетом начальных условий (6.58) получим³uee xx −p2 + α 2´p2 + ω02p2c2 uee = 0,(6.61)e В силу граничного услогде uee — преобразование Лапласа функции u.вия (6.59) ограниченным на бесконечности решением уравнения (6.61)является функцияveeu(x,p) =1p + iωu p2 + α 2xp ut−22e c p + ω0 .(6.62)1  α2geeПусть, далее, β =+ 2 .

Тогда для u(x,p) получим выра2 gcжениеx− p1eee c .(6.63)u(x,p) =p + iωeeПрименяя к функции u(x,t) обратное преобразование Лапласа, по-лучим явное решение задачи (6.57)–(6.59):Ãeeu(x,t)!³x −iω t −=θ t−ecxc´.(6.64)Из выражения (6.64) следует, что гармонические колебания вертикальной стенки излучают в сжимаемую стратифицированную враща-– 170 –ющуюся жидкость горизонтально распространяющуюся нестационарωную плоскую волну с волновым числом κ = .

(В частном предельcном случае ω = 0 рассматриваемая волна вырождается в плоскуюволну типа единичного скачка.)eРассмотрим поведение решения u(x,p) при больших значениях вре-мени t, т. е. при t → ∞. Так какωelim eiωt u(x,t) = ei c x ,t→∞то в рассматриваемой задаче существует режим установившихся колебаний с предельной амплитудой, описывающей установившуюся плоскую волну.Подведем итоги выполненного в данной главе исследования.Проведена редукция векторной трехмерной системы уравнений динамики сжимаемой стратифицированной вращающейся жидкости спроизвольным распределением стратификации.

Благодаря введениюдвух потенциальных функций основные уравнения гидродинамикиприведены к скалярному уравнению, исследование которого позволяет установить разрешимость всех возникающих начально-краевыхзадач теории волн в стратифицированных вращающихся жидкостях.Решена задача об излучении волн во вращающуюся сжимаемую жидкость плоской горизонтальной и вертикальной стенками, совершающими, начиная с некоторого момента времени, гармонические колебания.Результаты данной главы основаны на публикациях [96, 152, 153,158, 226].Глава 7Магнитогидродинамические волны в однороднойвращающейся жидкости§ 7.1.Уравнения магнитной гидродинамикиПри движении электропроводной жидкости в ней может при определенных условиях происходить возбуждение магнитного поля.

Впервые планету Земля большим магнитом назвал В. Гильберт в книге"О магните, магнитных телах и о большом магните — Земле" (1600 г.).При этом он рассматривал Землю как намагниченный железный шар.В XIX веке осознается, что Земля это виток с током, но только всередине XX века строятся модели генерации этого тока неким гидромагнитным динамо.

Математическая задача, описывающая генерацию магнитных полей движениями электропроводной жидкости, называется задачей гидромагнитного динамо. Идея гидромагнитногодинамо была впервые высказана в 1919 г. Лармором в связи с объяснением происхождения магнитных полей на Солнце [56]. С тех поргидромагнитное динамо изучалось теоретически многими авторами[16] в связи с исследованием магнитных полей в астрофизике и геофизике, но известно, что это явление имеет более общее значение вмагнитной гидродинамике. Однако и сегодня нет общепринятой модели земного гидродинамо.Наиболее строгую аппроксимацию геомагнитного поля получилК.-Ф. Гаусс в 1838 г.

[6], используя разложение по сферическим гармоникам. Анализ, выполненный Гауссом, показал, что основное полеЗемли обусловлено источниками, находящимися внутри нее.– 172 –Данные о внутреннем строении Земли служат основой для построения моделей планет земной группы. Изучение строения глубокихнедр Земли является важнейшей и вместе с тем труднейшей проблемой, которую можно решать прежде всего методами геофизики.

Характеристики

Список файлов диссертации