Диссертация (1145260), страница 19
Текст из файла (страница 19)
И, крoме тoгo, пoлученыуcлoвия для аналитичеcкoй cтруктуры cтациoнарнoгo раcпределенияплoтнocти, при кoтoрых дoпуcтимo тoчнoе аналитичеcкoе решение.Результаты даннoй главы ocнoваны на публикациях [87, 89, 91–93,158].Глава 6Некоторые вопросы теории волн в сжимаемыхстратифицированных вращающихся жидкостях§ 6.1.Линейные уравнения динамики сжимаемой стратифицированной жидкостиВ связи с проблемами геофизики, океанологии и физики атмосферы, с использованием криогенных жидкостей в технике и рядом других проблем возрастающий интерес вызывают задачи о распространении волн в стратифицированных вращающихся жидкостях. Подстратифицированной жидкостью принято понимать жидкость, физические характеристики которой (плотность, теплоемкость, динамическая вязкость и др.) в стационарном состоянии меняются непрерывноили скачком лишь в одном выделенном направлении.
Иначе говоря, встационарном состоянии жидкости ее физические характеристики являются функциями лишь одной пространственной переменной. Стратификация жидкости порождается различными физическими причинами, в широком классе задач преобладающей из них является силатяжести. Эта сила вызывает в жидкости такое распределение ее частиц и растворенных в ней суспензий, при котором возникает неоднородность плотности жидкости вдоль направления гравитационногополя. Стратификация плотности, как показывают экспериментальные наблюдения, оказывает [159] наиболее существенное влияние посравнению с другими видами стратификации на динамические свойства жидкости, на процессы распространения в ней волн.
Поэтому,говоря о стратифицированной жидкости, будем понимать под этим– 149 –жидкость со стратификацией плотности, вызванной силой тяжести.Наличие стратификации жидкости по плотности и гравитационной силы приводит к появлению новых динамических свойств жидкости; так, взаимодействие силы тяжести и архимедовой силы приводит к возникновению квазиупругой силы вдоль направления гравитационного поля. Колебательные свойства частиц жидкости, обусловленные этой квазиупругой силой, характеризуются так называемойчастотой Вяйсяля–Брента ω0 , являющейся основной характеристикой динамических свойств стратифицированной жидкости. ЧастотаВяйсяля–Брента определяется соотношениемρ0 (z)gω02 = −g 0+ 2 ,ρ0 (z) c (z)где ρ0 (z) и ρ00 (z) — соответственно стационарное распределение плотности и его производная в направлении убывания плотности, g —ускорение свободного падения, c — скорость звука.
Детальный анализ квазиупругой силы и связанной с ней частоты Вяйсяля–Брентасодержится в работах [22, 34, 64, 76, 142].В монографиях Сергея Александровича Габова [40–42] подробноизучены вопросы динамики внутренних волн во вращающихся и стратифицированных жидкостях. В частности, рассмотрены задачи о редукции уравнений динамики однородной вращающейся жидкости, сжимаемой стратифицированной жидкости без учета вращения и экспоненциально стратифицированной вращающейся жидкости.В настоящем исследовании производится попытка редукцииуравнений динамики сжимаемой стратифицированной вращающейся жидкости с произвольным распределением стратификации.
Путемвведения двух потенциальных функций основные уравнения гидродинамики приводятся к скалярному уравнению, исследование которого может позволить установить разрешимость всех возникающихначально-краевых задач теории волн в стратифицированных враща-– 150 –ющихся жидкостях.§ 6.2.Уравнения движения и их редукцияРассмотрим идеальную сжимаемую жидкость, находящуюся в состоянии равномерного вращения вокруг вертикальной оси. Введемдекартову систему координат Oxyz, вращающуюся вместе с жидкостью, причем ось Oz направлена вдоль оси вращения.
Относительноэтой системы координат невозмущенная жидкость является покоящейся.Колебания рассматриваемой жидкости принято описывать следующей системой уравнений [22, 62]:∂vv2∇p+ ∇ − [v, rotv] = −∇W −− 2 ωω × v,∂t2ρ∂ρ+ div ρv = 0,∂tÃ!d pdρ1 dpp2=0,или=,c=κ,dt ρκdtc2 dtρ´ω2 ³ 2FF = −∇U,W =U−x + y2 ,2(6.1)где FF — массовая сила, v — скорость, p — давление, ρ — плотность,cVc2 — квадрат скорости звука, κ =— показатель адиабаты (cV иcPcP — теплоемкость газа при постоянном объеме и постоянном давлении; предполагается, что они постоянны), W — потенциал силытяжести, слагающейся из силы притяжения к центру Земли и центробежной силы, возникающей от вращения Земли. Заметим, что учетцентробежной силы меняет лишь потенциал внешней силы.Будем считать, что ось Oz совпадает с направлением стратификации.
Тогда плотность жидкости в невозмущенном состоянии и скорость звука c будут являться функциями только z, т. е. ρ0 == ρ0 (z), c = c(z). Границы такого допущения описаны в [34, 159].– 151 –Итак, пустьρ(x, y, z, t) = ρ0 (z) + ρ1 (x, y, z, t),(6.2)где ρ1 (x, y, z, t) — динамическая добавка к ρ0 (z).
Аналогично, давление представим в виде суммыZ0ρ0 (z) dz + p1 (x, y, z, t),p=g(6.3)zгде первое слагаемое определяет гидростатическое давление в точкес координатой z и p1 — динамическая добавка давления.Считая далее p1 , ρ1 , vx , vy , vz и их производные величинами первого порядка малости, упростим систему уравнений (6.1), пренебрегаямалыми второго порядка. Предполагая, кроме того, что горизонтальная массовая сила есть только сила Кориолиса, а вертикальная массовая сила есть только сила тяжести (обоснование явного отсутствияцентробежной силы приводится ниже), из представлений (6.2), (6.3)получим равенствоÃ!ρ1 −1 ∂p11 ∂p1 ∂p111+==ρ ∂x ρ0 + ρ1 ∂xρ0ρ0∂xи его линейное приближение1 ∂p1 ∂p1=.ρ ∂x ρ0 ∂xАналогично,1 ∂p1 ∂p1=,ρ ∂yρ0 ∂yρ11 ∂p11 ∂p= −g + g +.ρ ∂zρ0 ρ0 ∂zС учетом последних соотношений линеаризация уравнений системы(6.1) приводит к искомой системе уравнений с частными производными, описывающей малые колебания рассматриваемой жидкости:∂v+ ρ0 (z) [αα, v] + ∇p + gρ1 e3 = 0,ρ0 (z)∂t∂ρ1+ ρ00 (z) (v, e3 ) + ρ0 (z) div ρv = 0,(6.4)∂t1 ∂p ρ0 (z) ω02 (z) (v, e3 )∂ρ1= 2+,∂tc (z) ∂tg– 152 –где v = (vx , vy , vz ) — вектор скорости частиц жидкости, ρ1 — изменение плотности, вызванное движением жидкости, p — динамическое давление, αα = (0, 0, α) — вектор Кориолиса, причем α == |αα| — удвоенная частота вращения жидкости, ω02 (z) — описаннаявыше частота Вяйсяля–Брента.
Предполагается, что ω02 (z) ≥ 0. Этоусловие с физической точки зрения означает, что рассматриваемаястратификация жидкости является устойчивой [33].Стационарное распределение плотности жидкости ρ0 в общем случае зависит не только от координаты z, а также от параболоида свободного вращения, т. е. является функцией всех координат x, y, z.В этом случае вместо уравнения движения Эйлера, входящего всистему уравнений (6.4), описывающих малые колебания рассматриваемой жидкости, используется уравнениеρ0∂v+ ρ0 [αα, v] + ∇p − ρ1 gэф = 0,∂t(6.5)где gэф = −e3 g + gцб — вектор эффективного ускорения свободного падения, складывающийся из обычной гравитационной составляющей −ge3 и добавки gцб , вызванной центробежным ускорением.Если гравитационные силы значительно превосходят центробежные, то в уравнении (6.5) эффективное ускорение свободного паденияgэф заменяется гравитационной составляющей −ge3 , а стационарнаяплотность предполагается зависящей лишь от переменной z.
В результате получим упрощенный вариант уравнения (6.5). Определение границ принятых допущений изложено в [34]. Прокомментируемизложение ограничений, при которых рассматриваемое приближениеможет считаться оправданным.Замена gэф на гравитационную составляющую возможна при|gцб | ≤ g. Этому неравенству можно придать следующую форму:α2 dε=¿ 1,4g(6.6)– 153 –где d — диаметр области Ω ∈ R3 , занимаемой жидкостью. При этомпредполагается, что ось вращения проходит через область Ω.Аналогично, замена стационарной плотности ρ0 (ξ(x, y, z)), зависящей от формы параболоида свободного вращения ξ(x, y, z) =α2 (x2 + y 2 )= z−, на величину ρ0 (z) означает, что справедливо нера8gвенствоρ0 (ξ(x, y, z)) − ρ0 (z)¿ 1.(6.7)ρ0 (z)Преобразуем его.
Если через l обозначить характерный масштаб измеρ0 (z)нения плотности ρ0 , который определяется величиной 0, то услоρ0 (z)вие (6.7) можно переписать следующим образом:´α 2 d2ρ0 (ξ(x, y, z)) − ρ0 (z)ρ00 (z) 2 ³ 2d2≈−α x +y ≈= ε ¿ 1.ρ0 (z)8gρ0 (z)4gllТаким образом, условие (6.7) с учетом (6.6) означает ограниченностьdвеличины .
Следовательно, характерный масштаб стратификации llпо порядку величины должен быть равным диаметру области, занимаемой жидкостью, или превосходить его.Так как в задачах динамики вращающейся стратифицированнойжидкости при рассмотрении внутренних волн в реальном океане, ватмосфере с учетом вращения Земли (сферичностью Земли при этом,102dкак правило, пренебрегают [76]), ε ≈ 3 = 10−1 и ≈ 1, то условия10l(6.6) и (6.7) оказываются выполненными.Таким образом, в соответствии с изложенным выше, малые колебания рассматриваемой жидкости принято описывать системой уравнений (6.4).Если область Ω, в которой находится рассматриваемая жидкость,не совпадает со всем пространством R3 , то при интегрировании системы (6.4) необходимо учитывать физические явления, происходящие вжидкости на границе Γ = ∂Ω.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
