Диссертация (1145260), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Это уравнение имеет видvλ ∂ (ζ + 2ω cos θ)∂vr∂ζ vθ ∂ (ζ + 2ω cos θ)++= (ζ + 2ω cos θ).∂t r0∂θr0 sin θ∂λ∂z– 98 –Приближенное соотношение (3.21) для vθ , vλ позволяет ввести функцию тока Ψ:1 ∂Ψ1 ∂Ψ,vλ =.(3.22)r0 sin θ ∂λr0 ∂θТогда уравнение (3.20) в терминах функции тока Ψ примет видvθ = −∂∆Ψ1 D (∆Ψ, Ψ)∂Ψ+ 2+ 2ω=∂tr0 sin θ D (θ, λ)∂λ∆Ψ + 2r02 ω cos θ  ∂h1 D (h, Ψ) =+.h∂t r02 sin θ D (θ, λ)(3.23)Уравнение, соответствующее (3.23) с нулевой правой частью полученной Е.Н. Блиновой [14] при изучении волн а атмосфере.Вертикальная проекция вихря скорости движения ζ с учетом соотношений (3.22) записывается в видеζ=где∆Ψ,r02Ã!1 ∂∂1 ∂2∆=sin θ+sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ 2 λесть оператор ∆ в сферической системе координат.Рассмотрим далее частные случаи.3.4.1.Установившееся течениеВ этом случае уравнение (3.23) имеет вид∂Ψ ∆Ψ + 2r02 ω cos θ D (h, Ψ)1 D (∆Ψ, Ψ)+2ω=r02 sin θ D (θ, λ)∂λh r02 sin θD (θ, λ)или Ã∆ΨD h 2r0!−1+ 2ω cos θ, Ψ= 0,D (θ, λ)откуда следует, что величинаÃ∆Ψh 2 + 2ω cos θr0!−1– 99 –является функцией, зависящей только от Ψ:#−1∆Ψh 2 + 2ω cos θ= F (Ψ) .r0"(3.24)Подставляя выражение h из (3.24) в уравнение (3.17), получим одноуравнение для функции тока Ψ.

Это уравнение имеет видÃ!∂Ψ ∆Ψ∂H F (Ψ) ∂∆Ψ−+++2ωcosθ=g∂λ r02∂λr02∂λÃ!#∂Ψ ∆Ψ1 ∂  1 ∂Ψ 2 ∂Ψ 2 0+ F (Ψ)+ 2ω cos θ + 2+, (3.25)∂λ r022r0 ∂λ sin2 θ ∂λ∂θгде H(θ, λ) = Zst − hB — глубина жидкости в состоянии относительного покоя.Вид функции F (Ψ) определим по некоторой невозмущенной функfции тока Ψ= −r02 α cos θ, соответствующей чисто зональному потоку(при отсутствии препятствия, H = const):v˜θ = 0,v˜λ = r0 α sin θ.ПустьfΨ=Ψ+ Ψ0 .Предположив, что течение невозмущенно вдоль некоторого меридиана, где Ψ0 = 0, получим условие на функцию F :fF (Ψ)ωF Ψ +−= 0,g(α + ω)Ψ̃³ ´0 fоткудаfC0ωΨ+ f,F (Ψ) =2g(α + ω)Ψffгде C0 — произвольная константа. Полагая, что функция F (Ψ)имееттот же вид, что и для невозмущенной функции тока, а также учитыαвая произвол выбора константы C0 и малость отношения , получимωF (Ψ) =Ψ.2g– 100 –Уравнение (3.25) для возмущения функции тока Ψ0 примет вид∂H Ψ0 − r02 α cos θ ∂∆Ψ0∂Ψ0  ∆Ψ0+ 2(α + ω) cos θ = −g++∂λr02∂λ2r02∂λ1 ∂Ψ0  ∆Ψ0+ 2(α + ω) cos θ ++2 ∂λr021 ∂  1 ∂Ψ0 2 ∂Ψ0 2∂Ψ0 2+ 2++ 2 αr0 sin θ.2r0 ∂λ sin2 θ ∂λ∂θ∂θ(3.26)Уравнение (3.26) — нелинейное.

Будем искать его решение в видеΨ0 (θ, λ) = Yn (θ, λ),гдеYn (θ, λ) =nXm=0mmAmn Pn (cos θ) cos(mλ + Bn )является сферической функцией порядка n, а m и n — волновые чисmла, принимающие целые значения, Amn , Bn — константы. Так как∆Yn = −n(n + 1)Yn , то∂∆Ψ0∂Yn= −n(n + 1),∂λ∂λ∂Ψ0∂Yn=.∂λ∂λ∆Ψ0 = −n(n + 1)Yn ,∂Ψ0∂Yn=,∂θ∂θПодставляя эти выражения в уравнение (3.26), получим соотношения:∂Yn αn(n + 1) 1∂Yn ∂ 2 Ynα+ω−cos θ − 2 2−∂λ2r0 sin θ ∂λ ∂λ2"# 21 ∂Yn∂H∂ Yn2− 2+ r0 α sin θ= −g.r0 ∂θ∂λ∂θ∂λ(3.27)Если функция невозмущенной глубины H(θ, λ) задается соотношением1  1 ∂Yn 2 ∂Yn 2  α sin θ ∂Yn+ C(θ),H(θ, λ) =++2gr02 sin2 θ ∂λ∂θg∂θ(3.28)то равенство (3.27) выполняется при любых λ и θ только приα+ω−αn(n + 1)= 0.2(3.29)– 101 –Таким образом, сферическая функция Yn (θ, λ) удовлетворяет уравнеmнию (3.26) при произвольных Amn , Bn и функции H(θ, λ), заданнойсоотношением (3.28), если выполняется условие (3.29), которое можнопереписать в видеα−2(α + ω)= 0.n(n + 1)(3.30)Условие (3.30) аналогично условию, полученному в работе Е.Н.

Блиновой [15] при решении задачи о волнах в баротропной атмосфере.Так как r0 sin θ — расстояние до оси вращения Земли на широтеπϕ = − θ, то величина2veλ (θ)α=r0 sin θявляется угловой скоростью вращения жидкости относительно земαной поверхности, а отношение — индексом циркуляции [14].ωГраничное условие (3.19) на экваторе в терминах функции Ψ имеетвид∂Ψπ= 0,θ= .∂λ2Отсюда, учитывая произвол выбора константы в выражении для Ψ,имеемπ.(3.31)2Условия ограниченности функции Ψ и ее производных на полюсе иΨ = 0,θ=условие периодичности по λ — выполняются.

Учет граничного условия (3.31) приводит к использованию только асимметричных относительно экватора присоединенных функций Лежандра Pnm . Для такихфункций разность индексов n − m нечетна. Таким образом, имеемn − m = 2k + 1,Pnm (x) = −Pnm (−x).Условие (3.30) примет видα+2(α + ω)= 0.(m + 2k + 1)(m + 2k + 2)– 102 –3.4.2.Волны и течение между концентрическими полусферамиВ этом случае функция глубины h(θ, λ, t) является константой иуравнение (3.23) принимает вид∂∆Ψ1D (∆Ψ, Ψ)∂Ψ+ 2+ 2ω= 0.∂tr0 sin θ D (θ, λ)∂λ(3.32)Решение этого уравнения будем искать в видеΨ(θ, λ, t) = −r02 α cos θ + Yn (θ, λ − σn t),(3.33)где Yn (θ, λ) — сферическая функция порядка n:Yn (θ, λ) = A0 Pn (cos θ) +nXm=1mmAmn Pn (cos θ) cos(mλ + Bn ),(3.34)здесь σn — угловая скорость движения.Если функцию Ψ из (3.33) подставить в уравнение (3.32), то вместо(3.30) получим выражение для частоты волны σn :σn = α −2(α + ω).n(n + 1)(3.35)Таким образом, волна (3.34) с угловой скоростью (3.35) является точным решением нелинейного уравнения (3.32).Угловая скорость σn характеризует вращение волны относительноземной поверхности.

Для перехода к линейной скорости vλn движенияволны на произвольной широте θ необходимо угловую скорость σnумножить на радиус r0 sin θ круга широты:vλnÃ!ω21+α= αr0 sin θ 1 −n(n + 1),(3.36)где veλn = αr0 sin θ — зональная скорость течения жидкости на широте θ. Согласно формуле (3.36), волны, соответствующие малым значениям меридионального волнового числа n, а следовательно, и зонального числа m (так как суммирование происходит при m ≤ n),– 103 –распространяются с востока на запад. Для таких волн vλn < 0. Волны, соответствующие большим значениям n и m, распространяются сзапада на восток. В этом случае vλn > 0. Решение (3.33) представляет собой волны, наложенные на западно-восточное течение, угловаяскорость которого есть α.

Аналогичное по виду решение содержитсяв работах Е. Н. Блиновой [14] в задаче о волнах в атмосфере.В решении (3.33), в связи с учетом граничного условия (3.31), попрежнему полагаетсяn − m = 2k + 1.Стационарное решение уравнения (3.32) определяется соотношением∆Ψe+ 2ω cos θ = h(Ψ) .2r0Это соотношение можно получить и другим способом, аналогичнымиспользованному Йи Чиа–Шун [51]. А именно, записывая уравнения(3.16)–(3.17) в терминах функции токаÃ!∆Ψ∂Ψ1 ∂  1 ∂Ψ 2 ∂Ψ 2 + 2ω cos θ+,= 2r02∂θ2r0 ∂θ sin2 θ ∂λ∂θÃ!∆Ψ∂Ψ1 ∂  1 ∂Ψ 2 ∂Ψ 2 + 2ω cos θ+,= 2r02∂λ2r0 ∂λ sin2 θ ∂λ∂θ(3.37)(3.38)умножая далее уравнение (3.37) на ∂θ, а уравнение (3.38) на ∂λ искладывая, получимÃгде!∆Ψ+ 2ω cos θ dΨ = dF,r02(3.39)1  1 ∂Ψ 2 ∂Ψ 2 F = 2+2r0 sin2 θ ∂λ∂θявляется функцией Бернулли, зависящей только от Ψ.

Уравнение(3.39) можно записать в видеdF∆Ψe+ 2ω cos θ == h(Ψ).2r0dΨ(3.40)– 104 –eФункцию h(Ψ),характеризующую распределение завихренности, сле-дует считать заданной. Уравнение (3.40) линейно, если функцияeh(Ψ)линейная по Ψ.ПустьfΨ=Ψ+ Ψ0 ,гдеffΨ= Ψ(θ)= −r02 α cos θпредставляет собой невозмущенную функцию тока, соответствующуючисто зональному потокуvθ = 0,vλ = r0 α sin θ.Для течения, которое невозмущено вдоль некоторого меридиана (слеe fдовательно, где Ψ0 = 0), получим выражение для h(Ψ):e fh(Ψ) = 2(α + ω) cos θ,или2(α + ω)Ψ.r02 αУравнение (3.40) для возмущения функции тока Ψ0 принимает видh(Ψ) = −∆Ψ0 +2(α + ω) 0Ψ =0αили1 ∂ ∂Ψ0 1 ∂ 2 Ψ0 2(α + ω) 0sin θ++Ψ = 0.sin θ ∂θ∂θαsin2 θ ∂λ2(3.41)Итак, система нелинейных уравнений в частных производных (3.16) –(3.18) свелась к одному линейному уравнению (3.41), которое не является результатом линеаризации и описывает произвольные (не малые)πвозмущения.

При θ = должно выполняться условие2Ψ = 0.– 105 –Решениями уравнения (3.41) являются сферические функции [123],которые будем искать методом разделения переменных:Ψ(θ, λ) = Θ(θ)Φ(λ).Для функции Φ(λ) получим задачуΦ00 + νΦ = 0,Φ(λ) = Φ(λ + 2π),которая только при целом ν = m2 имеет линейно-независимые решенияsin mλ,cos mλ.Φm (λ) = Функция Θ(θ) определяется из уравненияÃ!1 ddΘm2 sin θ+ µ−Θ = 0,sin θ dθdθsin2 θ(3.42)где2(α + ω),αи условий ограниченности при θ = 0. Если сделать замену x = cos θµ=и y(x) = y(cos θ) = Θ(θ), то задача (3.42) для Θ принимает вид"#ddym2 (1 − x2 )+ µ −y = 0,dxdx1 − x2|y(±1)| < ∞.−1 < x < 1,Данная задача является задачей Штурма–Лиувилля для присоединенных функций Лежандра, ограниченные решения которой существуют только при собственных значенияхµn = n(n + 1),где n — целое неотрицательное число.Следовательно,Θnm (θ) = ynm (cos θ) = Pn(m) (cos θ),– 106 –где m ≤ n — собственные функции уравнения (3.42).Итак, собственными функциями задачи (3.41) являются сферические функции0Ψ =Ψ0nm (θ, λ)=Yn(m) (θ, λ)=Pn(m) (cos θ) sin mλ,Pn(m) (cos θ) cos mλ,которые соответствуют собственным значениям2(α + ω)= µ = µn = n(n + 1), n = 0, 1, .

. . , m = 0, 1, . . . , n.αТаким образом, выражение для Ψ имеет вид ряда по сферическимгармоникам:Ψ = −r02 α cos θ +∞XnXn=m m=0m(m)(Am(cos θ) .n cos mλ + Bn sin mλ) Pn(3.43)Граничное условие требует использования в решении (3.43) лишь асимметричных относительно экватора сферических гармоник, для которых разность индексов n − m нечетна.Подведем итоги выполненного в данной главе исследования.Исследованы закономерности волнового движения при воздействиидлинных нелинейных волн на сооружения с вертикальной гранью.Получено точное решение нелинейного уравнения при переменной топографии дна. Представлено сравнение полей гидродинамических величин в падающей и отраженной волнах.Исследованы закономерности планетарных волновых движений вприближении β-плоскости.

Представлено точное решение нелинейнойзадачи об отражении волн с конечной амплитудой от ориентированной в широтном направлении твердой стенки.Выполнен анализ нелинейных течений и волн во вращающемсясферическом слое жидкости.Результаты данной главы основаны на публикациях [88, 94, 111,150, 158, 237].Глава 4Влияние рельефа земной поверхности навоздушные течения и волны§ 4.1.Возмущения атмосферы при обтекании земной поверхностиНастоящая глава посвящена моделированию движения сжимаемойбароклинной жидкости.

А именно, рассматриваются вопросы, связанные с влиянием рельефа земной поверхности на воздушные теченияи волны.В предыдущих главах проводились исследования в рамках моделивращающейся несжимаемой жидкости. Большое внимание было уделено изучению волновых процессов в тонком слое жидкости в приближении мелкой воды.В данной главе рассмотрим волны, образующиеся под действиемсилы тяжести в бароклинной сжимаемой среде. В частности, исследуем волны, возникающие при адиабатическом движении около неровности поверхности Земли. При этом, в отличие от модели мелкойводы, будет использована теоретическая модель, учитывающая полевертикальных скоростей.При решении разнообразных задач современной авиации приходится совершать полеты над горными районами.

Характеристики

Список файлов диссертации