Диссертация (1145260), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Для каждой моды имеемhiη = C1 Jk (λr) + C2 Nk (λr) cos (kϕ + σt) ,ig  hvr = 2σλCJ(λr)+CN(λr)+1 k−12 k−1f − σ2 ik (f − σ) h+C1 Jk (λr) + C2 Nk (λr)  sin (kϕ + σt) ,σ– 76 –ig  hvϕ = 2fλCJ(λr)+CN(λr)+1k−12k−1f − σ2 ik (f − σ) h+C1 Jk (λr) + C2 Nk (λr)  cos (kϕ + σt) .rДля решения, не зависящего от ϕ, получаем в действительной формеhiη0 (r, t) = C10 J0 (λr) + C20 N0 (λr) cos σt,где λ определяется уравнениемJ00 (λr1 ) N00 (λr2 ) − J00 (λr2 ) N00 (λr1 ) = 0,или, учитывая тождества J00 (λr) = J1 (λr) , N00 (λr) = N1 (λr) , уравнениемJ1 (λr1 ) N1 (λr2 ) − J1 (λr2 ) N1 (λr1 ) = 0.§ 2.5.Распространение волн в цилиндрическом бассейне приизменении глубины жидкости по параболическомузаконуПредположим, что глубина бассейна постепенно убывает по закону(r − r1 )2 fH (r) = D0 1 − s,(r2 − r1 )2где наклон s ¿ 1 и D0 — константа.

Относительно функции R == R (r) уравнение (2.48) принимает вид(r − r1 )2   00 1 0 k 2 1 − sR + R − 2R −rr(r2 − r1 )2#"(r − r1 )σ2 − f 2fk0−2sR +R = 0,R +σrgD0(r2 − r1 )2краевые условия (2.49) не изменяются:fkR0 +R = 0, r = rj ,σrПолагая, далее, в (2.54)j = 1, 2.(r − r1 )2s2R (r) = e 2 (r2 − r1 ) M (r)(2.54)(2.55)– 77 –r − r1< 1, получим для малых s (малыхr2 − r1изменений глубины) уравнение относительно M = M (r):и учитывая неравенство1k 2   2s 2sf k σ 2 − f 2 M 00 + M 0 −M + 2−+M =0rr2aσa2gD0(2.56)и, в соответствии с (2.55), граничные условияr1 M 0 (r1 ) +Ã!fkM (r1 ) = 0,σf k sr2r2 M (r2 ) ++M (r2 ) = 0,σa0(2.57)a = r2 − r1 .(2.58)При этом пренебрегли параметром наклона s в тех членах, в которыхпараметр s непосредственно сравнивается с величинами, имеющимипорядок единицы.Уравнение (2.56) представимо в виде´³r2 M 00 + rM 0 + κ 2 r2 − k 2 M = 0(2.59)и имеет общее решениеM (r) = A1 Jk (κr) + A2 Nk (κr),либо в виде´³r2 M 00 + rM 0 − κ 2 r2 + k 2 M = 0и имеет общее решениеM (r) = b1 Ik (κr) + b2 Kk (κr),где¯¯¯ 2s¯¯ 2¯a¯2sf k σ 2 − f 2 ¯¯¯2−+(2.60)¯= κ ,2¯σagD0Kk (κr), Ik (κr) — функции Макдональда и Инфельда, A1 , A2 , b1 , b2 —произвольные постоянные.

Здесь учтено, что в (2.60) выражение подзнаком модуля меняет знак.В силу краевых условий (2.57) и (2.58), получаем уравнение относительно собственных значений κ:hiκ 2 r1 r2 Jk−1 (κr1 ) Nk−1 (κr2 ) − Jk−1 (κr2 ) Nk−1 (κr1 ) +– 78 –!Ãf+κk−1σhir J (κr1 ) Nk (κr2 ) − Jk (κr2 ) Nk−1 (κr1 ) + 1 k−1ih+r2 Jk (κr1 ) Nk−1 (κr2 ) − Jk−1 (κr2 ) Nk (κr1 ) +!Ã2hif− 1 Jk (κr1 ) Nk (κr2 ) − Jk (κr2 ) Nk (κr1 ) ++kσisr2 h+κr1Jk−1 (κr1 ) Nk (κr2 ) − Jk (κr2 ) Nk−1 (κr1 ) +a!Ãhisr2 f− 1 Jk (κr1 ) Nk (κr2 ) − Jk (κr2 ) Nk (κr1 ) = 0.+ka σ2(2.61)С учетом очевидных обозначений имеем трансцендентные уравненияκ1,2Ã1  f=k−12A  σ!"#r2− (B + C) ± (B + C) − 4AD +sr2 B 2 + BC − 2AD +−B ± q.a(B + C)2 − 4AD Важно заметить, что уравнение (2.61) отличается от соответствующего уравнения (2.53) для случая плоского дна добавлением двухслагаемых, множителем которых является параметр наклона дна s.Для простоты анализа влияния наклона дна на динамику волнрассмотрим соответствующее уравнение для собственных значений вслучае прямолинейного канала.

Для прямолинейного канала с медленно меняющейся глубиной в направлении оси y, т. е. приÃ!y,H (y) = D 1 − s2bfгде наклон s ¿ 1, решение уравнения (2.15) для η ищется в видеη (x, y, t) = Re η̄ (y) ei(kx − σt) .Полученное уравнение для η̄ (y) при малых ss 0  σ2 − f 2sf k 00η̄ − η̄ +− k2 −η̄ = 02bgD2σbимеет решениеsyη̄ = e 4b [A sin αy + B cos αy] ,– 79 –σ2 − f 2s22 sf kгде α =−k −−. Использование граничных условийgD2σb 16b2fkη̄ 0 +η̄ = 0, y = ±bσприводит к уравнению для собственных значений σ:2³σ2 − f 2´³´σ 2 − k 2 gD sin (2αb) = 0.Здесь первые два множителя не изменились при переходе от задачив случае плоского дна (s = 0).

Следовательно, при малых значенияхs наклон дна не влияет на волну Кельвина в первом приближении.Корни σ, соответствующие нулям sin (2αb), представимы в видеsf kn2 π 2f2 22= 0.σ −− gD k ++2σb4b2gD(2.62)Решения σ уравнения (2.62) разобьем на два четко разделяющихсякласса. К первому классу отнесем частоты, превосходящие параметрКориолиса f , ко второму классу — частоты, имеющие порядок наклона дна s.

В первом случае частотам с точностью до членов порядка наклона дна s соответствуют волны Пуанкаре, для которых наборчастот определяется соотношениемn2 π 2 222σ = f + gD k ++ O (s) ,4b2n = 1, 2, 3, . . . ,позволяющим судить о том, что высокочастотные волны Пуанкаре неподвержены влиянию слабого наклона дна.Третий корень кубического уравнения (2.62) имеет вид σ == O (s), для которого член σ 2 пренебрежимо мал, а второй член сσ имеет порядок O (1), приводит к дисперсионному соотношению длятопографической волны Россбиfk.2b k 2 + n2 π 2 /4b2 + f 2 /gDПолученное дисперсионное соотношение совпадает с дисперсионнымσ = −sсоотношением, полученным Дж.

Педлоски при решении аналогичнойзадачи в прямолинейном канале [84].– 80 –Отметим некоторые характерные особенности динамики этой волны. Частота волны Россби достигает максимального значенияσ = σmax = −приk=sf2 (n2 π 2 + 4f 2 b2 /gD)1/2vuu n2 π 2ut4b2f2 ,+gDпоэтому для малого наклона дна s частота волны Россби меньше f .Таким образом, волна Россби, для существования которой необходимо как наличие наклона дна s, так и отличие от нуля параметраКориолиса f , представляет собой низкочастотное волновое колебание, период которого больше периода вращения системы координат.Замечательное свойство волны Россби состоит в том, что ее фазоваяскорость в направлении, параллельном стенкам канала, отрицательнаи имеет видCx =fσs=−.k2b k 2 + n2 π 2 /4b2 + f 2 /gDЗаметим, что для больших волновых чисел частота волны Россбиубывает с увеличением волнового числа в отличие от волн Пуанкареи Кельвина.Возвышение и скорости волны Россби в случае кольцевого бассейнапредставляются аналитическими выражениямиs(r − r1 )2i2hη = e 2(r2 − r1 ) C1 Jk (κr) + C2 Nk (κr) cos (kϕ + σt) ,vr =s(r − r1 )2 hi2(r−r)21eσκ C1 Jk−1 (κr) + C2 Nk−1 (κr) +vϕ =s(r − r1 )2 2e (r2 − r1 ) f κ [C1 Jk−1 (κr) + C2 Nk−1 (κr)] +gf 2 − σ2his(r−r)k(f−σ)1 C J (κr) + C N (κr)sin (kϕ + σt) ,+σ +1 k2 krσ(r2 − r1 )2f2g− σ2– 81 –h s(ri− r1 ) k(σ − f ) ih+f+CJ(κr)+CN(κr)cos (kϕ + σt) .1k2krσ(r2 − r1 2Произвольные постоянные C1 , C2 определяются из краевых условий (2.57), (2.58) для M , причем, если C1 произвольно, то C2 выражается через C1 линейно и наоборот.

В результате останется однапроизвольная постоянная C1 = η0 — произвольная амплитуда волны.§ 2.6.Гидродинамическая задача о волнах в цилиндрическом бассейне переменной глубиныПусть глубина бассейна является произвольной функцией, зависящей только от r. Полагая в (2.48)f−1/2 fR=RR,fполучим относительно Rкраевую задачуf0f 02f 001 f0 k 2 f  σ 2 − f 2 2f k − σ HHHf00fR+ R − 2R +++ f2 − f  R= 0,ffrr2rσ H 4HgH2Hf0rHfk0ff− f RrR+= 0, r = r1 , r2 .(2.63)σ2HПерепишем задачу (2.63) в виде1 ∂k2 0(rR ) + α (r) − 2 R = 0,r ∂rrrR0 + γR = 0, r = r1 , r2 ,(2.64)гдеf0f 02f 00σ 2 − f 2 2f k − σ HHHα (r) =++ f2 − f ,ff2rσgHH4H2Hf0f k rH− f.γ (r) =σ2HЗнак тильда здесь и в дальнейшем опущен.

При α(r) = const функцияизменения глубины бассейна z является решением уравнения Абелявторого рода1 2 2f k − σσ2 − f 2dzz=z +z +2− αh ,dh2hσrgz=dh,drfh=H(r) ,– 82 –и решение задачи (2.64) представляется в виде линейной комбинациифункции Бесселя и функции Неймана.Пустьα(r) = κ12 ,r 1 ≤ r ≤ r3 ,κ22 ,r 3 ≤ r ≤ r2 .Общее решение уравнения (2.64) для R для каждого слоя будет следующим:R1 = AJk (κ1 r) + BNk (κ1 r),r 1 ≤ r ≤ r3 ,R2 = CJk (κ2 r) + DNk (κ2 r),r 3 ≤ r ≤ r2 .При r = r3 решение должно быть непрерывно дифференцируемым.Две пары произвольных постоянных находятся из четырех однородных уравнений при условии дисперсионного соотношения¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯A1 (J)A1 (N )00Jk (κ1 r1 ) Nk (κ1 r3 ) −Jk (κ2 r3 ) −Nk (κ2 r3 )B1 (J)B1 (N )−B2 (J)−B2 (N )00A2 (J)A2 (N )¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯= 0,гдеAi (X) = κi ri Xk−1 (κi ri ) + (γi − k) Xk (κi ri ) ,kBi (X) = κi Xk−1 (κi r3 ) − Xk (κi r3 ) , i = 1, 2; X = J, N.r3Здесь γ1 , γ2 — значения γ (r) при r = r1 и r = r2 , соответственно.Краевая задача (2.64) для R (r) сводится к интегральному уравнениюZr2R (r) =G (r, ζ) α (ζ) R (ζ) dζ,r1где Ãrk!Ã+ r12kk + γ1 −krk − γ1!Ã+ r22kk + γ2 −krk − γ2G (r, ζ) = Ãk rζ k + r22kζ k + r12k!k + γ2 −kζ , r ≤ ζ,k − γ2!k + γ1 −kζ , r ≥ ζ,k − γ1– 83 –Ã!k + γ1k + γ26= r12k ,6= r22k .k − γ2k − γ1Итак, справедливы следующие выводы:— наличие вращения слоя жидкости постоянной глубины увеличивает частоту волны;— совместный эффект вращения и неровности дна порождает низкочастотную волну Россби.Подведем итоги выполненного в данной главе исследования.Изучен процесс распространения пространственных длинных волнмалой амплитуды во вращающемся прямолинейном канале постоянной и переменной глубины.

Характеристики

Список файлов диссертации